Lý thuyết Toán 12 Chương 2 (Cánh diều): Toạ độ vectơ trong không gian

Admin Vietjack Ngày: 20-09-2024 Lớp 12

800

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Chương 2: Toạ độ vectơ trong không gian sách Cánh diều hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12.

Lý thuyết Toán 12 Chương 2: Toạ độ vectơ trong không gian

A. Lý thuyết Toán 12 Chương 2: Toạ độ vectơ trong không gian

1. Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

1.1. Vectơ trong không gian

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

Chú ý:

Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B thì ta có một vectơ, kí hiệu là $\vec{A B}$ , đọc là “vectơ AB”.

Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ, vectơ còn được kí hiệu là $\vec{a}$ , $\vec{b}, \vec{u}, \vec{v},$ ...

• Các khái niệm có liên quan đến vectơ trong không gian như: giá của vectơ, độ dài của vectơ, vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng, vectơ – không, hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau, … được phát biểu tương tự như trong mặt phẳng.

Chú ý:

Cho điểm O và vectơ $\vec{a}$ . Khi đó, tồn tại duy nhất điểm M trong không gian sao cho $\vec{O M} = \vec{a}$ .

Để xác định điểm M, ta làm như sau (xem hình dưới):

Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 2 Cánh diều

• Qua O kẻ đường thẳng d song song hoặc trùng với giá của vectơ $\vec{a}$ .

• Lấy điểm M trên đường thẳng d sao cho hai vectơ $\vec{O M}$ , $\vec{a}$ là cùng hướng và độ dài đoạn thẳng OM bằng độ dài đoạn thẳng vectơ $\vec{a}$ .

1.2. Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian

- Tổng của hai vectơ

Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ . Lấy một điểm A tùy ý, vẽ $\vec{A B} = \vec{a}$ , $\vec{B C} = \vec{b}$ .

Vectơ $\vec{A C}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , kí hiệu là $\vec{A C} = \vec{a} + \vec{b}$ .

Chú ý:

• Phép lấy tổng hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

• Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, chẳng hạn: Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp, cộng với vectơ – không. Do đó, ta cũng định nghĩa được tổng của ba vectơ trong không gian.

• Khi thực hiện phép cộng vectơ trong không gian, ta vẫn có thể áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành như đối với vectơ trong mặt phẳng.

Đối với vectơ trong không gian, ta cũng có các quy tắc sau:

• Với ba điểm A, B, C trong không gian, ta có: $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ (quy tắc ba điểm);

• Nếu ABCD là hình bình hành thì $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ (quy tắc hình bình hành).

• Nếu ABCD.A'B'C'D' là hình hộp thì $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A'} = \vec{A C'}$ (quy tắc hình hộp).

- Hiệu của hai vectơ

• Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ . Hiệu của vectơ $\vec{a}$ và vectơ $\vec{b}$ là tổng của vectơ $\vec{a}$ với vectơ đối của vectơ $\vec{b}$ , kí hiệu là $\vec{a} - \vec{b}$ .

Phép lấy hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.

Đối với vectơ trong không gian, ta có quy tắc sau:

• Với ba điểm O, A, B trong không gian, ta có: $\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{B A}$ (quy tắc hiệu).

1.3. Tích của một số với một vectơ trong không gian

Tương tự như trong mặt phẳng, trong không gian ta cũng có định nghĩa sau:

Cho số thực k ≠ 0 và vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ . Tích của số k với vectơ $\vec{a}$ là một vectơ, kí hiệu là $k \vec{a}$ , được xác định như sau:

• Cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu k > 0, ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu k < 0;

• Có độ dài bằng |k| . | $\vec{a}$ |.

Quy ước: 0. $\vec{a}$ = $\vec{0}$ , k. $\vec{0}$ = $\vec{0}$ . Do đó, k. $\vec{a}$ = $\vec{0}$ khi và chỉ khi k = 0 hoặc $\vec{a}$ = $\vec{0}$ .

Chú ý:

• Phép lấy tích của một số với một vectơ gọi là phép nhân một số với một vectơ.

• Phép nhân một số với một vectơ trong không gian có các tính chất sau:

Với hai vectơ bất kì $\vec{a}$ , $\vec{b}$ và hai số thực h, k ta có:

+ k( $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ) = k $\vec{a}$ + k $\vec{b}$ ; k( $\vec{a}$ - $\vec{b}$ ) = k $\vec{a}$ − k $\vec{b}$ ;

+ (h + k) $\vec{a}$ = h $\vec{a}$ + k $\vec{a}$ ;

+ h(k $\vec{a}$ ) = (hk) $\vec{a}$ ;

+ 1 $\vec{a}$ = $\vec{a}$ ; (−1) $\vec{a}$ = − $\vec{a}$ .

• Hai vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ khác $\vec{0}$ là cùng phương khi và chỉ khi có một số thực k ≠ 0 sao cho $\vec{a} = k \vec{b}$ .

1.4. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ khác $\vec{0}$ . Lấy một điểm O tùy ý và vẽ hai vectơ $\vec{O A} = \vec{a}$ , $\vec{O B} = \vec{b}$ . Góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ trong không gian là góc giữa hai vectơ $\vec{O A},$ $\vec{O B}$ , kí hiệu là $(\vec{a}, \vec{b})$ .

Chú ý: 0^o ≤ $(\vec{a}, \vec{b})$ ≤ 180^o.

• Trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau:

Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ khác $\vec{0}$ . Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , kí hiệu $\vec{a} . \vec{b}$ , là một số thực được xác định bởi công thức $\vec{a} . \vec{b}$ = | $\vec{a}$ |.| $\vec{b}$ |.cos( $\vec{a}$ , $\vec{b}$ ) ở đó

( $\vec{a}$ , $\vec{b}$ ) là góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ .

Quy ước: Tích vô hướng của một vectơ bất kì với vectơ $\vec{0}$ bằng 0.

Chú ý:

•Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian có tính chất sau:

Với các vectơ bất kì $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ và số thực k tùy ý, ta có:

+ $\vec{a}$ . $\vec{b}$ = $\vec{b}$ . $\vec{a}$ (tính chất giao hoán);

+ $\vec{a}$ .( $\vec{b}$ + $\vec{c}$ ) = $\vec{a}$ . $\vec{b}$ + $\vec{a}$ . $\vec{c}$ (tính chất phân phối);

+ (k $\vec{a}$ ). $\vec{b}$ = k( $\vec{a}$ . $\vec{b}$ ) = $\vec{a}$ (k $\vec{b}$ );

+ ${\vec{a}}^{2}$ ≥ 0, trong đó ${\vec{a}}^{2}$ = $\vec{a}$ . $\vec{a}$ . Ngoài ra, ${\vec{a}}^{2}$ = 0 ⇔ $\vec{a}$ = . $\vec{0}$

• Nếu $\vec{a}$ , $\vec{b}$ là hai vectơ khác thì cos( $\vec{a}$ , $\vec{b}$ ) = $\frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |}$ .

2. Tọa độ của vectơ

2.1. Tọa độ của một điểm

2.1.1. Hệ trục tọa độ trong không gian

• Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz trong không gian hay đơn giản gọi là hệ tọa độ Oxyz.

Chú ý: Ta gọi $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz.

Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 2 Cánh diều

Trong hệ trục tọa độ Oxyz (Hình trên), ta gọi: điểm O là gốc tọa độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung, Oz là trục cao; các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz) là các mặt phẳng tọa độ. Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz.

Nhận xét: Các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oxz), (Oyz) đôi một vuông góc với nhau.

2.1.2. Tọa độ của một điểm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M.

• Xác định hình chiếu M₁ của điểm M trên mặt phẳng (Oxy). Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), tìm hoành độ a, tung độ b của điểm M₁.

• Xác định hình chiếu P của điểm M trên trục cao Oz, điểm P ứng với số c trên trục Oz. Số c là cao độ của điểm M.

Bộ số (a; b; c) là tọa độ của điểm M trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, kí hiệu là M(a; b; c).

Chú ý:

• Tọa độ của một điểm M trong không gian với hệ tọa độ Oxyz luôn tồn tại và duy nhất.

• Người ta còn có thể xác định tọa độ điểm M theo cách sau:

+ Xác định hình chiếu H của điểm M trên trục hoành Ox, điểm H ứng với số a trên trục Ox. Số a là hoành độ của điểm M.

+ Xác định hình chiếu K của điểm M trên trục tung Oy, điểm K ứng với số b trên trục Oy. Số b là tung độ của điểm M.

+ Xác định hình chiếu P của điểm M trên trục cao Oz, điểm P ứng với số c trên trục Oz. Số c là cao độ của điểm M.

Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 2 Cánh diều

Khi đó, bộ số (a; b; c) là tọa độ của điểm M trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.

2.2. Tọa độ của một vectơ

• Tọa độ của điểm M được gọi là tọa độ của vectơ $\vec{O M}$ .

Chú ý:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, ta có:

• $\vec{O M}$ = (a; b; c) ⇔ M(a; b; c);

• Vectơ đơn vị $\vec{i}$ trên trục Ox có tọa độ là $\vec{i}$ = (1; 0; 0).

Vectơ đơn vị $\vec{j}$ trên trục Oy có tọa độ là $\vec{j}$ = (0; 1; 0).

Vectơ đơn vị $\vec{k}$ trên trục Oz có tọa độ là $\vec{k}$ = (0; 0; 1).

• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của một vectơ $\vec{u}$ là tọa độ của điểm A trong đó A là điểm sao cho $\vec{O A} = \vec{u}$ .

• Ta có định lí sau:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, nếu $\vec{u}$ = (a; b; c) thì $\vec{u}$ = a $\vec{i}$ + b $\vec{j}$ + c $\vec{k}$ . Ngược lại, nếu $\vec{u}$ = a $\vec{i}$ + b $\vec{j}$ + c $\vec{k}$ thì $\vec{u}$ = (a; b; c).

Chú ý:

Với $\vec{u}$ = (x₁; y₁; z₁) và $\vec{v}$ = (x₂; y₂; z₂), ta có: $\vec{u}$ = $\vec{v}$ ⇔ $\{\begin{cases} x_{1} = x_{2} \\ y_{1} = y_{2} \\ z_{1} = z_{2} . \end{cases}$

Như vậy, mỗi vectơ hoàn toàn được xác định khi biết tọa độ của nó.

• Ta có định lí sau:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(x_A; y_A; z_A) và B(x_B; y_B; z_B). Khi đó, ta có: $\vec{A B}$ = (x_B – x_A; y_B – y_A; z_B – z_A).

3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

3.1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ

Nếu $\vec{u}$ = (x₁; y₁; z₁) và $\vec{v}$ = (x₂; y₂; z₂) thì

$\vec{u}$ + $\vec{v}$ = (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂);

$\vec{u}$ − $\vec{v}$ = (x₁ − x₂; y₁ − y₂; z₁ − z₂);

m $\vec{u}$ = (mx₁; my₁; mz₁) với m ∈ ℝ.

Nhận xét: Hai vectơ $\vec{u}$ = (x₁; y₁; z₁), $\vec{v}$ = (x₂; y₂; z₂) ( $\vec{v}$ ≠ 0) cùng phương khi và chỉ khi có một số thực m sao cho $\{\begin{cases} x_{1} = m x_{2} \\ y_{1} = m y_{2} \\ z_{1} = m z_{2} . \end{cases}$

3.2. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm tam giác

• Cho hai điểm A(x_A; y_A; z_A) và B(x_B; y_B; z_B). Nếu M(x_M; y_M; z_M) là trung điểm đoạn thẳng AB thì

x_M = $\frac{x_{A} + x_{B}}{2}$ ; y_M = $\frac{y_{A} + y_{B}}{2}$ ; z_M = $\frac{z_{A} + z_{B}}{2}$ .

• Cho tam giác ABC có A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B), C(x_C; y_C; z_C). Nếu G(x_G; y_G; z_G) là trọng tâm tam giác ABC thì

x_G = $\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}$ ; y_G = $\frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}$ ; z_G = $\frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3}$ .

3.3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Nếu $\vec{u}$ = (x₁; y₁; z₁), $\vec{v}$ = (x₂; y₂; z₂) thì $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = x₁.x₂ + y₁.y₂ + z₁.z₂.

Nhận xét:

a) Nếu $\vec{a}$ (x; y; z) thì | $\vec{a}$ | = $\sqrt{\vec{a} . \vec{a}}$ = $\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ .

b) Nếu A(x₁; y₁; z₁) và B(x₂; y₂; z₂) thì

AB = | $\vec{A B}$ | = $\sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}$ .

c) Với hai vectơ $\vec{u}$ = (x₁; y₁; z₁) và $\vec{v}$ = (x₂; y₂; z₂) khác vectơ $\vec{0}$ , ta có:

• $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi x₁.x₂ + y₁.y₂ + z₁.z₂ = 0.

• cos( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = $\frac{\vec{u} . \vec{v}}{| \vec{u} | . | \vec{v} |}$ = $\frac{x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} + z_{1} . z_{2}}{\sqrt{{x_{1}}^{2} + {y_{1}}^{2} + {z_{1}}^{2}} . \sqrt{{x_{2}}^{2} + {y_{2}}^{2} + {z_{2}}^{2}}}$ .

3.4. Cách tìm tọa độ của một vectơ vuông góc với hai vectơ cho trước.

• Ta có định lí sau:

Cho hai vectơ $\vec{u}$ = (x₁; y₁; z₁) và $\vec{v}$ = (x₂; y₂; z₂) không cùng phương.

Khi đó, vectơ $\vec{w}$ = (y₁z₂ – y₂z₁; z₁x₂ – z₂x₁; x₁y₂ – y₂x₁) vuông góc với cả hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ .

Nhận xét:

• Vectơ $\vec{w}$ trong định lí trên còn được gọi là tích có hướng của hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ , kí hiệu là $\vec{w}$ = [ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ].

• Để thuận tiện trong cách viết, ta quy ước: $|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}|$ = ad – bc, với a, b, c, d là các số thực.

Khi đó, hai vectơ $\vec{u}$ = (x₁; y₁; z₁) và $\vec{v}$ = (x₂; y₂; z₂) ta có:

[ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ] = $(|\begin{matrix} y_{1} & z_{1} \\ y_{2} & z_{2} \end{matrix}|; |\begin{matrix} z_{1} & x_{1} \\ z_{2} & x_{2} \end{matrix}|; |\begin{matrix} x_{1} & y_{1} \\ x_{2} & y_{2} \end{matrix}|)$ = (y₁z₂ – y₂z₁; z₁x₂ – z₂x₁; x₁y₂ – y₂x₁).

• Hai vectơ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ không cùng phương khi và chỉ khi vectơ $\vec{w}$ = [ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ] ≠ $\vec{0}$ .

B. Bài tập Toán 12 Chương 2: Toạ độ vectơ trong không gian

1. Bài tập tự luận

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

a) $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{A D} + \vec{B C}$ ;

b) $\vec{A B} - \vec{C D} = \vec{A C} + \vec{D B}$ .

Lời giải

Bài tập cuối chương 2 (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

Bài 2. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính:

a) $\vec{A' B} . \vec{D' C'}; \vec{D' A} . \vec{B C};$

b) Các góc $(\vec{A' D}, \vec{B' C'}); (\vec{A D'}, \vec{B D})$ .

Lời giải

Bài tập cuối chương 2 (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

a) Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ trong không gian, ta có:

$\vec{A' B .} \vec{D' C'}$ = $| \vec{A' B} | . | \vec{D' C'} |$ .cos $(\vec{A' B}, \vec{D' C'})$

= a $\sqrt{2}$ .a.cos $(\vec{A' B}, \vec{A' B'})$

= a^{2 $\sqrt{2}$}. cos45^o

= a².

$\vec{D' A} . \vec{B C} = - \vec{A D'} . \vec{B C}$

= $- | \vec{A D'} | . | \vec{B C} |$ .cos $(\vec{A D'}, \vec{B C})$

= $- | \vec{A D'} | . | \vec{B C} |$ .cos $(\vec{A D'}, \vec{A D})$

= −a² $\sqrt{2}$ . cos45^o

= −a².

b) $(\vec{A' D}, \vec{B' C'}) = (\vec{A' D}, \vec{A' D'}) = \hat{D A' D'}$ = 45^o.

Do tam giác C'BD là tam giác đều nên $\hat{C' B D}$ = 60^o.

Vậy $(\vec{A D'}, \vec{B D}) = (\vec{B C'}, \vec{B D}) = \hat{C' B D}$ = 60^o.

Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi G là trọng tâm tam giác AB'D'. Chứng minh rằng $\vec{A' C} = 3 \vec{A' G}$ .

Lời giải

Bài tập cuối chương 2 (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

Vì G là trọng tâm tam giác AB'D' nên với điểm A', ta luôn có:

$\vec{A' G} = \frac{1}{3} (\vec{A' A} + \vec{A' B'} + \vec{A' D'})$ .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên theo quy tắc hình hộp, ta có:

$\vec{A' A} + \vec{A' B'} + \vec{A' D'} = \vec{A' C}$ .

Từ đây, suy ra $\vec{A' G} = \frac{1}{3} \vec{A' C .}$

Vậy $\vec{A' C} = 3 \vec{A' G .}$

Bài 4. Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặp phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc $\vec{F_{2}}$ bằng 60^o. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.

Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn trên hàng đơn vị). Biết rằng các lực căng $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}; \vec{F_{4}}$ đều có cường độ là 4 700 N và trọng lượng của khung sắt là 3 000 N.

Bài tập cuối chương 2 (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

Lời giải

Gọi A₁; B₁; C₁; D₁ lần lượt là các điểm sao cho:

Bài tập cuối chương 2 (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

Vì EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 30^o nên EA₁, EB₁, EC₁, ED₁ bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (A₁B₁C₁D₁) một góc 30^o_.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên A₁B₁C₁D₁ cũng là hình chữ nhật.

Gọi O là tâm của hình chữ nhật A₁B₁C₁D₁.

Suy ra EO ⊥ (A₁B₁C₁D₁).

Do đó, góc giữa đường thẳng EA₁ và mặt phẳng (A₁B₁C₁D₁) bằng góc EA₁O.

Suy ra $\hat{E A_{1} O}$ = 60^o.

Ta có: | $\vec{F_{1}}$ | = | $\vec{F_{2}}$ | = | $\vec{F_{3}}$ | = | $\vec{F_{4}}$ | = 4 700 (N)

Nên EA₁ = EB₁ = EC₁ = ED₁= 4 700.

Tam giác EOA₁ vuông tại O nên EO = EA₁.sin $\hat{E A_{1} O}$ = 4 700.sin60^o = 2 350 $\sqrt{3}$ (N).

Theo quy tắc ba điểm, ta có:

$\vec{E A_{1}} = \vec{E O} + \vec{O A_{1}}, \vec{E B_{1}} = \vec{E O} + \vec{O B_{1}}$

$\vec{E C_{1}} = \vec{E O} + \vec{O C_{1}} \vec{E D_{1}} = \vec{E O} + \vec{O D_{1}}$ .

Vì O là trung điểm của A₁C₁ và B₁D₁ nên $\vec{O A_{1}} + \vec{O C_{1}} = \vec{0}$ , $\vec{O B_{1}} + \vec{O D_{1}} = \vec{0}$ .

Từ đó suy ra: $\vec{E A_{1}} + \vec{E B_{1}} + \vec{E C_{1}} + \vec{E D_{1}} = 4 \vec{E O}$ .

$\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} + \vec{F_{4}} = 4 \vec{E O}$ .

Do đó, vì chiếc khung sắt chứa xe ô tô ở vị trí cân bằng nên $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} + \vec{F_{4}} = \vec{P}$ , ở đó là trọng lực tác dụng lên khung sắt chứa xe ô tô.

Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là:

| $\vec{P}$ | = 4| $\vec{E O}$ | = 4. 2 350 $\sqrt{3}$ = 9 400 $\sqrt{3}$ (N).

Vì trọng lượng khung sắt là 2 500 N nên trọng lượng của chiếc ô tô là:

9 000 $\sqrt{3}$ – 3 000 ≈ 13 281 (N).

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; −2; −1). Gọi A₁; A₂; A₃ lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các mặt phẳng tọa độ (Oxy); (Oxz); (Oyz). Tìm tọa độ các điểm A₁; A₂; A₃.

Lời giải

Gọi A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃).

Với A(3; −2; −1), ta có: x_A = 3; y_A = −2; z_A = −1.

Có A₁ ∈ (Oxy) nên x₁ = x_A = 3; y₁ = y_A = −2; z₁ = 0. Do đó A₁(3; −2; 0).

Có A₂ ∈ (Oxz) nên x₂ = x_A = 3; y₂ = 0; z₂ = z_A = −1. Do đó A₂(3; 0; −1).

Có A₃ ∈ (Oyz) nên x₃ = 0; y₃ = y_A = −2; z₃ = z_A = −1. Do đó A₃(0; −2; −1).

Vậy A₁(3; −2; 0), A₂(3; 0; −1), A₃(0; −2; −1).

Bài 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(−2; 3; 4). Gọi H, K, P lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các trục Ox, Oy, Oz. Tìm tọa độ của các điểm H, K, P.

Lời giải

Vì H(x_H, y_H, z_H) là hình chiếu vuông góc của điểm A lên trục Ox nên ta có

x_H = −2; y_H = 0; z_H = 0. Do đó H(−2; 0; 0).

Vì K(x_K, y_K, z_K) là hình chiếu vuông góc của điểm A lên trục Oy nên ta có

x_K = 0; y_K = 3; z_K = 0. Do đó K(0; 3; 0).

Vì P(x_P, y_P, z_P) là hình chiếu vuông góc của điểm A lên trục Oz nên ta có

x_P = 0; y_P = 0; z_P = 4. Do đó P(0; 0; 4).

Vậy H(−2; 0; 0), K(0; 3; 0), P(0; 0; 4).

Bài 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có

A(4; 6; −5), B(5; 7;−4), C(5; 6; −4), D'(2; 0; 2).

Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

Lời giải

Bài tập cuối chương 2 (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

Gọi D(x_D; y_D; z_D).

Ta có: $\vec{A B} = \vec{D C}$ ⇔ $\{\begin{cases} 5 - x_{D} = 1 \\ 6 - y_{D} = 1 \\ - 4 - z_{D} = 1 \end{cases}$ ⇔ $\{\begin{cases} x_{D} = 4 \\ y_{D} = 5 \\ z_{D} = - 5. \end{cases}$

Suy ra D(4; 5; −5).

Gọi A'(x; y; z).

Ta có: $\vec{A A'} = \vec{D D'}$ ⇔ $\{\begin{cases} x - 4 = - 2 \\ y - 6 = - 5 \\ z - (- 5) = 7 \end{cases}$ ⇔ $\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \\ z = 2. \end{cases}$

Tương tự ta giải $\vec{B B'} = \vec{D D'}$ ; $\vec{C C'} = \vec{D D'}$ tìm ra tọa độ B', C'.

Vậy D(4; 5; −5); A'(2; 1; 2); B'(3; 2; 3); C'(3; 1; 3).

Bài 8. Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao 30 m và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn.

Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1 m), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm M(90; 0; 30), N(90; 120; 30), P( 0; 120; 30), Q(0 ; 0; 30). (xem hình dưới).

Giả sử K₀ là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 25 và K₀M = K₀N = K₀P = K₀Q.

Để theo dõi quả bóng đến vị trí A, camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm K₁ có cao độ bằng 19.

Tìm tọa độ các điểm K₀; K₁ và vectơ $\vec{K_{0} K_{1}}$ .

Bài tập cuối chương 2 (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

Lời giải

Bài tập cuối chương 2 (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

Gọi M₁, N₁, P₁, K lần lượt là hình chiếu của M, N, P, K₀ lên mặt phẳng (Oxy).

Ta thấy MNPQ.M₁N₁P₁O là hình hộp chữ nhật.

Gọi K' là giao hai đường chéo MP và NQ. Khi đó K'Q = K'P = K'N = K'M.

Vì K₀M = K₀N = K₀P = K₀Q và camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng từ điểm K₀ xuống điểm K₁ nên các điểm K', K₀, K₁, K thẳng hàng.

Khi đó, các điểm K', K₀, K₁, K có hoành độ và tung độ bằng nhau.

Theo bài ra, cao động của K₀ và K₁ lần lượt là 25 và 19.

Giả sử K₀(x; y; 25) và K₁(x; y; 19).

Ta có MNPQ.M₁N₁P₁O là hình hộp chữ nhật nên K'K = OQ, suy ra cao độ K' = 30.

Do đó K'(x; y; 30).

Ta có: $\vec{K' Q}$ = (−x; −y; 0), $\vec{N K'}$ = (x – 90; y – 120; 0).

Vì K' là giao hai đường chéo của hình chữ nhật MNPQ nên K' là trung điểm của NQ.

⇒ $\vec{K' Q} = \vec{N K'}$ ⇒ $\{\begin{cases} - x = x - 90 \\ - y = y - 120 \\ 0 = 0 \end{cases}$ ⇔ $\{\begin{cases} x = 45 \\ y = 60. \end{cases}$

Vậy K₀(45; 60; 25), K₁(45; 60; 19) và $\vec{K_{0} K_{1}}$ = (0; 0; −6).

Bài 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho:

$\vec{a}$ = (−1; 2; 3), $\vec{b}$ = (3; 1; −2), $\vec{c}$ = (4; 2; −3).

a) Tìm tọa độ của vectơ $\vec{u} = 2 \vec{a} + \vec{b} - \vec{3 c}$ .

b) Tìm tọa độ của vectơ $\vec{v}$ sao cho $\vec{v} + 2 \vec{b} = \vec{a} + \vec{c}$ .

Lời giải

a) Ta có: 2 $\vec{a}$ = (−2; 4; 6); 3 $\vec{c}$ = (12; 6; −9).

2 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ = (−2 + 3; 4 + 1; 6 + (−2)) = (1; 5; 4).

⇒ $\vec{u} = 2 \vec{a} + \vec{b} - \vec{3 c}$ = (1 – 12; 5 – 6; 4 – (−9)) = (−11; −1; 13).

Vậy $\vec{u}$ = (−11; −1; 13).

b) Ta có: $\vec{v} + 2 \vec{b} = \vec{a} + \vec{c}$ ⇒ $\vec{v} = \vec{a} + \vec{c} - 2 \vec{b}$ .

$\vec{a} + \vec{c}$ = (−1 + 4; 2 + 2; 3 + (−3)) = (3; 4; 0).

2 $\vec{b}$ = (6; 2; −4).

⇒ $\vec{v} = \vec{a} + \vec{c} - 2 \vec{b}$ = (3 – 6; 4 – 2; 0 – (−4)) = (−3; 2; 4).

Vậy $\vec{v}$ = (−3; 2; 4).

Bài 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\vec{a}$ = (2; −2; 1), $\vec{b}$ = (2; 1; 3). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ $\vec{c}$ khác $\vec{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

Lời giải

Ta có: [ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ ] = $(|\begin{matrix} - 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 2 & - 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}|)$ = (−7; −4; 6).

Chọn $\vec{c}$ = (−7; −4; 6).

Khi đó, vectơ $\vec{c}$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ .

Bài 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\vec{a}$ = (3; 2; −1), $\vec{b}$ = (−2; 1; 2). Tính côsin của góc $(\vec{a}, \vec{b})$ .

Lời giải

Ta có: cos $(\vec{a}, \vec{b})$ = $\frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |}$ = $\frac{3. (- 2) + 2.1 + (- 1) .2}{\sqrt{3^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2}} . \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2} + 2^{2}}}$ = $\frac{- \sqrt{14}}{7}$ .

Bài 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(−2; 3; 0), B(4; 0; 5), C(0; 2; −3).

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tính chu vi tam giác ABC.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tính cos $\hat{B A C}$ .

Lời giải

a) Ta có: $\vec{A B}$ = (6; −3; 5), $\vec{A C}$ = (2; −1; −3), $\vec{B C}$ = (−4; 2; −8).

Suy ra $\vec{A B}$ = (6; −3; 5) ≠ k $\vec{A C}$ = (2k; −1k; −3k).

Nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Ta có:

AB = $\sqrt{6^{2} + {(- 3)}^{2} + 5^{2}}$ = $\sqrt{70}$ .

AC = $\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + {(- 3)}^{2}}$ = $\sqrt{14}$ .

BC = $\sqrt{{(- 4)}^{2} + 2^{2} + {(- 8)}^{2}}$ = $2 \sqrt{21}$ .

Vậy chu vi của tam giác ABC là: $\sqrt{70}$ + $\sqrt{14}$ + $2 \sqrt{21}$ .

c) Do G(x_G; y_G; z_G) là trọng tâm tam giác ABC nên

x_G= $\frac{- 2 + 4 + 0}{3}$ = $\frac{2}{3}$ ; y_G = $\frac{3 + 0 + 2}{3}$ = $\frac{5}{3}$ ; z_G = $\frac{0 + 5 + (- 3)}{3}$ = $\frac{2}{3}$ .

Vậy G $(\frac{2}{3}; \frac{5}{3}; \frac{2}{3})$ .

d) Ta có: cos $\hat{B A C}$ = cos( $\vec{A B}$ , $\vec{A C}$ ) = $\frac{6.2 + (- 3) . (- 1) + 5. (- 3)}{\sqrt{70} . \sqrt{14}}$ = 0.

⇒ $\hat{B A C}$ = 90^o.

Bài 13.

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; −1; 1), C'(4; 5; −5).

Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ khác $\vec{0}$ vuông góc với cả hai vectơ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\vec{A C}$ và $\vec{B' D'}$ ;

b) $\vec{A C'}$ và $\vec{B D}$ .

Lời giải

Bài tập cuối chương 2 (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

a) Ta có: $\vec{A B}$ = (1; 1; 1).

Mà $\vec{A B}$ = $\vec{D C}$ ⇒ C(2; 0; 2).

Do đó, $\vec{A C}$ = (1; 0; 1).

Tương tự, ta tìm được D'(3; 4; −6), B'(4; 6; −5).

⇒ $\vec{B' D'}$ = (−1; −2; −1).

Gọi vectơ $\vec{u}$ là vectơ khác $\vec{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{A C}$ và $\vec{B' D'}$ .

Ta có: $\vec{u}$ = [ $\vec{A C}$ , $\vec{B' D'}$ ] = $(|\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 2 & - 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 1 & - 2 \end{matrix}|)$ = (2; 0; −2).

Vậy $\vec{u}$ = (2; 0; −2).

b) Ta có: $\vec{A C}$ = (3; 5; −6); $\vec{B D}$ = (−1; −2; −1).

Gọi vectơ $\vec{v}$ là vectơ khác $\vec{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{A C'}$ và $\vec{B D}$ .

Ta có: $\vec{v}$ = [ $\vec{A C'}$ , $\vec{B D}$ ] = $(|\begin{matrix} 5 & - 6 \\ - 2 & - 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 6 & 3 \\ - 1 & - 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 3 & 5 \\ - 1 & - 2 \end{matrix}|)$ = (−17; 9; −1).

Vậy $\vec{v}$ = (−17; 9; −1).

2. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Vectơ $\vec{u}$ = $\vec{A' A} + \vec{A' B'} + \vec{A' D'}$ bằng vectơ nào dưới đây?

Bài tập cuối chương 2 (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng quy tắc hình hộp, ta có: $\vec{A' A} + \vec{A' B'} + \vec{A' D'} = \vec{A' C} .$

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3). Tọa độ của vectơ $\vec{O A}$ là:

A. (1; 2; 3).

B. (1; 0; 3).

C. (0; 2; 3).

D. (1; 2; 0).

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có A(1; 2; 3). Do đó $\vec{O A}$ = (1; 2; 3).

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ $\vec{u}$ = (−1; 4; 2) và điểm A. Biết $\vec{O A}$ = $\vec{u}$ . Tọa độ của điểm A là:

A. (1; 4; 2).

B. (−1; 4; 2).

C. (1; −4; −2).

D. (−1; −4; −2).

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\vec{O A}$ = $\vec{u}$ nên $\vec{O A}$ = (−1; 4; 2).

Vậy có tọa độ điểm A(−1; 4; 2).

Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ $\vec{u}$ = $- 2 \vec{i} - \vec{j} + 3 \vec{k}$ . Tọa độ của vectơ $\vec{u}$ là:

A. (−2; −1; 3).

B. (2; 1; 3).

C. (−2; 0; 3).

D. (−2; −1; −3).

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\vec{u}$ = $- 2 \vec{i} - \vec{j} + 3 \vec{k}$ nên $\vec{u}$ = (−2; −1; 3).

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; −1; 2) và B(4; −3; 1). Tọa độ của vectơ $\vec{A B}$ là:

A. (−3; 2; 1).

B. (3; −2; −1).

C. (5; −4; 3).

D. (3; −4; −1).

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\vec{A B}$ = (4 – 1; −3 – (−1); 1 – 2) = (3; −2; −1).

Vậy $\vec{A B}$ = (3; −2; −1).

Bài 6.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ $\vec{u}$ = (4; 2; 3) và điểm A(1; 1; 1). Tọa độ điểm C thỏa mãn $\vec{A C}$ = $\vec{u}$ là:

A. (4; 2; 3).

B. (1; 1; 1).

C. (5; 3; 4).

D. (3; 1; 2).

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Gọi C(x; y; z) ⇒ $\vec{A C}$ = (x – 1; y – 1; z – 1).

Theo đề, ta có: $\vec{A C}$ = $\vec{u}$ ⇔ $\{\begin{cases} x - 1 = 4 \\ y - 1 = 2 \\ z - 1 = 3 \end{cases}$ ⇔ $\{\begin{cases} x = 5 \\ y = 3 \\ z = 4. \end{cases}$

Vậy có tọa độ điểm C(5; 3; 4).

Bài 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\vec{a}$ = (2; 3; −2) và $\vec{b}$ = (3; 1; −1). Tọa độ của vectơ $\vec{a} - \vec{b}$ là:

A. (1; −2; 1).

B. (5; 4; −3).

C. (−1; 2; −1).

D. (−1; 2; 3).

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\vec{a} - \vec{b}$ = (2 – 3; 3 – 1; −2 – (−1)) = (−1; 2; −1).

Bài 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\vec{a}$ = (0; 1; 1) và $\vec{b}$ = (−1; 1; 0).

Góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng:

A. 60^o.

B. 120^o.

C. 150^o.

D. 30^o.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: cos( $\vec{a}$ , $\vec{b}$ ) = $\frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |}$ = $\frac{0. (- 1) + 1.1 + 1.0}{\sqrt{0^{2} + 1^{2} + 1^{2}} . \sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2} + 0^{2}}}$ = $\frac{1}{2}$ .