Đáp án đúng là: B

Ta có MQ = MP (giả thiết).

Suy ra M là trung điểm PQ (1)

Lại có ∆MNP vuông tại M.

Suy ra NM ⊥ MP hay NM ⊥ PQ (2)

Từ (1), (2), ta suy ra NM là đường trung trực của đoạn thẳng PQ.

Do đó NQ = NP (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Suy ra ∆PQN cân tại N.

Khi đó $\widehat{NQP}=\widehat{NPQ}=30°$ (tính chất tam giác cân)

∆PQN có: $\widehat{QNP}+\widehat{NQP}+\widehat{NPQ}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{QNP}=180°-\widehat{NQP}-\widehat{NPQ}=180°-30°-30°=120°$.

Do đó $\widehat{QNP}=120°$.

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: D

Ta có AC = AD (giả thiết).

Mà BA ⊥ AC (do ∆ABC vuông tại A).

Nên AB là đường trung trực của đoạn thẳng CD.

Do đó BD = BC.

Suy ra ∆BCD cân tại B.

Mà $\widehat{BCA}=60°$ (giả thiết).

Suy ra ∆BCD đều.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: A

Xét ∆DEK và ∆DFK, có:

DE = DF (do ∆DEF cân tại D).

KE = KF (giả thiết).

DK là cạnh chung.

Do đó ∆DEK = ∆DFK (c.c.c).

Suy ra $\widehat{D_1}=\widehat{D_2}$ (cặp góc tương ứng).

Xét ∆DPK và ∆DQK, có:

DK là cạnh chung.

$\widehat{D_1}=\widehat{D_2}$ (chứng minh trên).

$\widehat{DPK}=\widehat{DQK}=90°$.

Do đó ∆DPK = ∆DQK (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra KP = KQ (cặp cạnh tương ứng).

Khi đó K thuộc đường trung trực của đoạn thẳng PQ.

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: B

Vì điểm M cách đều hai điểm A và B.

Nên điểm M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Giả sử xy là đường trung trực của đoạn thẳng AB và xy cắt d tại M.

Khi đó M là giao điểm của đường thẳng d với đường trung trực của đoạn thẳng AB và điểm M là duy nhất.

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: A

Vẽ xy là đường trung trực của đoạn thẳng BC, cắt đoạn thẳng AC tại D (do AB< AC).

Suy ra D là điểm cần xác định.

Thật vậy, ta có DB = DC (do D nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC).

Suy ra DB + DA = DC + DA.

Do đó DA + DB = AC (do D nằm giữa A và C)

Vậy D là giao điểm của AC với đường trung trực của đoạn thẳng BC thì thỏa yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn đáp án A.

Câu 6. Đường thẳng xy là đường trung trực của đoạn thẳng AB nếu:

A. xy đi qua trung điểm của AB;

B. xy vuông góc với AB;

C. xy vuông góc với AB tại trung điểm của AB;

D. xy cắt AB.

Câu 7. Cho hai điểm A, B nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng CD. Gọi M là trung điểm CD. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

A. ∆ABC = ∆ABD;

B. ∆BCM = ∆BDM;

C. ∆AMC = ∆AMD;

D. Cả A, B, C đều đúng.

Câu 8. Cho đoạn thẳng AB. Dựng các tam giác PAB cân tại P và tam giác QAB cân tại Q như hình bên.

Chọn khẳng định đúng nhất.

A. PQ đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB;

B. PQ vuông góc với AB;

C. PQ không vuông góc với AB;

D. PQ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Câu 9. Cho $\widehat{xOy}=40°$. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B. Lấy điểm C sao cho OB là đường trung trực của AC. Chọn khẳng định sai.

A. ∆OAB = ∆OCB;

B. $\widehat{AOC}=80°$;

C. $\widehat{OCA}=60°$;

D. ∆OAC cân tại O.

Câu 10. Cho đoạn thẳng AB = 5 cm. Vẽ đường tròn tâm A, bán kính 4 cm và đường tròn tâm B, bán kính 3 cm. Hai đường tròn này cắt nhau tại D và E. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

A. A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng DE;

B. B thuộc đường trung trực của đoạn thẳng DE;

C. AB là đường trung trực của đoạn thẳng DE;

D. AB không là đường trung trực của đoạn thẳng DE.

Đáp án đúng là: B

Vì HE // AI (giả thiết).

Nên $\widehat{AEF}=\widehat{A_1}$ (hai góc đồng vị) và $\widehat{F_1}=\widehat{A_2}$ (hai góc so le trong).

