Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Chương 3: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12.

Lý thuyết Toán 12 Chương 3: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

A. Lý thuyết Toán 12 Chương 3: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

1.1 Khoảng biến thiên

● Định nghĩa

Khoảng biến thiên, kí hiệu R, của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu của mẫu số liệu.

Chú ý:

- Xét mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở bảng sau:

Nếu n₁ và n_k cùng khác 0 thì R = u_{k + 1} – u₁.

- Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm luôn lớn hơn hoặc bằng khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc.

• Ý nghĩa của khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm

- Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc và có thể dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu.

- Khoảng biến thiên R = u_{k + 1} – u₁ chưa phản ánh được đầy đủ mức độ phân tán của phần lớn các số liệu. Hơn nữa, giá trị của R thường tăng vọt khi xuất hiện giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu. Do đó, để phản ánh mức độ phân tán của số liệu, người ta còn dùng các số đặc trưng khác.

1.2. Khoảng tứ phân vị

Chú ý: Tứ phân vị thứ i, kí hiệu là Q_i với i = 1, 2, 3 của mẫu số liệu ghép nhóm (Bảng 1) được xác định như sau:

$Q_i=u_m+\frac{\frac{in}{4}-C}{n_m}\left(u_{m+1}-u_m\right)$, trong đó:

+) n = n₁ + n₂ + …+ n_k là cỡ mẫu;

+) [u_m; u_{m + 1}) là nhóm chứa tứ phân vị thứ i;

+) n_m là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ i;

+) C = n₁ + n₂ + …+ n_{m – 1}.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm cũng được xác định dựa trên tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba như đối với mẫu số liệu không ghép nhóm.

• Định nghĩa khoảng tứ phân vị

Xét mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở Bảng 1.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $∆$_Q, là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba Q₃ và tứ phân vị thứ nhất Q₁ của mẫu số liệu ghép nhóm đó, tức là $∆$_Q = Q₃ – Q₁.

• Ý nghĩa của khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

- Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và có thể dùng để đo mức độ phân tán của nửa giữa của mẫu số liệu (tập hợp gồm 50% số liệu nằm chính giữa mẫu số liệu).

- Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm càng nhỏ thì dữ liệu càng tập trung xung quanh trung vị.

- Khoảng tứ phân vị được dùng để xác định giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu. Giá trị x trong mẫu số liệu là giá trị ngoại lệ nếu x > Q₃ + 1,5$∆$_Q hoặc x < Q₁ – 1,5$∆$_Q.

- Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm không bị ảnh hưởng nhiều bởi các giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu.

2. Phương sai, độ lệch chuẩn

● Định nghĩa

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu S², được tính bởi công thức

$S^2=\frac{1}{n}\left[n_1{\left(c_1-\overline{x}\right)}^2+n_2{\left(c_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+n_k{\left(c_k-\overline{x}\right)}^2\right]$,

trong đó: n = n₁ + n₂ + …+ n_k là cỡ mẫu; $\overline{x}=\frac{1}{n}\left(n_1{c}_1+n_2{c}_2+\mathrm{...}+n_k{c}_k\right)$ là số trung bình.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu S, là căn bậc hai số học của phương sai, nghĩa là $S=\sqrt{S^2}$.

Chú ý:

a) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm có thể được tính theo công thức sau:

$S^2=\frac{1}{n}\left(n_1{c}_1^2+n_2{c}_2^2+\mathrm{...}+n_k{c}_k^2\right)-{\overline{x}}^2$.

b) Trong thống kê, người ta còn dùng đại lượng sau để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm:

${\widehat{s}}^2=\frac{1}{n-1}\left[n_1{\left(c_1-\overline{x}\right)}^2+n_2{\left(c_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+n_k{\left(c_k-\overline{x}\right)}^2\right]$.

• Ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

- Phương sai (độ lệch chuẩn) của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho phương sai (độ lệch chuẩn) của mẫu số liệu gốc. Chúng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu. Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì dữ liệu càng phân tán.

- Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu.

B. Bài tập Toán 12 Chương 3: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

1. Bài tập tự luận

Bài 1. Chiều cao của 42 mẫu cây ở một vườn thực vật (đơn vị: centimét) được cho trong bảng sau:

Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải

Cỡ mẫu n = 42.

Giả sử x₁; x₂; …; x₄₂ là chiều cao của 42 mẫu cây được xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất là x₁₁ mà x₁₁ thuộc nhóm [45; 50) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [45; 50).

$Q_1=45+\frac{\frac{42}{4}-5}{10}.\left(50-45\right)=47,75$.

Tứ phân vị thứ ba là x₃₂ mà x₃₂ $\in$ [60; 65) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [60; 65).

$Q_3=60+\frac{\frac{42}{4}.3-31}{7}.\left(65-60\right)\approx 60,36$.

Có $∆$_Q = 60,36 – 47,75 = 12,6.

Bài 2. Một câu lạc bộ thể dục thể thao đã ghi lại số giờ các thành viên của mình sử dụng cơ sở vật chất của câu lạc bộ để tập luyện trong tháng. Kết quả thu được trong bảng sau:

Hãy tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải

Cỡ mẫu n = 85.

Giả sử x₁; …; x₈₅ là thời gian sử dụng cơ sở vật chất của câu lạc bộ để tập luyện trong tháng của 85 thành viên được xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất là $\frac{x_{21}+x_{22}}{2}$ mà x₂₁; x₂₂ $\in$ [5; 9) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [5; 9).

Ta có $Q_1=5+\frac{\frac{85}{4}-10}{14}.\left(9-5\right)=\frac{115}{14}$.

Tứ phân vị thứ ba là $\frac{x_{64}+x_{65}}{2}$ mà x₆₄; x₆₅ $\in$ [21; 25) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [21; 25).

Ta có $Q_3=21+\frac{\frac{85}{4}.3-62}{23}.\left(25-21\right)=\frac{490}{23}$.

Do đó ${\Delta }_Q=\frac{490}{23}-\frac{115}{14}=\frac{4215}{322}\approx 13$.

Bài 3. Số tiền (đơn vị: nghìn đồng) mua sách của 60 khách hàng ở một cửa hàng trong một ngày được thống kê lại dưới bảng sau:

a) Tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Trong 60 khách hàng mua sách có 1 khách hàng trả 40 nghìn đồng. Hỏi số tiền của khách hàng này có phải là giá trị ngoại lệ không?

Hướng dẫn giải

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 90 – 40 = 50.

Cỡ mẫu n = 60.

Giả sử x₁; x₂; …; x₆₀ là số tiền của 60 khách hàng mua sách được xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất là $\frac{x_{15}+x_{16}}{2}$ mà x₁₅; x₁₆  $\in$ [60; 70) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [60; 70).

Ta có $Q_1=60+\frac{\frac{60}{4}-9}{19}.\left(70-60\right)=\frac{1200}{19}$.

Tứ phân vị thứ ba là $\frac{x_{45}+x_{46}}{2}$ mà x₄₅; x₄₆ $\in$ [70; 80) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [70; 80).

Ta có $Q_3=70+\frac{\frac{60}{4}.3-28}{23}.\left(80-70\right)=\frac{1780}{23}$.

Do đó ${\Delta }_Q=\frac{1780}{23}-\frac{1200}{19}=\frac{6220}{437}\approx 14,23$.

b) Vì $Q_1-1,5{\Delta }_Q=\frac{1200}{19}-1,5.14,23\approx 41,81>40$ nên số tiền mua sách của khách này là giá trị ngoại lệ.

Bài 4. Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải

Bảng thống kê có giá trị đại diện là

Giá trị trung bình là

$\overline{x}=\frac{2.6+7.8+7.10+3.12+1.14}{20}=9,4$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

$S^2=\frac{{2.6}^2+{7.8}^2+{7.10}^2+{3.12}^2+{1.14}^2}{20}-9,4^2=4,04$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

$S=\sqrt{4,04}\approx 2,01$.

Bài 5. Thống kê điểm trung bình môn Toán của một số học sinh lớp 12 được cho ở bảng sau:

Tính phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải

Bảng thông kê có giá trị đại diện

Cỡ mẫu n = 8 + 10 + 16 + 24 + 13 + 7 + 4 = 82.

Giá trị trung bình của mẫu số liệu là

$\overline{x}=\frac{8.6,75+10.7,25+16.7,75+24.8,25+13.8,75+7.9,25+4.9,75}{82}\approx 8,12$.

Phương sai của mẫu số liệu là

$S^2=\frac{8.6,{75}^2+10.7,{25}^2+16.7,{75}^2+24.8,{25}^2+13.8,{75}^2+7.9,{25}^2+4.9,{75}^2}{82}-8,{12}^2\approx 0,64$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

$S=\sqrt{0,64}=0,8$.

Bài 6. Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả bơ ở hai lô hàng A và B cho trong bảng sau:

a) Hãy so sánh cân nặng trung bình của 25 quả bơ của hai lô hàng A và lô hàng B.

b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì cân nặng của 25 quả bơ của lô hàng nào đồng đều hơn?

Hướng dẫn giải

Bảng thống kê có giá trị đại diện

a) Giá trị trung bình của lô A là

$\overline{x_A}=\frac{1.152,5+7.157,5+12.162,5+3.167,5+2.172,5}{25}=162,1$.

Giá trị trung bình của lô B là

$\overline{x_B}=\frac{2.152,5+5.157,5+10.162,5+4.167,5+4.172,5}{25}=163,1$.

Cân nặng trung bình của lô hàng B nặng hơn lô hàng A.

b) Phương sai của lô A

$S_A^2=\frac{1.152,5^2+7.157,5^2+12.162,5^2+3.167,5^2+2.172,5^2}{25}-162,1^2=21,84$.

Độ lệch chuẩn của lô A

$S_A=\sqrt{21,84}\approx 4,67$.

Phương sai của lô B

$S_B^2=\frac{2.152,5^2+5.157,5^2+10.162,5^2+4.167,5^2+4.172,5^2}{25}-163,1^2=32,64$.

Độ lệch chuẩn của lô B

$S_B=\sqrt{32,64}\approx 5,71$a.

Vì S_B > S_A nên cân nặng của 25 quả bơ ở lô hàng A thì có sự phân bố đồng đều hơn.

2. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1. Giá trị x được gọi là giá trị ngoại lệ nếu:

A. x < Q₃ + 1,5$∆$_Q.

B. x < Q₃ − 1,5$∆$_Q.

C. x > Q₁ − 1,5$∆$_Q.

D. x > Q₃ + 1,5$∆$_Q.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Giá trị x trong mẫu số liệu là giá trị ngoại lệ nếu x > Q₃ + 1,5$∆$_Q hoặc x < Q₁ – 1,5$∆$_Q.

Bài 2. Khảo sát thời gian chạy bộ trong một ngày của một số học sinh khối 12 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

A. 80.

B. 60.

C. 90.

D. 100.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là 100 – 0 = 100.

Bài 3. Yếu tố được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu là:

A. Khoảng biến thiên.

B. Khoảng tứ phân vị.

C. Phương sai.

D. Phương sai và độ lệch chuẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương sai và độ lệch chuẩn dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu.

Bài 4. Chọn phương sán sai:

A. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho phương sai của mẫu số liệu gốc.

B. Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì dữ liệu càng phân tán.

C. Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu.

D. Phương sai có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đáp án sai là: Phương sai có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: