Với giải sách bài tập Toán 12 Bài 2: Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 12 Bài 2: Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Bài 16 trang 14 SBT Toán 12 Tập 2: $\int \sin (-x)dx$ bằng:

A. sinx + C.

B. cosx + C.

C. −sinx + C.

D. −cosx + C.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\int \sin (-x)dx=\int \left(-\sin x\right)dx=\int \sin xdx$= −(−cosx) + C = cosx + C.

Bài 17 trang 14 SBT Toán 12 Tập 2: $\int \cos (-x)dx$ bằng:

A. sinx + C.

B. cosx + C.

C. −sinx + C.

D. −cosx + C.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int \cos (-x)dx=\int \cos xdx$=sinx + C.

Bài 18 trang 14 SBT Toán 12 Tập 2: $\int \frac{1}{{\sin }^2(-x)}dx$ bằng:

A. tanx + C.

B. cotx + C.

C. −tanx + C.

D. −cotx + C.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\int \frac{1}{{\sin }^2(-x)}dx=\int \frac{1}{{\left(-\sin x\right)}^2}dx$=$\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C.$

Bài 19 trang 14 SBT Toán 12 Tập 2: $\int \frac{1}{{\cos }^2(-x)}dx$ bằng:

A. tanx + C.

B. cotx + C.

C. −tanx + C.

D. −cotx + C.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int \frac{1}{{\cos }^2(-x)}dx=\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=$ tanx + C.

Bài 20 trang 14 SBT Toán 12 Tập 2: $\int {17}^{x}dx$ bằng:

A. 17^xln17.

B. $\frac{{17}^x}{\ln 17}$

C. 17^xln17 + C.

D. $\frac{{17}^x}{\ln 17}$ + C.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\int {17}^{x}dx=\frac{{\displaystyle {17}^x}}{{\displaystyle \ln 17}}+C$.

Bài 21 trang 14 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) = $\frac{x^7+8}{x}$.

Lời giải:

Ta có: f(x) $=\frac{x^7+8}{x}=\frac{x^7}{x}+\frac{8}{x}=x^6+\frac{8}{x}$

$\int f\left(x\right)dx=\int \left(x^6+\frac{8}{x}\right)dx=\int x^{6}dx+\int \frac{8}{x}dx$

$=\int x^{6}dx+8\int \frac{1}{x}dx=\frac{x^7}{7}+8\ln \left|x\right|+C.$

Bài 22 trang 14 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) = $\frac{\sin 3x+\sin x}{\sin 2x}$.

Lời giải:

Ta có: f(x) = $\frac{\sin 3x+\sin x}{\sin 2x}=\frac{2\sin \frac{3x+x}{2}\cos \frac{3x-x}{2}}{\sin 2x}=\frac{2\sin 2x\cos x}{\sin 2x}=2\cos x$

Ta có: $\int f\left(x\right)dx=\int 2\cos xdx=2\int \cos xdx$ = 2sinx + C.

Bài 23 trang 15 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int x^{\frac{1}{3}}dx$;

b) $\int \sqrt{\frac{1}{x^7}}dx$;

c) $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{\frac{4}{5}}}}dx$;

d) $\int {\left(x-\frac{1}{x}\right)}^{2}dx$;

e) $\int \frac{(x-3)(x+1)}{x}dx$;

g) $\int \left(3x^2-\frac{4}{x}\right)(2x+5)dx$.

Lời giải:

a) $\int x^{\frac{1}{3}}dx$ = $\frac{1}{\frac{1}{3}+1}{x}^{\frac{1}{3}+1}$ + C = $\frac{3}{4}{x}^{\frac{4}{3}}$ + C.

b) $\int \sqrt{\frac{1}{x^7}}dx$ = $\int \frac{1}{x^{\frac{7}{2}}}dx$ = $\int x^{\frac{-7}{2}}dx$ = $\frac{-2}{5}{x}^{\frac{-5}{2}}+C$

c) $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{\frac{4}{5}}}}dx$ = $\int \frac{1}{x^{\frac{4}{15}}}dx$ = $\int x^{\frac{-4}{15}}dx$ = $\frac{15}{11}{x}^{\frac{11}{15}}+C$

d) $\int {\left(x-\frac{1}{x}\right)}^{2}dx$ = $\int \left(x^2+\frac{1}{x^2}-2\right)dx$ = $\frac{x^3}{3}-\frac{1}{x}-2x+C.$

e) $\int \frac{(x-3)(x+1)}{x}dx$ = $\int \frac{x^2-2x-3}{x}dx$

$\int \left(x-2-\frac{3}{x}\right)dx$ = $\frac{x^2}{2}-2x-3\ln \left|x\right|+C$

g) $\int \left(3x^2-\frac{4}{x}\right)(2x+5)dx$ = $\int \left(6x^3+15x^2-8-\frac{20}{x}\right)dx$

= $\frac{3}{2}{x}^4+5x^3-8x-20\ln \left|x\right|+C.$

Bài 24 trang 15 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int e^{5x}dx$;

b) $\int \frac{1}{{2024}^x}dx$;

c) $\int (2^x+x^2)dx$;

d) $\int \left(2^x{.3}^{2x+1}\right)dx$;

e) $\int \frac{3^x+4^x+1}{5^x}dx$.

Lời giải:

a) $\int e^{5x}dx=\int {\left(e^5\right)}^{x}dx=\frac{{\displaystyle {\left(e^5\right)}^x}}{{\displaystyle \ln e^5}}+C$$=\frac{e^{5x}}{5}+C.$

b) $\int \frac{1}{{2024}^x}dx=\int {\left(\frac{1}{1024}\right)}^{x}dx=$$\frac{{\left(\frac{1}{2024}\right)}^x}{\ln \frac{1}{2024}}+C=\frac{-1}{{2024}^x.\ln 2024}+C$

c) $\int (2^x+x^2)dx=\int 2^{x}dx+\int x^{2}dx=\frac{2^x}{\ln 2}+\frac{x^3}{3}+C$

d) $\int \left(2^x{.3}^{2x+1}\right)dx=\int \left(2^x{.3}^{2x}.3\right)dx=3\int \left(2^x{.9}^x\right)dx=3\int {18}^{x}dx$=$\frac{{3.18}^x}{\ln 18}+C.$

e) $\int \frac{3^x+4^x+1}{5^x}dx=\int \left(\frac{3^x}{5^x}+\frac{4^x}{5^x}+\frac{1}{5^x}\right)dx$

$=\int {\left(\frac{3}{5}\right)}^{x}dx+\int {\left(\frac{4}{5}\right)}^{x}dx+\int {\left(\frac{1}{5}\right)}^{x}dx$

$=\frac{{\left(\frac{3}{5}\right)}^x}{\ln \frac{3}{5}}+\frac{{\left(\frac{4}{5}\right)}^x}{\ln \frac{4}{5}}+\frac{{\left(\frac{1}{5}\right)}^x}{\ln \frac{1}{5}}+C$

$=\frac{3^x}{5^x(\ln 3-\ln 5)}+\frac{4^x}{5^x(\ln 4-\ln 5)}-\frac{1}{5^x\ln 5}+C.$

Bài 25 trang 15 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int (5\sin x-6\cos x)dx$;

b) $\int {\sin }^{2}2xdx+\int {\cos }^{2}2xdx$;

c) $\int {\sin }^2\frac{x}{2}dx$;

d) $\int {\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)}^{2}dx$;

e^*) $\int {\cos }^4\frac{x}{2}dx-\int {\sin }^4\frac{x}{2}dx$;

g^*) $\int {\tan }^{2}xdx$.

Lời giải:

a) $\int (5\sin x-6\cos x)dx=5\int \sin xdx-6\int \cos xdx$= −5cosx – 6sinx + C.

b) $\int {\sin }^{2}2xdx+\int {\cos }^{2}2xdx=\int \left({\sin }^{2}2x+{\cos }^{2}2x\right)dx$ = x + C.

c) $\int {\sin }^2\frac{x}{2}dx=\int \frac{1-\cos x}{2}dx$=$\frac{1}{2}\int dx-\frac{1}{2}\int \cos xdx=\frac{x}{2}-\frac{\sin x}{2}+C$

d) $\int {\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)}^{2}dx$ = $\int \left({\sin }^2\frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{2}.\cos \frac{x}{2}+{\cos }^2\frac{x}{2}\right)dx$

                                       = $\int \left(1+\sin x\right)dx$ = x – cosx + C.

e^*) $\int {\cos }^4\frac{x}{2}dx-\int {\sin }^4\frac{x}{2}dx$ = $\int \left({\cos }^4\frac{x}{2}-{\sin }^4\frac{x}{2}\right)dx$

= $\int \left({\cos }^2\frac{x}{2}+{\sin }^2\frac{x}{2}\right)\left({\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}\right)dx$

= $\int \cos xdx$ = sinx + C.

g^*) $\int {\tan }^{2}xdx = \int \frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}dx$ = $\int \frac{1-{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}dx$ = $\int \left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1\right)dx$ = tanx – x + C.

Lý thuyết Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

1. Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa

1.1. Hàm số luỹ thừa

● Cho số thực α. Hàm số y = x^α được gọi là hàm số luỹ thừa.

Ví dụ 1. Các hàm số y = x³; y = x^{– 2}; y = $x^{\frac{1}{4}}$ ; y = $x^{\sqrt{5}}$  là những hàm số lũy thừa.

● Tập xác định của hàm số lũy thừa y = x^α tùy thuộc vào giá trị của α. Cụ thể như sau:

+ Với α nguyên dương, tập xác định là ℝ;

+ Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là ℝ \ {0};

+ Với α không nguyên, tập xác định là (0; + ∞).

● Định lí: Hàm số lũy thừa y = x^α (α ∈ ℝ) có đạo hàm với mọi x > 0 và (x^α)' = αx^{α – 1}.

1.2. Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa

Với α ≠ – 1, ta có: $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C$ .

Ví dụ 2. Tìm:

Hướng dẫn giải

2. Nguyên hàm của hàm số f(x) = $\frac{1}{x}$

Ta có: $\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$ .

Ví dụ 3. Tìm:

a) $\int \frac{2}{x}dx$ ;

b) $\int \frac{5}{3x}dx$

Hướng dẫn giải

a) $\int \frac{2}{x}dx$$=2\int \frac{1}{x}dx=2\ln \left|x\right|+C$ .

b) $\int \frac{5}{3x}dx$$=\frac{5}{3}\int \frac{1}{x}dx=\frac{5}{3}\ln \left|x\right|+C$ .

3. Nguyên hàm của hàm số lượng giác

Ví dụ 4. Tìm:

Hướng dẫn giải

4. Nguyên hàm của hàm số mũ

Với a > 0, a ≠ 1, ta có: $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ .

Nhận xét: Áp dụng công thức trên, ta có: $\int e^{x}dx=e^x+C$ .

Ví dụ 5. Tìm:

Hướng dẫn giải

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác: