a) 

Phương pháp giải:

Bước 1: Đưa GTLG của các góc ${135}^o,{150}^o,{180}^o$ về GTLG của các góc ${45}^o,{30}^o,0^o$

$$\begin{gathered} \cos {135}^o=-\cos {45}^o;\cos {180}^o=-\cos 0^o \\ \tan {150}^o=-\tan {30}^o \end{gathered}$$

Bước 2: Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.

$$\begin{gathered} \sin {30}^o=\frac{1}{2};\tan {30}^o=\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \cos {45}^o=\frac{\sqrt{2}}{2};\cos 0^o=1;\cot {60}^o=\frac{\sqrt{3}}{3} \end{gathered}$$

Lời giải:

Đặt  $A=\left(2\sin {30}^o+\cos {135}^o-3\tan {150}^o\right).\left(\cos {180}^o-\cot {60}^o\right)$

Ta có: $\{\begin{array}{l}\cos {135}^o=-\cos {45}^o;\cos {180}^o=-\cos 0^o\\ \tan {150}^o=-\tan {30}^o\end{array}$

$\Rightarrow A=\left(2\sin {30}^o-\cos {45}^o+3\tan {30}^o\right).\left(-\cos 0^o-\cot {60}^o\right)$

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\{\begin{array}{l}\sin {30}^o=\frac{1}{2};\tan {30}^o=\frac{\sqrt{3}}{3}\\ \cos {45}^o=\frac{\sqrt{2}}{2};\cos 0^o=1;\cot {60}^o=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}$

$\Rightarrow A=\left(2.\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}+3.\frac{\sqrt{3}}{3}\right).\left(-1-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

$\begin{array}{l}\iff A=-\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}\right).\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\\ \iff A=-\frac{2-\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2}.\frac{3+\sqrt{3}}{3}\\ \iff A=-\frac{\left(2-\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)\left(3+\sqrt{3}\right)}{6}\\ \iff A=-\frac{6+2\sqrt{3}-3\sqrt{2}-\sqrt{6}+6\sqrt{3}+6}{6}\\ \iff A=-\frac{12+8\sqrt{3}-3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6}.\end{array}$

b) ${\sin }^2{90}^o+{\cos }^2{120}^o+{\cos }^2{0}^o-{\tan }^{2}60+{\cot }^2{135}^o$

Phương pháp giải:

Bước 1: Đưa GTLG của các góc ${120}^o,{135}^o$ về GTLG của các góc ${60}^o,{45}^o$

$\cos {120}^o=-\cos {60}^o,\cot {135}^o=-\cot {45}^o$

Bước 2: Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.

$$\begin{gathered} \cos 0^o=1;\cot {45}^o=1;\cos {60}^o=\frac{1}{2} \\ \tan {60}^o=\sqrt{3};\sin {90}^o=1 \end{gathered}$$

Lời giải:

Đặt  $B={\sin }^2{90}^o+{\cos }^2{120}^o+{\cos }^2{0}^o-{\tan }^{2}60+{\cot }^2{135}^o$

Ta có: $\{\begin{array}{l}\cos {120}^o=-\cos {60}^o\\ \cot {135}^o=-\cot {45}^o\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\cos }^2{120}^o={\cos }^2{60}^o\\ {\cot }^2{135}^o={\cot }^2{45}^o\end{array}$

$\Rightarrow B={\sin }^2{90}^o+{\cos }^2{60}^o+{\cos }^2{0}^o-{\tan }^{2}60+{\cot }^2{45}^o$

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\{\begin{array}{l}\cos 0^o=1;\cot {45}^o=1;\cos {60}^o=\frac{1}{2}\\ \tan {60}^o=\sqrt{3};\sin {90}^o=1\end{array}$

$\Rightarrow B=1^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+1^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2+1^2$

$\iff B=1+\frac{1}{4}+1-3+1=\frac{1}{4}.$

c) $\cos {60}^o.\sin {30}^o+{\cos }^2{30}^o$

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.

$\sin {30}^o=\frac{1}{2};\cos {30}^o=\frac{\sqrt{3}}{2};\cos {60}^o=\frac{1}{2}$

Lời giải:

Đặt  $C=\cos {60}^o.\sin {30}^o+{\cos }^2{30}^o$

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\sin {30}^o=\frac{1}{2};\cos {30}^o=\frac{\sqrt{3}}{2};\cos {60}^o=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow C=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1.$

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Cho góc α, biết sin α = $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Tính giá trị của biểu thức A = 4sin² α + 3cos² α.

