Phương pháp giải:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Khi đó ta có các hệ thức sau:

+) $A{B}^2=BH.BC$ hay $c^2=a.c^{\prime }$

+)$A{C}^2=CH.BC$ hay $b^2=a{b}^{\prime }$

+) $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ hay $c^2+b^2=a^2$ (định lý Pytago)

Lời giải:

a) Ta đặt tên như hình vẽ dưới đây:

Xét tam giác $ABC$ có chiều cao $AH.$

Theo định lý Py-ta-go, ta có:

$B{C}^2=A{C}^2+A{B}^2=5^2+7^2$

Hay $x+y=BC=\sqrt{5^2+7^2}=\sqrt{74}$ 

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó, ta có:

$A{B}^2=BH.BC$ 

$\Rightarrow 5^2=x.\sqrt{74}\Rightarrow x={\displaystyle \frac{25}{\sqrt{74}}}$

Thay $x={\displaystyle \frac{25}{\sqrt{74}}}$ vào $x+y=\sqrt{74}$, ta có:

$y+{\displaystyle \frac{25}{\sqrt{74}}}=\sqrt{74}$$\Rightarrow y=\sqrt{74}-{\displaystyle \frac{25}{\sqrt{74}}}$$={\displaystyle \frac{74-25}{\sqrt{74}}}={\displaystyle \frac{49}{\sqrt{74}}}$

Vậy $x={\displaystyle \frac{25}{\sqrt{74}}};$$y={\displaystyle \frac{49}{\sqrt{74}}}.$

b) Ta đặt tên như hình vẽ dưới đây:  

Xét tam giác $ABC$ có chiều cao $AH.$

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

$A{C}^2=CH.BC$

$\Rightarrow {14}^2=y.16\Rightarrow y={\displaystyle \frac{{14}^2}{16}}$$={\displaystyle \frac{196}{16}}=12,25$ 

Mà $x+y=16\Rightarrow x=16-y$$=16-12,25=3,75$

Vậy $x=12,25;y=3,75.$

Phương pháp giải:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Khi đó ta có các hệ thức sau: 

+) $A{B}^2=BH.BC$ hay $c^2=a.c^{\prime }$ 

+) $A{C}^2=CH.BC$ hay $b^2=a{b}^{\prime }$

+) $AH=HB.HC$ hay $h=c^{\prime }.b^{\prime }$

Lời giải:

a)  Đặt tên hình như hình dưới đây:

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH.$

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có: 

$A{B}^2=BH.BC$ hay $x^2=2.(2+6)=2.8=16$$\Rightarrow x=4$

$A{C}^2=CH.BC$  hay $y^2=6.(2+6)=6.8=48$$\Rightarrow y=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$

b) Đặt tên hình như hình dưới đây:

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH.$

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có:

$A{H}^2=HB.HC$ hay $x^2=2.8=16\Rightarrow x=4$ 

Phương pháp giải:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Khi đó ta có các hệ thức sau:

+) $A{B}^2=BH.BC$ hay $c^2=a.c^{\prime }$ 

+)$A{C}^2=CH.BC$ hay $b^2=a{b}^{\prime }$

+) $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ hay $c^2+b^2=a^2$ (định lý Pytago)

Lời giải:

a)   Hình a

Theo định lý Pi-ta-go, ta có: 

$y^2=7^2+9^2$$\Rightarrow y=\sqrt{7^2+9^2}=\sqrt{130}$ 

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có:

$x.y=7.9\Rightarrow x={\displaystyle \frac{7.9}{y}}={\displaystyle \frac{63}{\sqrt{130}}}$ 

b)  Hình b

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

$5^2=x.x=x^2\Rightarrow x=5$ 

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

$y^2=x.(x+x)=5.(5+5)=50$$\Rightarrow y=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ 

Phương pháp giải:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Khi đó ta có các hệ thức sau: 

+) $A{B}^2=BH.BC$ hay $c^2=a.c^{\prime }$  

+) $A{C}^2=CH.BC$ hay $b^2=a{b}^{\prime }$

+) $AH.BC=AB.AC$

+) $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ hay $c^2+b^2=a^2$ (định lý Pytago) 

Lời giải:

a) Hình a 

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

$3^2=2.x\Rightarrow x={\displaystyle \frac{3^2}{2}}={\displaystyle \frac{9}{2}}=4,5$ 

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có: 

$\begin{array}{rl}& y^2=x.(x+2)=4,5.(4,5+2)\\ & \Rightarrow y^2=29,25\\ & \Rightarrow y=\sqrt{29,25}\end{array}$

b) Hình b

Ta có:

$\begin{array}{rl}& \frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}\\ & \Rightarrow \frac{AB}{3}=\frac{AC}{4}\\ & \Rightarrow AC=4.\frac{AB}{3}\\ & =4.\frac{15}{3}=4.5=20\end{array}$

Theo định lý Pi-ta-go, ta có:

$y^2=B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$$={15}^2+{20}^2=625$

Suy ra:

$y=\sqrt{625}=25$

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có:

$\begin{array}{rl}& x.y=15.20\\ & \Rightarrow x=\frac{15.20}{y}=\frac{15.20}{25}=12\end{array}$ 

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Khi đó ta có các hệ thức sau:

+) $A{B}^2=BH.BC$ hay $c^2=a.c^{\prime }$ 

+) $A{C}^2=CH.BC$ hay $b^2=a{b}^{\prime }$

+) $A{H}^2=HB.HC;AB.AC=AH.BC$

+) $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ hay $c^2+b^2=a^2$ (định lý Pytago) 

Lời giải:

Ta vẽ được hình dưới đây: 

Giả sử tam giác ABC có: $\widehat{BAC}={90}^{\circ }$

$AB=5,AC=7$ 

Theo định lý Py-ta-go, ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}\\ & =\sqrt{5^2+7^2}=\sqrt{74}\end{array}$ 

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có:

$\begin{array}{rl}& AH.BC=AB.AC\\ & \Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}\\ & =\frac{5.7}{\sqrt{74}}=\frac{35}{\sqrt{74}}\end{array}$ 

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó, ta có:

$\begin{array}{rl}& A{B}^2=BH.BC\\ & \Rightarrow BH=\frac{A{B}^2}{BC}\\ & =\frac{5^2}{\sqrt{74}}=\frac{25}{\sqrt{74}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& CH=BC-BH\\ & =\sqrt{74}-\frac{25}{\sqrt{74}}=\frac{74-25}{\sqrt{74}}=\frac{49}{\sqrt{74}}\end{array}$

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Khi đó ta có các hệ thức sau:

+) $A{B}^2=BH.BC$ hay $c^2=a.c^{\prime }$

+)$A{C}^2=CH.BC$ hay $b^2=a{b}^{\prime }$

+) $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ hay $c^2+b^2=a^2$ (định lý Pytago)

Lời giải:

Giả sử tam giác ABC có: $\widehat{BAC}={90}^0,$$AH\mathrm{\perp }BC,BH=3,CH=4$

Ta có $BC=BH+CH=3+4=7$

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có: 

$\begin{array}{rl}& A{B}^2=BH.BC\\ & =3.7=21\\ & \Rightarrow AB=\sqrt{21};\end{array}$

$\begin{array}{rl}& A{C}^2=CH.BC\\ & =4.7=28\\ & \Rightarrow AC=\sqrt{28}=2\sqrt{7}.\end{array}$ 

6

Phương pháp giải:

Xét tam giác $ABC$ vuông tại A. 

Để giải bài toán ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Thực hiện liên kết các dữ kiện:

$BC-AB=1(cm)$  

$AB+AC-BC=4(cm)$

Bước 2: Cộng vế với vế để tìm ra một cạnh trong tam giác.

Bước 3: Sử dụng định lí Pytago để tìm các cạnh còn lại của tam giác. 

Lời giải:

Giả sử tam giác ABC có $\widehat{BAC}={90}^{\circ }$

Theo đề  bài, ta có: $BC-AB=1(cm)$  (1) 

$AB+AC-BC=4(cm)$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:   

$(BC-AB)+(AB+AC-BC)$$=1+4$
$\iff BC-AB+AB+AC-BC=5$
$\iff AC=5$

Theo định lý Pytago, ta có: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$    (3)

Từ (1) suy ra: $BC=AB+1$   (4)

Thay (4) và (3) ta có:

$\begin{array}{rl}& {\left(AB+1\right)}^2=A{B}^2+A{C}^2\\ & \iff A{B}^2+2AB+1=A{B}^2+5^2\\ & \iff 2AB=24\\ & \iff AB=12\left(cm\right)\end{array}$

Thay $AB=12$ (cm) vào (1) ta có: $BC=12+1=13(cm)$

Phương pháp giải:

Xét tam giác $ABC$ có $\widehat{BAC}={90}^0,$$AH\mathrm{\perp }BC,BC=5,AH=2$ và $BH<CH$

Suy luận để có $BH+CH=5$

Sử dụng hệ thức: $BH.CH=A{H}^2$

Từ đó tính được $BH,$ suy ra cạnh $AB$ và lập luận để có $AB$ là cạnh nhỏ nhất. 

