Trả lời nhanh
Giải tam giác ABC vuông tại A nghĩa là tìm tất cả các cạnh và góc chưa biết. Dùng định lí Pythagore (BC² = AB² + AC²), các tỉ số lượng giác sin, cos, tan, cot của góc nhọn và hệ thức B + C = 90°. Chỉ cần biết hai yếu tố, trong đó có ít nhất một cạnh, là tính được các yếu tố còn lại.
Đề bài trong slug của trang thường là “Giải tam giác ABC vuông tại A biết rằng…” và phần số liệu thay đổi theo từng bài. Vì vậy dưới đây thầy cô hướng dẫn phương pháp cho mọi trường hợp. Các số liệu trong ví dụ là ví dụ tự đặt, em thay số của đề mình vào là làm được.
Kí hiệu và công thức cần nhớ
Quy ước: BC = a (cạnh huyền), AC = b, AB = c. Góc B đối diện cạnh AC, góc C đối diện cạnh AB.
| Công thức | Nội dung |
|---|---|
| Pythagore | a² = b² + c² |
| Hai góc nhọn | B + C = 90° |
| sin B | b / a (đối / huyền) |
| cos B | c / a (kề / huyền) |
| tan B | b / c (đối / kề) |
| cot B | c / b (kề / đối) |
| Cạnh góc vuông | b = a·sin B = a·cos C = c·tan B = c·cot C |
Mẹo nhớ: “Sin đi học, cos không hư, tan đoàn kết, cot kết đoàn” (sin = đối/huyền, cos = kề/huyền, tan = đối/kề, cot = kề/đối).
Các bước giải chung
- Vẽ hình, ghi rõ cạnh huyền BC và hai cạnh góc vuông AB, AC.
- Xác định đề cho gì: hai cạnh hay một cạnh và một góc nhọn.
- Tính góc nhọn còn lại bằng 90° trừ góc đã biết (nếu có).
- Tính cạnh còn thiếu bằng tỉ số lượng giác hoặc Pythagore.
- Kiểm tra lại bằng một hệ thức khác, rồi kết luận có làm tròn (cạnh đến chữ số thập phân thứ hai, góc đến độ hoặc phút theo yêu cầu).
Trường hợp 1: biết hai cạnh góc vuông
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6 cm, AC = 8 cm. Giải tam giác.
- BC² = 6² + 8² = 100 nên BC = 10 cm.
- tan B = AC/AB = 8/6 = 4/3, suy ra góc B ≈ 53,13° (khoảng 53°8′).
- Góc C = 90° − 53,13° ≈ 36,87°.
Kiểm tra: sin C = AB/BC = 6/10 = 0,6, và sin 36,87° ≈ 0,6. Khớp.
Trường hợp 2: biết cạnh huyền và một góc nhọn
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 12 cm, góc B = 35°. Giải tam giác.
- Góc C = 90° − 35° = 55°.
- AB = BC·cos B = 12·cos 35° ≈ 12·0,8192 ≈ 9,83 cm.
- AC = BC·sin B = 12·sin 35° ≈ 12·0,5736 ≈ 6,88 cm.
Kiểm tra: 9,83² + 6,88² ≈ 96,63 + 47,33 = 143,96 ≈ 144 = 12². Khớp.
Trường hợp 3: biết một cạnh góc vuông và một góc nhọn
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 5 cm, góc C = 40°. Giải tam giác.
- Góc B = 90° − 40° = 50°.
- AB là cạnh đối của góc C nên AC = AB / tan C = 5 / tan 40° ≈ 5 / 0,8391 ≈ 5,96 cm.
- BC = AB / sin C = 5 / sin 40° ≈ 5 / 0,6428 ≈ 7,78 cm.
Kiểm tra: 5² + 5,96² ≈ 25 + 35,52 = 60,52, còn 7,78² ≈ 60,53. Khớp.
Trường hợp 4: biết cạnh huyền và một cạnh góc vuông
Dùng Pythagore để tìm cạnh còn lại, sau đó dùng sin hoặc cos để tìm góc. Ví dụ: BC = 13, AC = 5 thì AB = √(169 − 25) = 12. Lại có sin B = 5/13 ≈ 0,3846 nên góc B ≈ 22,62°, góc C ≈ 67,38°.
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm cạnh đối và cạnh kề. Cạnh đối/kề phụ thuộc vào góc đang xét. Với góc B thì AC là đối, với góc C thì AC lại là kề.
- Để máy tính ở chế độ radian. Khi tính sin, cos, tan của góc theo độ, máy phải ở chế độ Degree.
- Làm tròn quá sớm. Giữ nhiều chữ số ở bước giữa, chỉ làm tròn ở kết quả cuối để sai số không tích lũy.
- Dùng tỉ số lượng giác khi chưa đủ dữ kiện. Biết mỗi hai góc thì chưa tính được cạnh, phải có ít nhất một cạnh.
- Quên điều kiện cạnh huyền lớn nhất. Nếu tính ra cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyền thì chắc chắn đã sai.
Bài luyện tập có đáp án
Bài 1. Tam giác ABC vuông tại A, AB = 9 cm, AC = 12 cm. Giải tam giác.
Đáp án: BC = 15 cm; tan B = 12/9 = 4/3 nên B ≈ 53,13°, C ≈ 36,87°.
Bài 2. Tam giác ABC vuông tại A, AC = 9 cm, góc C = 30°. Giải tam giác.
Đáp án: B = 60°; AB = AC·tan C = 9·tan 30° ≈ 5,20 cm; BC = AC / cos C = 9 / cos 30° ≈ 10,39 cm.
Bài 3. Tam giác ABC vuông tại A, BC = 20 cm, góc B = 50°. Tính AB, AC (làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: AB = 20·cos 50° ≈ 12,86 cm; AC = 20·sin 50° ≈ 15,32 cm; góc C = 40°.
Tóm lại
Gặp bài “giải tam giác ABC vuông tại A”, em xác định dữ kiện thuộc trường hợp nào trong bốn trường hợp trên, chọn đúng tỉ số lượng giác rồi kiểm tra lại bằng Pythagore. Nếu em gửi số liệu cụ thể của đề, chỉ cần thay vào các bước trên là có lời giải hoàn chỉnh.
Câu hỏi thường gặp
Giải tam giác vuông nghĩa là gì?
Là tìm độ dài tất cả các cạnh và số đo tất cả các góc của tam giác vuông khi đã biết một số yếu tố. Với tam giác vuông, chỉ cần biết hai yếu tố trong đó có ít nhất một cạnh là đủ.
Khi nào dùng sin, khi nào dùng cos, tan?
Xét góc nhọn đang quan tâm. Nếu liên quan cạnh đối và cạnh huyền thì dùng sin; cạnh kề và cạnh huyền thì dùng cos; cạnh đối và cạnh kề thì dùng tan hoặc cot.
Làm sao tìm góc khi biết tỉ số lượng giác?
Dùng chức năng sin⁻¹, cos⁻¹ hoặc tan⁻¹ (phím SHIFT) trên máy tính cầm tay, đặt chế độ Degree. Ví dụ tan B = 4/3 thì B ≈ 53,13°.
Có cần làm tròn kết quả không?
Thường đề yêu cầu làm tròn cạnh đến chữ số thập phân thứ hai hoặc thứ nhất, góc đến độ hoặc phút. Chỉ làm tròn ở bước cuối cùng để tránh sai số.