Hướng dẫn giải

Ta có:

A = 4sin² α + 3cos² α = (3sin² α + 3cos² α) + sin² α = 3  (sin² α + cos² α) + sin² α

Vì cos² α  + sin ² α  = 1 và sin α = $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Thay vào A ta có:  A = 3. 1 + ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2$ = $\frac{7}{2}$;

Vậy A = $\frac{7}{2}$.

Bài 2. Cho $\mathrm{A}=\frac{3\mathrm{sin\alpha }-\mathrm{cos\alpha }}{\mathrm{sin\alpha }+\mathrm{cos\alpha }}$ và tan α = $\sqrt{2}$. Chứng minh $\mathrm{A}=7-4\sqrt{2}.$ 

Hướng dẫn giải

Ta có: $\mathrm{tan\alpha }=\frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}=\sqrt{2}\Rightarrow \mathrm{sin\alpha }=\sqrt{2}\mathrm{cos\alpha }$

Suy ra $\mathrm{A}=\frac{3\mathrm{sin\alpha }-\mathrm{cos\alpha }}{\mathrm{sin\alpha }+\mathrm{cos\alpha }}$

$=\frac{3\sqrt{2}\mathrm{cos\alpha }-\mathrm{cos\alpha }}{\sqrt{2}\mathrm{cos\alpha }+\mathrm{cos\alpha }}$ 

$=\frac{(3\sqrt{2}-1)\mathrm{cos\alpha }}{(\sqrt{2}+1)\mathrm{cos\alpha }}$

$=\frac{3\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\left(3\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}=7-4\sqrt{2}$

Vậy A= 7 –  4$\sqrt{2}$.

Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) 3sin150° + tan135° + cot45°

b) cot135° – tan60°. cos²30°

Hướng dẫn giải

a) 3sin 150° + tan 135° + cot 45°

= 3.sin(180° – 30°) + tan(180° – 45°) + cot 45°

= 3.sin30° –  tan45° + cot45°

= 3 . $\frac{1}{2}$ + (-1) + 1 = $\frac{3}{2}$^.

b) cot 135° – tan 60°. cos² 30°  

= cot(180° – 45°) – tan60°.cos²30°

= – cot45° – tan60°.cos²30°

= (– 1) – $\sqrt{3}$.${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$= $-\frac{4+3\sqrt{3}}{4}$.

Xem thêm các bài giải Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Câu  hỏi mở đầu trang 33 Toán lớp 10: Bạn đã biết tỉ số lượng giác của một góc nhọn. Đối với góc tù thì sao?...

HĐ1 trang 34 Toán lớp 10: a) Nêu nhận xét về vị trí điểm M trên nửa đường tròn đơn vị trong mỗi trường hợp sau:...

Luyện tập 1 trang 34 Toán lớp 10:  Tìm các giá trị lượng giác của góc ${120}^o$ (H.3.4)...

HĐ2 trang 36 Toán lớp 10: Nêu nhận xét về vị trí của hai điểm M, M’ đối với trục Oy. Từ đó nêu các mối quan hệ giữa $\sin \alpha$ và $\sin \left({180}^o-\alpha \right)$, giữa $\cos \alpha$ và  $\cos \left({180}^o-\alpha \right)$...

Luyện tập 2 trang 36 Toán lớp 10: Trong Hình 3.6, hai điểm M, N ứng với hai góc phụ nhau $\alpha$ và ${90}^o-\alpha$ ($\widehat{xOM}=\alpha ,\widehat{xON}={90}^o-\alpha$). Chứng mình rằng $\mathrm{\Delta }MOP=\mathrm{\Delta }NOQ$. Từ đó nêu mối quan hệ giữa $\cos \alpha$ và $\sin \left({90}^o-\alpha \right)$...

Vận dụng trang 37 Toán lớp 10: Một chiếc đu quay có bán kính 75 m, tâm của vòng quay ở độ cao 90 m (H.3.7), thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu quay là 30 phút. Nếu một người vào cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay, thì sau 20 phút quay, người đó ở độ cao bao nhiêu mét?...

Bài 3.2 trang 37 Toán lớp 10: Đơn giản các biểu thức sau:...

Bài 3.3 trang 37 Toán lớp 10: Chứng minh các hệ thức sau:...

Bài 3.4 trang 37 Toán lớp 10: Cho góc $\alpha (0^o<\alpha <{180}^o)$ thỏa mãn $\tan \alpha =3$...

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 2

Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài tập cuối chương 3

Bài 7: Các khái niệm mở đầu