Mà $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ (do AI là phân giác của $\widehat{BAC}$).

Suy ra $\widehat{AEF}=\widehat{F_1}$.

Do đó ∆AEF cân tại A.

Suy ra đáp án C, D sai.

Vì ∆AEF cân tại A nên AE = AF.

Suy ra A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng EF.

Do đó đường trung trực của đoạn thẳng EF luôn đi qua đỉnh A của ∆ABC.

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: D

+) Vì H thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OA nên HA = HO.

Suy ra ∆AHO cân tại H.

Do đó đáp án A đúng.

+) Vì H thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OB nên HB = HO.

Suy ra ∆BHO cân tại H.

Do đó $\widehat{BOH}=\widehat{OBH}$ (tính chất tam giác cân)

∆BHO có: $\widehat{BHO}+\widehat{BOH}+\widehat{OBH}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{BHO}=180°-2\widehat{BOH}$.

Tương tự, ta được $\widehat{AHO}=180°-2\widehat{AOH}$.

Ta có: $\widehat{AHB}=\widehat{AHO}+\widehat{BHO}$

$=180°-2\widehat{AOH}+180°-2\widehat{BOH}$

$=360°-2\left(\widehat{AOH}+\widehat{BOH}\right)$

$=360°-2\widehat{AOB}$

$=360°-2.90°=180°$.

Suy ra ba điểm A, B, H thẳng hàng.

Do đó đáp án B đúng.

+) Ta có HA = HB (= HO) và ba điểm A, B, H thẳng hàng (chứng minh trên).

Suy ra H là trung điểm của AB.

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: D

Xét ∆HAO và ∆HBO, có:

$\widehat{HAO}=\widehat{HBO}=90°$.

$\widehat{HOA}=\widehat{HOB}$ (do OH là phân giác của $\widehat{xOy}$).

OH là cạnh chung.

Do đó ∆HAO = ∆HBO (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra HA = HB và OA = OB (các cặp cạnh tương ứng).

Do đó H và O nằm trên đường trung trực của AB

Khi đó OH là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Do đó đáp án B đúng.

Xét ∆OAC và ∆OBD, có:

$\widehat{OAC}=\widehat{OBD}=90°$.

OA = OB (chứng minh trên).

$\widehat{AOB}$ là góc chung.

Do đó ∆OAC = ∆OBD (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra OC = OD (cặp cạnh tương ứng).

Do đó O nằm trên đường trung trực của CD (1)

Xét ∆HBC và ∆HAD, có:

$\widehat{BHC}=\widehat{AHD}$ (hai góc đối đỉnh).

HA = HB (chứng minh trên).

$\widehat{HBC}=\widehat{HAD}=90°$.

Do đó ∆HBC = ∆HAD (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra HC = HD (cặp cạnh tương ứng).

Do đó H nằm trên đường trung trực của CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra OH là đường trung trực của đoạn thẳng CD.

Do đó đáp án C đúng.

Ta có BD không vuông góc với AB.

Mà OH là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Nên OH không thể là đường trung trực của đoạn thẳng BD.

Do đó đáp án A sai.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: C

Vì trạm y tế C cách đều hai khu dân cư A và B.

Nên C thuộc đường trung trực d của đoạn thẳng AB nối hai khu dân cư.

Mà C nằm trên đường quốc lộ nên C là giao điểm của đường quốc lộ và đường trung trực của đoạn thẳng nối hai khu dân cư.

Do đó để xây dựng trạm y tế ở bên đường cách đều hai điểm dân cư thì trạm y tế đó phải là giao điểm giữa con đường quốc lộ và đường trung trực của đoạn thẳng AB nối hai khu dân cư.

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: A

Vì D là điểm đối xứng của A qua bờ sông

Nên bờ sông chính là đường trung trực của AD.

Do đó CA = CD (tính chất đường trung trực)

Suy ra CA + CB = CD + CB.

Gọi M là giao điểm của BD và bờ sông.

+) Nếu C không trùng với M, ta xét ∆BCD, có:

CB + CD > BD hay CA + CB > BD (1).

+) Nếu C trùng với M thì:

CA + CB = CD + CB = MD + MB = BD (2).

Từ (1), (2), ta suy ra CA + CB ≥ BD.

Do đó khi C trùng với M hay C là giao điểm của BD với bờ sông thì giá trị của tổng CA + CB là nhỏ nhất.

Vậy ta chọn đáp án A.

Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Toán 7 Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên

Trắc nghiệm Toán 7 Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng

Trắc nghiệm Toán 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Trắc nghiệm Toán 7 Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Trắc nghiệm Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác