a) ${\displaystyle \frac{5y}{7}}={\displaystyle \frac{20xy}{28x}}$;

b) ${\displaystyle \frac{3x(x+5)}{2(x+5)}}={\displaystyle \frac{3x}{2}}$;

c) ${\displaystyle \frac{x+2}{x-1}}={\displaystyle \frac{(x+2)(x+1)}{x^2-1}}$;

d) ${\displaystyle \frac{x^2-x-2}{x+1}}={\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{x-1}}$;

e) ${\displaystyle \frac{x^3+8}{x^2-2x+4}}=x+2$;

Phương pháp giải: Áp dụng định nghĩa hai phân thức bằng nhau: ${\displaystyle \frac{A}{B}}={\displaystyle \frac{C}{D}}$ nếu $AD=BC$.

Lời giải:

a) ${\displaystyle \frac{5y}{7}}={\displaystyle \frac{20xy}{28x}}$

$\begin{array}{c}5y.28x=140xy\\ 7.20xy=140xy\end{array}\}$ $\Rightarrow 5y.28x=7.20xy$

nên ${\displaystyle \frac{5y}{7}}={\displaystyle \frac{20xy}{28x}}$

b) ${\displaystyle \frac{3x(x+5)}{2(x+5)}}={\displaystyle \frac{3x}{2}}$

Xét tích chéo:

$3x(x+5).2=6x(x+5)$

$3x.2(x+5)=6x(x+5)$

Suy ra $3x(x+5).2=3x.2(x+5)$

Do đó ${\displaystyle \frac{3x(x+5)}{2(x+5)}}={\displaystyle \frac{3x}{2}}$

c) ${\displaystyle \frac{x+2}{x-1}}={\displaystyle \frac{(x+2)(x+1)}{x^2-1}}$;

Xét tích chéo:

$(x+2)(x^2-1)$$=(x+2)(x+1)(x-1)$.

Nên ${\displaystyle \frac{x+2}{x-1}}={\displaystyle \frac{(x+2)(x+1)}{x^2-1}}$

d) ${\displaystyle \frac{x^2-x-2}{x+1}}={\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{x-1}}$

$\begin{array}{l}\left(x^2-x-2\right)\left(x-1\right)\\ =\left(x^2-2x+x-2\right)\left(x-1\right)\\ =\left[x\left(x-2\right)+\left(x-2\right)\right]\left(x-1\right)\\ =\left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)\\ \left(x+1\right)\left(x^2-3x+2\right)\\ =\left(x+1\right)\left(x^2-2x-x+2\right)\\ =\left(x+1\right)\left[x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)\right]\\ =\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right)\end{array}$

$\Rightarrow \left(x^2-x-2\right)\left(x-1\right)=$$\left(x+1\right)\left(x^2-3x+2\right)$

Vậy  ${\displaystyle \frac{x^2-x-2}{x+1}}={\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{x-1}}$

Cách khác:

$\left(x^2-x-2\right)\left(x-1\right)$$=x^2.x+x^2.(-1)+(-x).x$$+(-x).(-1)+(-2).x+(-2).(-1)$$=x^3-x^2-x^2+x-2x+2$$=x^3-2x^2-x+2$

$\left(x+1\right)\left(x^2-3x+2\right)$$=x.x^2+x.\left(-3x\right)+x.2+1.x^2$$+1.\left(-3x\right)+1.2$$=x^3-3x^2+2x+x^2-3x+2$$=x^3-2x^2-x+2$

$\Rightarrow \left(x^2-x-2\right)\left(x-1\right)=$$\left(x+1\right)\left(x^2-3x+2\right)$

Vậy  ${\displaystyle \frac{x^2-x-2}{x+1}}={\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{x-1}}$

e) ${\displaystyle \frac{x^3+8}{x^2-2x+4}}=x+2$;

Ta có: ${\displaystyle \frac{x^3+8}{x^2-2x+4}}=x+2$

Suy ra ${\displaystyle \frac{x^3+8}{x^2-2x+4}}={\displaystyle \frac{x+2}{1}}$

Xét tích chéo:

$(x^3+8).1=x^3+2^3$$=(x+2)(x^2–2x+4)$

Do đó: ${\displaystyle \frac{x^3+8}{x^2-2x+4}}=x+2$

Bài 2 trang 36 sgk Toán 8 Tập 1: Ba phân thức sau có bằng nhau không?

${\displaystyle \frac{x^2-2x-3}{x^2+x}}$; ${\displaystyle \frac{x-3}{x}}$ ; ${\displaystyle \frac{x^2-4x+3}{x^2-x}}$

Phương pháp giải: Áp dụng định nghĩa hai phân thức bằng nhau:${\displaystyle \frac{A}{B}}={\displaystyle \frac{C}{D}}$ nếu $AD=BC$, ta lần lượt xét từng cặp phân thức xem có bằng nhau không.

Lời giải:

+) Kiểm tra ${\displaystyle \frac{x^2-2x-3}{x^2+x}}$ và ${\displaystyle \frac{x-3}{x}}$

Xét các tích chéo, ta có:

*) $\left(x^2-2x-3\right)x=x^3-2x^2-3x$

*) $\left(x^2+x\right)\left(x-3\right)$$=x^3-3x^2+x^2-3x$$=x^3-2x^2-3x$

Nên  $(x^2–2x–3)x=(x^2+x)(x–3)$

Do đó: ${\displaystyle \frac{x^2-2x-3}{x^2+x}}={\displaystyle \frac{x-3}{x}}$ (1)

+) Kiểm tra ${\displaystyle \frac{x-3}{x}}$ và ${\displaystyle \frac{x^2-4x+3}{x^2-x}}$ 

Xét các tích chéo, ta có: 

*) $\left(x-3\right)(x^2-x)=x^3-x^2-3x^2+3x$$=x^3-4x^2+3x$

*) $x(x^2-4x+3)=x^3-4x^2+3x$

Nên $\left(x-3\right)(x^2-x)=x(x^2-4x+3)$

Do đó  ${\displaystyle \frac{x-3}{x}}={\displaystyle \frac{x^2-4x+3}{x^2-x}}$ (2)

Vậy từ (1) và (2) ta suy ra: ${\displaystyle \frac{x^2-2x-3}{x^2+x}}={\displaystyle \frac{x-3}{x}}={\displaystyle \frac{x^2-4x+3}{x^2-x}}$

Bài 3 trang 36 sgk Toán 8 Tập 1: Cho ba đa thức : $x^2-4x;x^2+4;x^2+4x.$

Hãy chọn đa thức thích hợp trong ba đa thức đó rồi điền vào chỗ trống trong đẳng thức dưới đây:

                            ${\displaystyle \frac{...}{x^2-16}}={\displaystyle \frac{x}{x-4}}$

Phương pháp giải: Áp dụng định nghĩa hai phân thức bằng nhau: Với hai phân thức ${\displaystyle \frac{A}{B}}$ và ${\displaystyle \frac{C}{D}}$ gọi là bằng nhau nếu: $AD=BC.$

Lời giải:

Ta có: ${\displaystyle \frac{...}{x^2-16}}={\displaystyle \frac{x}{x-4}}$

$\Rightarrow (\dots )\left(x-4\right)=x(x^2-16)$

$\Rightarrow (\dots )\left(x-4\right)=x\left(x+4\right)\left(x-4\right)$

$\Rightarrow (\dots )\left(x-4\right)=(x^2+4x)\left(x-4\right)$

$\Rightarrow (\dots )=x^2+4x$

Vậy phải điền vào chỗ trống đa thức $x^2+4x.$

Lý thuyết về phân thức đại số

1. Phân thức đại số:

Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng ${\displaystyle \frac{A}{B}}$ , trong đó $A,B$ là những đa thức và $B$ khác 0. $A$ được gọi là tử thức (hay tử); $B$ được gọi là mẫu thức (hay mẫu).

Chú ý: Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng $1$ .

Ví dụ: ${\displaystyle \frac{x}{x+1}}$ là một phân thức đại số. Số $2$ cũng là một phân thức đại số dưới dạng ${\displaystyle \frac{2}{1}}.$ 

Hai phân thức bằng nhau: Với hai phân thức ${\displaystyle \frac{A}{B}}$  và ${\displaystyle \frac{C}{D}}$ $\left(B\ne 0,D\ne 0\right)$ , ta nói ${\displaystyle \frac{A}{B}}={\displaystyle \frac{C}{D}}$  nếu $A.D=B.C$

Tính chất cơ bản của phân thức đại số:

+   ${\displaystyle \frac{A}{B}}={\displaystyle \frac{A.M}{B.M}}$($M$ là một đa thức khác $0$ )

+ ${\displaystyle \frac{A}{B}}={\displaystyle \frac{A:N}{B:N}}$  ($N$ là một nhân tử chung, $N$ khác đa thức $0$ )

Qui tắc đổi dấu: Đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì ta được phân thức mới bằng phân thức đã cho:    ${\displaystyle \frac{A}{B}}={\displaystyle \frac{-A}{-B}}$

Ngoài ra, ta còn có một số quy tắc sau :

+ Đổi dấu tử số và đổi dấu phân thức:  ${\displaystyle \frac{A}{B}}=-{\displaystyle \frac{-A}{B}}$ 

+ Đổi dấu mẫu số và đổi dấu phân thức: ${\displaystyle \frac{A}{B}}=-{\displaystyle \frac{A}{-B}}$

+ Đổi dấu mẫu : ${\displaystyle \frac{A}{-B}}=-{\displaystyle \frac{A}{B}}$

2. Các dạng toán thường gặp:

Dạng 2: Tìm giá trị của biến số $x$ để phân thức${\displaystyle \frac{A}{B}}$  nhận giá trị $m$ cho trước.

Phương pháp:

Bước 1: Tìm điều kiện để phân thức xác định: $B\ne 0$

Bước 2: Từ giả thiết ta có ${\displaystyle \frac{A}{B}}=m$ . Từ đó tìm được $x.$

Bước 3: So sánh với điều kiện ở bước 1 để kết luận.

Dạng 3: Chứng minh hai phân thức bằng nhau. Tìm các giá trị của $x$ để hai phân thức bằng nhau.

Phương pháp: Ta sử dụng các kiến thức sau:

+ Với hai phân thức ${\displaystyle \frac{A}{B}}$  và ${\displaystyle \frac{C}{D}}$$\left(B\ne 0,D\ne 0\right)$, ta nói ${\displaystyle \frac{A}{B}}={\displaystyle \frac{C}{D}}$  nếu $A.D=B.C$

+  ${\displaystyle \frac{A}{B}}={\displaystyle \frac{A.M}{B.M}}$ ($M$ là một đa thức khác $0$ )

+ ${\displaystyle \frac{A}{B}}={\displaystyle \frac{A:N}{B:N}}$  ($N$ là một nhân tử chung, $N$ khác đa thức $0.$)

+ ${\displaystyle \frac{A}{B}}={\displaystyle \frac{-A}{-B}}.$