Trả lời nhanh
A giao B (A∩B) gồm các phần tử thuộc cả A lẫn B; A hợp B (A∪B) gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B; A \ B gồm phần tử thuộc A mà không thuộc B; B \ A làm ngược lại. Với A = {a; b; c; d} và B = {a; c; e} (ví dụ minh hoạ): A∩B = {a; c}, A∪B = {a; b; c; d; e}, A \ B = {b; d}, B \ A = {e}.
Đề bài và cách hiểu
Đề yêu cầu xác định bốn tập: A∩B, A∪B, A \ B và B \ A trong từng trường hợp cụ thể của hai tập hợp A, B. Vì không còn đủ số liệu gốc của đề, bài viết này giải theo phương pháp và lấy ví dụ tự đặt: A = {a; b; c; d}, B = {a; c; e}. Em chỉ cần thay tập của đề mình vào đúng các bước dưới đây.
Nhắc lại bốn phép toán trên tập hợp
| Phép toán | Kí hiệu | Định nghĩa | Đọc nhanh |
|---|---|---|---|
| Giao | A∩B | {x | x ∈ A và x ∈ B} | phần chung |
| Hợp | A∪B | {x | x ∈ A hoặc x ∈ B} | gộp lại, phần tử chung chỉ ghi một lần |
| Hiệu | A \ B | {x | x ∈ A và x ∉ B} | của A, bỏ phần chung |
| Hiệu | B \ A | {x | x ∈ B và x ∉ A} | của B, bỏ phần chung |
Giải ví dụ: A = {a; b; c; d}, B = {a; c; e}
- Tìm phần tử chung trước. Phần tử a có ở cả hai tập; c cũng vậy. Vậy A∩B = {a; c}.
- Gộp tất cả, không lặp. Từ A lấy a, b, c, d; từ B bổ sung thêm e (a, c đã có). Vậy A∪B = {a; b; c; d; e}.
- A \ B: lấy A rồi bỏ các phần tử chung a, c. Còn lại {b; d}.
- B \ A: lấy B rồi bỏ a, c. Còn lại {e}.
Kiểm tra nhanh: số phần tử A∪B = 5 và |A| + |B| − |A∩B| = 4 + 3 − 2 = 5. Khớp.
Mẹo: vẽ biểu đồ Ven chia ba vùng
Hai tập hợp luôn chia các phần tử thành ba vùng: chỉ thuộc A, thuộc cả hai, chỉ thuộc B. Điền phần tử vào ba vùng này một lần, rồi đọc kết quả:
- A∩B = vùng giữa.
- A∪B = cả ba vùng.
- A \ B = vùng chỉ của A; B \ A = vùng chỉ của B.
Trường hợp tập cho bằng khoảng, đoạn
Ví dụ tự đặt: A = [1; 5) và B = (2; 7]. Vẽ hai tập lên trục số rồi xét từng đầu mút.
- A∩B: x phải thoả 1 ≤ x < 5 và 2 < x ≤ 7, tức 2 < x < 5. Vậy A∩B = (2; 5).
- A∪B: các số từ 1 đến 7, phủ liền nhau vì hai tập chồng lên nhau. Vậy A∪B = [1; 7].
- A \ B: phần của A không nằm trong B là 1 ≤ x ≤ 2. Vậy A \ B = [1; 2]. Chú ý số 2 thuộc A nhưng không thuộc B nên 2 được giữ lại, ngoặc vuông.
- B \ A: phần của B không nằm trong A là 5 ≤ x ≤ 7. Vậy B \ A = [5; 7], vì 5 ∉ A.
Quy tắc đầu mút: ở phép hiệu, đầu mút bị trừ đi sẽ “đổi” ngoặc: tròn thành vuông và ngược lại.
Lỗi sai thường gặp
- Ghi lặp phần tử chung trong A∪B, chẳng hạn {a; a; b; c; …}. Một phần tử chỉ ghi một lần.
- Nhầm A \ B với B \ A. Hiệu không có tính giao hoán, nên hai kết quả thường khác nhau.
- Nhầm “hoặc” trong định nghĩa hợp với “chỉ một trong hai”. Phần tử thuộc cả hai vẫn thuộc A∪B.
- Với khoảng, quên xét đầu mút nên ghi sai ngoặc tròn/vuông.
- Khi A∩B = ∅, vẫn phải viết rõ kết quả là tập rỗng, đừng bỏ trống.
Bài luyện tập
Bài 1. Cho C là tập ước dương của 12, D là tập ước dương của 18. Tìm C∩D, C∪D, C \ D, D \ C.
Đáp án. C = {1; 2; 3; 4; 6; 12}, D = {1; 2; 3; 6; 9; 18}. Vậy C∩D = {1; 2; 3; 6}; C∪D = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18}; C \ D = {4; 12}; D \ C = {9; 18}.
Bài 2. Cho E = (−∞; 3] và F = (1; +∞). Tìm E∩F, E∪F, E \ F, F \ E.
Đáp án. E∩F = (1; 3]; E∪F = ℝ; E \ F = (−∞; 1]; F \ E = (3; +∞).
Bài 3. Cho G = {1; 2; 3} và H = {4; 5}. Xác định G∩H và G \ H.
Đáp án. Không có phần tử chung nên G∩H = ∅; G \ H = G = {1; 2; 3}.
Câu hỏi thường gặp
A giao B là gì?
A giao B, kí hiệu A∩B, là tập hợp gồm tất cả các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B. Nếu hai tập không có phần tử chung thì A∩B là tập rỗng.
A hợp B khác A giao B ở điểm nào?
A hợp B gồm các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập, còn A giao B chỉ gồm các phần tử thuộc cả hai tập. Vì vậy A∩B luôn là tập con của A∪B.
A \ B và B \ A có bằng nhau không?
Nói chung là không. A \ B gồm phần tử của A không thuộc B, còn B \ A gồm phần tử của B không thuộc A. Hai tập này chỉ bằng nhau khi cùng là tập rỗng, tức A = B.
Làm sao tìm A giao B khi A, B là các khoảng?
Vẽ hai tập lên trục số, lấy phần chồng nhau của hai khoảng, rồi xét kỹ từng đầu mút xem có thuộc cả hai tập không để chọn ngoặc tròn hay ngoặc vuông.