Lời giải:

Giả sử tam giác $ABC$ có $\widehat{BAC}={90}^0,$$AH\mathrm{\perp }BC,BC=5,AH=2$ và $BH<CH$

Ta có: $BH+CH=BC=5$ nên $BH=5-CH$  (1) 

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và các hình chiếu cạnh góc vuông trong tam giác vuông, ta có:  

$BH.CH=A{H}^2=2^2=4$    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 

$BH(5-BH)=4$
$\iff B{H}^2-5BH+4=0$

$\iff B{H}^2-4BH-BH+4=0$

$\iff BH(BH-4)-(BH-4)=0$

$\iff (BH-1)(BH-4)=0$
$\iff [\begin{array}{l}BH=1\Rightarrow CH=4\\ BH=4\Rightarrow CH=1\end{array}$

Do $BH<CH$ nên $BH=1$ và $CH=4$ 

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

$A{B}^2=BH.BC$$=1.5=5$ 

Suy ra: $AB=\sqrt{5}.$

Vì $BH<CH$ nên $AB<AC$ hay $AB=\sqrt{5}$ là cạnh nhỏ nhất của tam giác $ABC.$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:  

${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a+c}{b+d}}$

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. 

Khi đó ta có các hệ thức sau:

+) $A{B}^2=BH.BC$ 

+) $A{C}^2=CH.BC$

+) $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ (định lý Pytago).

Lời giải:

Giả sử $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$ chiều cao $AH,BC=125cm$ và ${\displaystyle \frac{AB}{AC}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$

Từ ${\displaystyle \frac{AB}{AC}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$ suy ra: ${\displaystyle \frac{AB}{3}}={\displaystyle \frac{AC}{4}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{A{B}^2}{9}}={\displaystyle \frac{A{C}^2}{16}}$

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:  

${\displaystyle \frac{A{B}^2}{9}}={\displaystyle \frac{A{C}^2}{16}}$$={\displaystyle \frac{A{B}^2+A{C}^2}{9+16}}={\displaystyle \frac{A{B}^2+A{C}^2}{25}}(1)$ 

Theo định lí Pytago, ta có:

$\begin{array}{rl}& B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2\\ & \Rightarrow A{B}^2+A{C}^2={125}^2=15625(2)\end{array}$

Từ (1) và (2) suy ra: ${\displaystyle \frac{A{B}^2}{9}}={\displaystyle \frac{A{C}^2}{16}}$$={\displaystyle \frac{A{B}^2+A{C}^2}{25}}={\displaystyle \frac{15625}{25}}=625$

Suy ra :

$A{B}^2=9.625=5625$$\Rightarrow AB=\sqrt{5625}=75(cm)$

$A{C}^2=16.625=10000$$\Rightarrow AC=\sqrt{10000}=100(cm)$ 

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

$A{B}^2=BH.BC$$\Rightarrow BH={\displaystyle \frac{A{B}^2}{BC}}$$={\displaystyle \frac{{75}^2}{125}}=45(cm)$

$CH=BC-BH$$=125-45=80(cm).$ 

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$.

Khi đó ta có các hệ thức sau: 

+) $A{B}^2=BH.BC$ 

+) $A{C}^2=CH.BC$ 

+) $A{H}^2=HB.HC;AB.AC=AH.BC$

+) $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ (định lý Pytago).

Lời giải:

Xét hai tam giác vuông $AHB$ và $CHA,$ ta có:

$\widehat{AHB}=\widehat{CHA}={90}^0$ 

$\widehat{ABH}=\widehat{CAH}$ (hai góc cùng phụ $\widehat{ACB}$) 

Vậy $∆AHB\backsim ∆CHA$ (g.g)

Suy ra: ${\displaystyle \frac{AH}{HC}}={\displaystyle \frac{AB}{CA}}.$  (1)

Theo đề bài: ${\displaystyle \frac{AB}{AC}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$ và $AH=30(cm)$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ${\displaystyle \frac{30}{HC}}={\displaystyle \frac{5}{6}}\Rightarrow HC={\displaystyle \frac{30.6}{5}}=36(cm)$

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

$A{H}^2=HB.HC$$\Rightarrow HB={\displaystyle \frac{A{H}^2}{HC}}={\displaystyle \frac{{30}^2}{36}}=25(cm)$

Phương pháp giải:

Sử dụng: Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ (định lý Pytago).

Lời giải:

Vì hai vệ tinh cùng cách mặt đất $230km$ nên tam giác $AOB$ cân tại O.

Ta có: $OA=R+230$

$=6370+230=6600(km)$  

Trong tam giác cân AOB ta có: $OH\mathrm{\perp }AB$ nên $H$ là trung điểm của $AB$ 

Suy ra: $HA=HB={\displaystyle \frac{AB}{2}}$$={\displaystyle \frac{2200}{2}}=1100(km)$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $AHO$ ta có: $A{O}^2=A{H}^2+O{H}^2$

Suy ra: $O{H}^2=O{A}^2-A{H}^2$

Suy ra:

$\begin{array}{rl}& OH=\sqrt{O{A}^2-A{H}^2}\\ & =\sqrt{{6600}^2-{1100}^2}\\ & =\sqrt{42350000}\approx 6508(km)\end{array}$ 

Vì $OH>R$ nên hai vệ tinh nhìn thấy nhau.

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$.

Khi đó ta có hệ thức sau: $A{H}^2=BH.CH$

Từ đó suy ra cách dựng hình thỏa mãn đề bài.

Lời giải:

*  Cách dựng:

−     Dựng đường thẳng $x$.

−     Trên đường thẳng $x$ dựng liên tiếp hai đoạn thẳng $AB=a$, $BC=b$.

−     Dựng nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AC$.

−     Từ $B$ dựng đường thẳng vuông góc với $AC$ cắt nửa đường tròn tâm $O$ tại $D$.

Ta có đoạn $BD=\sqrt{ab}$ cần dựng. 

*  Chứng minh:

Nối $DA$ và $DC.$ Ta có tam giác $ACD$ vuông tại $D$ (do $OD=OA=OC={\displaystyle \frac{AC}{2}})$ và $DB\mathrm{\perp }AC$.

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

$B{D}^2=AB.BC=a.b$

Suy ra: $BD=\sqrt{ab}.$ 

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Lời giải:

Kẻ $BH\mathrm{\perp }AD$ ta được tứ giác $BCDH$ là hình chữ nhật (vì $\hat{C}=\hat{D}=\hat{H}={90}^0).$ 

Suy ra $DH=BC=4m$ và $BH=CD=10m$ (tính chất hình chữ nhật)

Và $AH=AD-DH=8-4=4$(m)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông $ABH$, ta có:

$A{B}^2=B{H}^2+A{H}^2$ 

Suy ra: $AB=\sqrt{B{H}^2+A{H}^2}$$=\sqrt{{10}^2+4^2}=\sqrt{116}\approx 10,8(m)$

Vậy băng chuyền dài khoảng 

Định lí Pytago đảo: 

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.

Lời giải:

Ta có: $5^2+{12}^2=25+144=169={13}^2$

Vì tam giác có ba cạnh với độ dài các cạnh thỏa mãn định lý Pytago đảo (bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại) nên nó là tam giác vuông.

Vậy góc đối diện với cạnh $13$ (cạnh dài nhất) là góc vuông. 

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $ABC$: 

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ thì ta có:

$B{C}^2=A{C}^2+A{B}^2$ 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a+c}{b+d}}$

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác.

Lời giải:

Trong tam giác $ABC$, gọi giao điểm đường phân giác của góc $\widehat{ABC}$ với cạnh $AC$ là $E$.

Theo đề bài ta có:  

$AE=4{\displaystyle \frac{2}{7}}m,EC=5{\displaystyle \frac{5}{7}}m.$

Theo tính chất của đường phân giác, ta có: ${\displaystyle \frac{AE}{EC}}={\displaystyle \frac{AB}{BC}}$

Suy ra:

${\displaystyle \frac{AB}{BC}}={\displaystyle \frac{4{\displaystyle \frac{2}{7}}}{5{\displaystyle \frac{5}{7}}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{30}{7}}}{{\displaystyle \frac{40}{7}}}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$

Suy ra: ${\displaystyle \frac{AB}{3}}={\displaystyle \frac{BC}{4}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{A{B}^2}{9}}={\displaystyle \frac{B{C}^2}{16}}$

Ta có $AC=AE+EC$${\displaystyle =4\frac{2}{7}+5\frac{5}{7}=10}$ 

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABC, ta có:

$A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2$$={10}^2=100$ 

Khi đó, ap dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$\begin{array}{rl}& \frac{A{B}^2}{9}=\frac{B{C}^2}{16}=\frac{A{B}^2+B{C}^2}{9+16}\\ & =\frac{A{B}^2+B{C}^2}{25}=\frac{100}{25}=4\end{array}$

Suy ra: $A{B}^2=9.4=36$$\Rightarrow AB=\sqrt{36}=6\left(m\right)$

$B{C}^2=16.4=64$$\Rightarrow BC=\sqrt{64}=8\left(m\right)$

Vậy: $AB=CD=6m$   

$BC=AD=8m.$

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $ABC$:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ thì ta có:

$B{C}^2=A{C}^2+A{B}^2$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: 

${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a+c}{b+d}}$

${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{c}{d}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{a^2}{b^2}}={\displaystyle \frac{c^2}{d^2}}={\displaystyle \frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}}$ 

Lưu ý: Tỉ số đồng dạng của hai tam giác bằng tỉ số chu vi của hai tam giác đó.

Lời giải:

Gọi $a,b,c$ lần lượt là chu vi của các tam giác $ABC$, $ABH$, $ACH$.

Ta có: $b=30cm,c=40cm.$ 

Xét hai tam giác vuông $AHB$ và $CHA$, ta có: 

$\widehat{AHB}=\widehat{CHA}={90}^{\circ }$

$\widehat{ABH}=\widehat{CAH}$ (hai góc cùng phụ $\widehat{ACB}$)

Vậy $\mathrm{\Delta }AHB$ đồng dạng $\mathrm{\Delta }CHA$ (g.g)

Suy ra: ${\displaystyle \frac{HB}{HA}}={\displaystyle \frac{HA}{HC}}$$={\displaystyle \frac{BA}{AC}}={\displaystyle \frac{HB+HA+BA}{HA+HC+AC}}={\displaystyle \frac{b}{c}}$

Suy ra: ${\displaystyle \frac{BA}{AC}}={\displaystyle \frac{b}{c}}={\displaystyle \frac{30}{40}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$

Suy ra: ${\displaystyle \frac{BA}{3}}={\displaystyle \frac{AC}{4}}$$\Rightarrow {\displaystyle \frac{B{A}^2}{9}}={\displaystyle \frac{A{C}^2}{16}}={\displaystyle \frac{B{A}^2+A{C}^2}{9+16}}$$={\displaystyle \frac{B{A}^2+A{C}^2}{25}}$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $ABC$, ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$ 

Suy ra:

${\displaystyle \frac{B{A}^2}{9}}={\displaystyle \frac{A{C}^2}{16}}={\displaystyle \frac{B{C}^2}{25}}$$\Rightarrow {\displaystyle \frac{BA}{3}}={\displaystyle \frac{AC}{4}}={\displaystyle \frac{BC}{5}}$

Xét hai tam giác vuông $AHB$ và $CAB$, ta có: 

$\widehat{CAB}=\widehat{CHA}={90}^{\circ }$

$\hat{C}$ chung

Nên $\mathrm{\Delta }CAB$ đồng dạng $\mathrm{\Delta }CHA$ (g.g)

Suy ra các tam giác $ABH,CAH,CBA$ đồng dạng với nhau nên:

$b:c:a=BA:AC:BC=3:4:5$ 

Suy ra: ${\displaystyle \frac{b}{3}}={\displaystyle \frac{c}{4}}={\displaystyle \frac{a}{5}}\iff {\displaystyle \frac{30}{3}}={\displaystyle \frac{40}{4}}={\displaystyle \frac{a}{5}}$

+ Tính chất đường phân giác:

- Đường phân giác trong của một tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy. 

Xét tam giác ABC có AM là phân giác của góc trong $\widehat{BAC}$.

Ta có hệ thức: ${\displaystyle \frac{AB}{AC}}={\displaystyle \frac{AM}{MC}}$

 - Đường phân giác ngoài tại một đỉnh của tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn thẳng ấy.

+ Tính chất tỉ lệ thức:

${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{c}{d}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{a}{a+b}}={\displaystyle \frac{c}{c+d}}.$ 

Lời giải: