Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Chương 4: Nguyên hàm. Tích phân sách Cánh diều hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12.

Lý thuyết Toán 12 Chương 4: Nguyên hàm. Tích phân

A. Lý thuyết Toán 12 Chương 4: Nguyên hàm. Tích phân

1. Khái niệm nguyên hàm

● Định nghĩa: Với K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực ℝ, ta có:

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

● Định lí:

Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực ℝ.

Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khi đó:

a) Với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.

b) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm H(x) của hàm số f(x) trên K thì tồn tại hằng số C sao cho H(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.

● Họ (hay tập hợp) tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) trên K được kí hiệu là

$\int f\left(x\right)dx$.

Nhận xét:

+ Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C là một hằng số. Vì vậy,

$\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$.

+ Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Ta có: $\int F^{\text{'}}\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$ .

Chú ý: Biểu thức f(x)dx gọi là vi phân của nguyên hàm F(x), kí hiệu là dF(x). Vậy dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.

Nhận xét: $\int 0dx=C$ và nếu ta quy ước $\int 1dx=\int dx$ thì $\int dx=x+C$ .

2. Tính chất của nguyên hàm

Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực ℝ.

Cho các hàm số f(x), g(x) liên tục trên K.

● Tính chất 1: $\int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx$ với k là hằng số khác 0.

● Tính chất 2:

$\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$

$\int \left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx-\int g\left(x\right)dx$

3. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

3.1. Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa

a) Hàm số luỹ thừa

● Cho số thực α. Hàm số y = x^α được gọi là hàm số luỹ thừa.

Ví dụ 1. Các hàm số y = x³; y = x^{– 2}; y = $x^{\frac{1}{4}}$ ; y = $x^{\sqrt{5}}$  là những hàm số lũy thừa.

● Tập xác định của hàm số lũy thừa y = x^α tùy thuộc vào giá trị của α. Cụ thể như sau:

+ Với α nguyên dương, tập xác định là ℝ;

+ Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là ℝ \ {0};

+ Với α không nguyên, tập xác định là (0; + ∞).

● Định lí: Hàm số lũy thừa y = x^α (α ∈ ℝ) có đạo hàm với mọi x > 0 và (x^α)' = αx^{α – 1}.

b) Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa

Với α ≠ – 1, ta có: $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C$

3.2. Nguyên hàm của hàm số f(x) = $\frac{1}{x}$

Ta có: $\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$ .

3.3. Nguyên hàm của hàm số lượng giác

3.4. Nguyên hàm của hàm số mũ

Với a > 0, a ≠ 1, ta có: $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ .

Nhận xét: Áp dụng công thức trên, ta có: $\int e^{x}dx=e^x+C$ .

4. Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Chú ý:

+ Kí hiệu ${\left.F\left(x\right)\right|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$  và đọc là F(x) thế cận từ a đến b.

Vậy $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx={\left.F\left(x\right)\right|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ .

Gọi:$\underset{a}{\overset{b}{\int }}$ là dấu tích phân; a là cận dưới, b là cận trên; f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

+ Ta quy ước: $\underset{a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=0;\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx$ .

+ Tích phân của hàm số f từ a đến b chỉ phụ thuộc vào các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t, nghĩa là $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)dt$ .

5. Tính chất của tích phân

● Tính chất 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

 $\underset{a}{\overset{b}{\int }}kf\left(x\right)dx=k\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ (k là hằng số).

● Tính chất 2: Cho các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$;

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$.

● Tính chất 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử c là số thực tùy ý thuộc đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

6. Tích phân của một số hàm số sơ cấp

6.1. Tích phân của hàm số lũy thừa

Với α ≠ – 1, ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{\alpha }dx={\left.\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\right|}_a^b=\frac{b^{\alpha +1}-a^{\alpha +1}}{\alpha +1}$ .

6.2. Tích phân của hàm số f(x) = $\frac{1}{x}$

Với hàm số f(x) = $\frac{1}{x}$ liên tục trên đoạn [a; b], ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{x}dx={\left.\ln \left|x\right|\right|}_a^b=\ln \left|b\right|-\ln \left|a\right|$.

6.3. Tích phân của hàm số lượng giác

● $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sin xdx={\left.-\cos x\right|}_a^b=-\cos b-\left(-\cos a\right)=\cos a-\cos b$ .

● $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\cos xdx={\left.\sin x\right|}_a^b=\sin b-\sin a$ .

● Với hàm số f(x) = $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$  liên tục trên đoạn [a; b], ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}x}dx={\left.-\cot x\right|}_a^b=-\cot b-\left(-\cot a\right)=\cot a-\cot b$.

● Với hàm số f(x) = $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$  liên tục trên đoạn [a; b], ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\cos }^{2}x}dx={\left.\tan x\right|}_a^b=\tan b-\tan a$.

6.4. Tích phân của hàm số mũ

Với a > 0, a ≠ 1, ta có: $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}{a}^{x}dx={\left.\frac{a^x}{\ln a}\right|}_{\alpha }^{\beta }=\frac{a^{\beta }-a^{\alpha }}{\ln a}$ .

Chú ý: Áp dụng công thức trên, ta có: $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}{e}^{x}dx={\left.e^x\right|}_{\alpha }^{\beta }=e^{\beta }-e^{\alpha }$ .

7. Ứng dụng hình học của tích phân

7.1. Tính diện tích hình phẳng

a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$.

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b

Cho các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$.

7.2. Tính thể tích của hình khối

a) Thể tích của vật thể

Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x = a và x = b (a < b).

Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại x (a ≤ x ≤ b) cắt vật thể đó theo hình phẳng có diện tích là S(x). Giả sử hàm số S(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó, thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên được tính bởi công thức

$V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)dx$.

Chú ý: Nếu S(x) = S không đổi với mỗi x ∈ [a; b] thì V = (b – a)S.

b) Thể tích của khối tròn xoay

Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b]. Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng

$V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{\left[f\left(x\right)\right]}^{2}dx$.

B. Bài tập Toán 12 Chương 4: Nguyên hàm. Tích phân

B.1. Bài tập tự luận

Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) x⁶;

b) 6x⁵ + 5x⁴;

c) sin x – cos x.

Hướng dẫn giải

a) $\int x^{6}dx=\int \frac{1}{7}\left(7x^6\right)dx=\frac{1}{7}\int {\left(x^7\right)}^{\text{'}}dx=\frac{x^7}{7}+C$ .

b) $\int \left(6x^5+5x^4\right)dx=\int 6x^{5}dx+\int 5x^{4}dx=\int {\left(x^6\right)}^{\text{'}}dx+\int {\left(x^5\right)}^{\text{'}}dx$ = x⁶ + x⁵ + C.

c) $\int \left(\sin x-\cos x\right)dx=\int \sin xdx-\int \cos xdx$

 $=-\int {\left(\cos x\right)}^{\text{'}}dx-\int {\left(\sin x\right)}^{\text{'}}dx$= – cos x – sin x + C.

Bài 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 3x² + 4x³, biết F(0) = 1.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\int \left(3x^2+4x^3\right)dx=\int 3x^{2}dx+\int 4x^{3}dx$$=\int {\left(x^3\right)}^{\text{'}}dx+\int {\left(x^4\right)}^{\text{'}}dx$  = x³ + x⁴ + C.

Vì F(0) = 1 nên 0³ + 0⁴ + C = 1, suy ra C = 1.

Vậy F(x) = x³ + x⁴ + 1.

Bài 3. Một quả bóng được ném lên từ độ cao 20 m với vận tốc được tính bởi công thức v(t) = – 9,8t + 16 (m/s).

a) Viết công thức tính độ cao của quả bóng theo thời gian t.

b) Sau bao nhiêu lâu kể từ khi ném lên thì quả bóng chạm đất?

Hướng dẫn giải

a) Gọi h(t) là độ cao của quả bóng tại thời điểm t (h(t) tính theo mét, t tính theo giây).

Suy ra: h'(t) = v(t), do đó h(t) là một nguyên hàm của v(t).

Ta có: $\int \left(-9,8t+16\right)dt=-4,9t^2+16t+C$ .

Suy ra h(t) = – 4,9t² + 16t + C.

Mà quả bóng được ném lên từ độ cao 20 m, nghĩa là tại thời điểm t = 0 thì h = 20 hay h(0) = 20. Suy ra C = 20.

Vậy công thức tính độ cao h(t) của quả bóng tại thời điểm t là:

h(t) = – 4,9t² + 16t + 20.

b) Khi quả bóng chạm đất thì h(t) = 0.

Ta có: – 4,9t² + 16t + 20 = 0. Giải phương trình ta được t ≈ – 0,96; t ≈ 4,23.

Mà t > 0 nên t ≈ 4,23.

Vậy sau khoảng 4,23 giây kể từ khi được ném lên thì quả bóng chạm đất.

Bài 4. Tìm:

Hướng dẫn giải

Bài 5. Tìm:

Hướng dẫn giải

Bài 6. Một xe ô tô đang chạy với tốc độ 54 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 50 m. Người la xe phản ứng một giây sau đó bằng cách đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ v(t) = – 10t + 20 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi s(t) là quãng đường xe ô tô đi được trong t (giây) kể từ lúc đạp phanh.

a) Lập công thức biểu diễn hàm số s(t).

b) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là bao nhiêu giây?

c) Quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là bao nhiêu mét? Xe ô tô liệu có gặp tai nạn do va chạm với chướng ngại vật trên đường hay không?

Hướng dẫn giải

a) Công thức tính quãng đường s(t) xe ô tô đi được trong t (giây) là một nguyên hàm của hàm v(t). Do $\int \left(-10t+20\right)dx=-5t^2+20t+C$  nên ta có s(t) = – 5t² + 20t + C với C là hằng số nào đó. Do s(0) = 0 nên C = 0. Suy ra s(t) = – 5t² + 20t.

b) Xe ô tô dừng hẳn khi v(t) = 0, tức là – 10t + 20 = 0 hay t = 2.

Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh cho đến khi xe ô tô dừng hẳn là 2 giây.

c) Ta có: tốc độ 54 km/h cũng là tốc độ 15 m/s.

Do đó, quãng đường xe ô tô còn di chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là: s(2) = – 5 ∙ 2² + 20 ∙ 2 = 20 (m).

Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là: 15 + 20 = 35 (m).

Do 35 < 50 nên xe ô tô đã dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường. Vì thế, tai nạn đã không xảy ra đối với xe ô tô đó.

Bài 7. Cho $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=3$, F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [– 2; 2] và F(– 2) = 5. Tính F(2).

Hướng dẫn giải

Vì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [– 2; 2] nên ta có:

$\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx={\left.F\left(x\right)\right|}_{-2}^2=F\left(2\right)-F\left(-2\right)$.

Mà $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=3$ , F(– 2) = 5 nên suy ra F(2) = 3 + 5 = 8.

Bài 8. Tính:

Hướng dẫn giải

Bài 9. Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái ô tô đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = – 5t + 20 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được quãng đường bằng bao nhiêu mét?

Hướng dẫn giải

Xe ô tô dừng hẳn khi v(t) = 0, tức là – 5t + 20 = 0 hay t = 4 (giây).

Quãng đường mà ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là:

$\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left(-5t+20\right)dt={\left.\left(-\frac{5}{2}{t}^2+20t\right)\right|}_0^4=40$(m)

Bài 10. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3^x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3.

a) Tính diện tích S của hình phẳng H.

b) Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng H quay quanh trục Ox.

Hướng dẫn giải

a) Diện tích của hình phẳng H là:

$S=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|3^x\right|dx=\underset{1}{\overset{3}{\int }}{3}^{x}dx={\left.\frac{3^x}{\ln 3}\right|}_1^3=\frac{24}{\ln 3}$.

b) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng H quay quanh trục Ox là:

$V=\pi \underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(3^x\right)}^{2}dx$$=\pi \underset{1}{\overset{3}{\int }}{9}^{x}dx={\left.\pi \frac{9^x}{\ln 9}\right|}_1^3=\frac{\pi }{2\ln 3}\left(9^3-9\right)=\frac{360}{\ln 3}$.

Bài 11. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) = $\cos \frac{x}{2}$ , trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = $\frac{\pi }{2}$ . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox.

Hướng dẫn giải

Thể tích tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) = $\cos \frac{x}{2}$ , trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = $\frac{\pi }{2}$ , quay quanh trục Ox là:

$V=\pi \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^2\frac{x}{2}dx$$=\pi \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{1+\cos x}{2}dx$$=\frac{\pi }{2}\left(\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}dx+\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\cos xdx\right)$

$=\frac{\pi }{2}\left({\left.x\right|}_0^{\frac{\pi }{2}}+{\left.\sin x\right|}_0^{\frac{\pi }{2}}\right)$$=\frac{\pi }{2}\left(\frac{\pi }{2}+\sin \frac{\pi }{2}-\sin 0\right)=\frac{{\pi }^2}{4}+\frac{\pi }{2}$

Bài 12. Mặt cắt của một cửa hầm có dạng là một hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang như hình dưới đây.

Tính diện tích của cửa hầm. 

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ trên. Khi đó, parabol đi qua các điểm có tọa độ (0; 0), (2; 4) và (4; 0).

Giả sử parabol có dạng y = ax² + bx + c (a ≠ 0).

Vì parabol đi qua các điểm có tọa độ (0; 0), (2; 4) và (4; 0) nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}c=0\\ 4a+2b+c=4\\ 16a+4b+c=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=4\\ c=0\end{array}\right.$.

Do đó, parabol có phương trình là y = – x² + 4x.

Diện tích của cửa hầm là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = – x² + 4x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 4.

Vậy diện tích của cửa hầm là:

$S=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left|-x^2+4x\right|dx$$=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left(-x^2+4x\right)dx$$={\left.\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2\right)\right|}_0^4=\frac{32}{3}$(m²).

B.2. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1. Hàm số F(x) = x² – x + 1 là một nguyên hàm của hàm số:

A. f(x) = 2x + 1.

B. f(x) = 2x – 1.

C. f(x) = x³ – x² + x.

D. f(x) = $\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: F'(x) = (x² – x + 1)' = 2x – 1. Suy ra f(x) = F'(x) = 2x – 1 với mọi x thuộc ℝ.

Vậy hàm số F(x) = x² – x + 1 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x – 1 trên ℝ.

Bài 2. $\int \sin xdx$  bằng:

A. – cos x + C.

B. cos x + C.

C. sin x + C.

D. – sin x + C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int \sin xdx$  = $\int {\left(-\cos x\right)}^{\text{'}}dx=-\cos x+C$ .

Bài 3. $\int \left(-\cos x\right)dx$ bằng:

A. sin x + C.

B. – sin x + C.

C. cos x + C.

D. – cos x + C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\int \left(-\cos x\right)dx=-\int \cos xdx=-\sin x+C$ .

Bài 4. $\int e^{4x+1}dx$  bằng:

A. e^{4x + 1} + C.

B. e^4x + C.

C. $\frac{e^{4x+1}}{\ln 4}+C$ .

D. $\frac{e^{4x+1}}{4}+C$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\int e^{4x+1}dx=e\int {\left(e^4\right)}^{x}dx=e\cdot \frac{{\left(e^4\right)}^x}{\ln e^4}+C=\frac{e^{4x+1}}{4}+C$ .

Bài 5. Tích phân $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{-5}{x^3}dx$ có giá trị bằng:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{-5}{x^3}dx$$=-5\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{-3}dx={\left.-5\cdot \frac{x^{-2}}{-2}\right|}_1^2={\left.\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{x^2}\right|}_1^2$$=\frac{5}{2}\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{1^2}\right)=-\frac{15}{8}$ .

Bài 6. Nếu $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=-3$  và $\underset{2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=5$  thì $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$  bằng:

A. 8.

B. 2.

C. – 8.

D. – 15.

 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$$=\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=\left(-3\right)+5=2$ .

Bài 7. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x, y = x³ và hai đường thẳng x = 1, x = 2 là:

A. $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x-x^3\right)dx$ .

B. $\underset{1}{\overset{2}{\int }}xdx-\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{3}dx$ .

C. $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{3}dx-\underset{1}{\overset{2}{\int }}xdx$ .

D. $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x^3+x\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Với x ∈ [1; 2], x – x³ ≤ 0, do đó |x – x³| = x³ – x.

Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x, y = x³ và hai đường thẳng x = 1, x = 2 là:

$S=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|x-x^3\right|dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x^3-x\right)dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{3}dx-\underset{1}{\overset{2}{\int }}xdx$.

Bài 8. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3 quay quanh trục Ox được khối tròn xoay có thể tích tính theo công thức là:

A. $\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(x+1\right)}^{2}dx$ .

B. $\pi \underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(x+1\right)}^{2}dx$ .

C. $\pi \underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(x+1\right)dx$ .

D. $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(x+1\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Thể tích khối tròn xoay được cho là:

$V=\pi \underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(x+1\right)}^{2}dx$.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Lý thuyết Chương 2: Toạ độ vectơ trong không gian

Lý thuyết Chương 3: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Lý thuyết Chương 4: Nguyên hàm. Tích phân

Lý thuyết Chương 5: Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Lý thuyết Chương 6: Một số yếu tố xác suất