Bài 7 trang 69 SGK Toán 9 Tập 1 :Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân $x$ của hai đoạn thẳng $a,b$ (tức là $x^2=ab$ ) như trong hai hình sau:

Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng.

Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

       $A{H}^2=BH.CH\iff x^2=a.b$

                                       $\iff x=\sqrt{ab}$

Vậy $x$ là trung bình nhân của $a$ và $b$.

Cách vẽ: Bước $1$: Đặt $BH=a,CH=b$. Xác định trung điểm $O$ của đoạn $AB$. 

             Bước $2$: Vẽ nửa đường tròn tâm $O$ bán kính $OB$. 

             Bước $3$: Kẻ thẳng đi qua $H$ và vuông góc với $BC$. Đường thẳng này cắt nửa đường tròn tại $A$. 

             Bước $4$: Nối $A$ và $H$ ta được $AH=x$ là đoạn trung bình nhân của hai đoạn thẳng $a,b$.

Cách 2: Vẽ và đặt tên như hình bên dưới

Xét $\mathrm{\Delta }ABC$ có:

                $OA=OB=OC={\displaystyle \frac{BC}{2}}$ (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

Mà $AO$ là trung tuyến ứng với cạnh $BC$ của $\mathrm{\Delta }ABC$.

Suy ra $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$ (tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bẳng nửa cạnh đó thì là tam giác vuông)

Xét $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$.  Áp dụng hệ thức $b^2=b^{\prime }.a$, ta có:

                 $A{B}^2=BC.BH\iff x^2=a.b$

                                                $\iff x=\sqrt{ab}$ 

Vậy $x$ là trung bình nhân của $a$ và $b$.

             Bước $2$: Vẽ nửa đường tròn tâm $O$ bán kính $OB$. 

             Bước $3$: Kẻ đường thẳng đi qua điểm $H$ và vuông góc với $BC$. Đường thẳng này cắt nửa đường tròn tại $A$. 

             Bước $4$: Nối $B$ và $A$ ta được $AB=x$ là đoạn trung bình nhân của hai đoạn thẳng $a,b$