Lý thuyết Toán 12 Chương 2 (Chân trời sáng tạo): Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

Admin Vietjack Ngày: 17-09-2024 Lớp 12

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Chương 2: Vectơ và hệ tọa độ trong không gian sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12.

Lý thuyết Toán 12 Chương 2: Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

A. Lý thuyết Toán 12 Chương 2: Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

1. Vectơ và các phép toán trong không gian

1.1. Vectơ trong không gian

● Định nghĩa

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

Chú ý:

- Kí hiệu $\vec{A B}$ chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B.

- Nếu không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối thì vectơ còn được kí hiệu là $\vec{u}, \vec{v}, \vec{x}, \vec{y}, ...$

• Trong không gian, các khái niệm có liên quan đến vectơ như giá của vectơ; độ dài của vectơ; hai vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng, bằng nhau, đối nhau; vectơ-không được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.

Chú ý: Trong không gian, cho điểm O và vectơ $\vec{a}$ , tồn tại duy nhất điểm M để $\vec{O M} = \vec{a} .$

1.2. Tổng và hiệu của hai vectơ

• Tổng của hai vectơ

Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ . Lấy điểm O bất kì và hai điểm A, B sao cho $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{A B} = \vec{b}$ . Ta gọi $\vec{O B}$ là tổng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , kí hiệu $\vec{a} + \vec{b}$ .

Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.

Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 2 Chân trời sáng tạo

Nhận xét: Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng.

+) Tính chất giao hoán: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ ;

+) Tính chất kết hợp: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$ ;

+) Với mọi vectơ $\vec{a}$ , ta luôn có $\vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a}$ .

Chú ý: Từ tính chất kết hợp, ta có thể xác định được tổng của ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ là $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}$ .

• Quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành

Quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành vẫn đúng với các vectơ trong không gian.

+) Với ba điểm A, B, C ta có $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ .

+) Nếu ABCD là hình bình hành thì ta có $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ .

• Quy tắc hình hộp

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Ta có : $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}} = \vec{A C^{'}}$ .

• Hiệu hai vectơ

Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ . Ta gọi $\vec{a} + (- \vec{b})$ là hiệu của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , kí hiệu $\vec{a} - \vec{b}$ .

Phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.

Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 2 Chân trời sáng tạo

• Quy tắc hiệu

Trong không gian, với ba điểm A, B, C ta có: $\vec{A B} - \vec{A C} = \vec{C B}$ .

1.3. Tích của một số với một vectơ

• Định nghĩa

Trong không gian, cho số thực k ≠ 0 và vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ .

Tích của số k với vectơ $\vec{a}$ là một vectơ, kí hiệu $k \vec{a}$ , cùng hướng với $\vec{a}$ nếu k > 0, ngược hướng với $\vec{a}$ nếu k < 0 và có độ dài bằng $|k| . |\vec{a}|$ .

Phép lấy tích của một số với một vectơ được gọi là phép nhân một số với một vectơ.

Quy ước: $0. \vec{a} = \vec{0}$ và $k . \vec{0} = \vec{0}$ .

Nhận xét:

a) Với hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bất kì, với mọi số h và k, ta có:

+) $k (\vec{a} + \vec{b}) = k \vec{a} + k \vec{b}$ ;

+) $(h + k) \vec{a} = h \vec{a} + k \vec{a}$ ;

+) $h (k \vec{a}) = (h k) \vec{a}$ ;

+) $1. \vec{a} = \vec{a}$ ;

+) $(- 1) . \vec{a} = - \vec{a}$ .

b) $k \vec{a} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{a} = \vec{0}$ hoặc k = 0.

c) Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ( $\vec{b}$ khác $\vec{0}$ ) cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho $\vec{a} = k \vec{b}$ .

d) Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để $\vec{A B} = k \vec{A C}$ .

1.4. Tích vô hướng của hai vectơ

• Góc giữa hai vectơ trong không gian

Trong không gian, cho $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là hai vectơ khác $\vec{0}$ . Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho $\vec{A B} = \vec{u}, \vec{A C} = \vec{v}$ . Khi đó, ta gọi $\hat{B A C}$ là góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ , kí hiệu $(\vec{u}, \vec{v})$ .

Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 2 Chân trời sáng tạo

Nhận xét:

+) $0 ° \leq (\vec{u}, \vec{v}) \leq 180 °$ ;

+) Nếu $(\vec{u}, \vec{v}) = 90 °$ thì ta nói $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau, kí hiệu $\vec{u} ⊥ \vec{v}$ .

• Tích vô hướng của hai vectơ

Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ khác $\vec{0}$ .

Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là một số, kí hiệu $\vec{u} . \vec{v}$ , được xác định bởi công thức $\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}| . \cos (\vec{u}, \vec{v})$ .

Chú ý:

a) Trong trường hợp $\vec{u} = \vec{0}$ hoặc $\vec{v} = \vec{0}$ , ta quy ước $\vec{u} . \vec{v} = 0$ .

b) $\vec{u} . \vec{u} = {\vec{u}}^{2} = {|\vec{u}|}^{2}; {\vec{u}}^{2} \geq 0; {\vec{u}}^{2} = 0 \Leftrightarrow \vec{u} = \vec{0}$ .

c) Với hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ khác $\vec{0}$ , ta có $\cos (\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{u}| . |\vec{v}|}$ .

d) Với hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ khác $\vec{0}$ , ta có $\vec{u} ⊥ \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} . \vec{v} = 0$ .

Nhận xét: Tương tự như trong mặt phẳng, tích vô hướng của hai vectơ trong không gian cũng có các tính chất sau:

Với ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ và số k, ta có:

+) $\vec{a} . \vec{b} = \vec{b} . \vec{a}$ ;

+) $\vec{a} . (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c}$ ;

+) $(k \vec{a}) . \vec{b} = k (\vec{a} . \vec{b}) = \vec{a} . (k \vec{b})$ .

2. Tọa độ của vectơ trong không gian

2.1. Hệ tọa độ trong không gian

● Hệ tọa độ Oxyz

Trong không gian, cho ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. Gọi $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ lần lượt là ba vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz trong không gian hay gọi đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.

Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 2 Chân trời sáng tạo

Nhận xét:

a) Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

Các trục Ox, Oy, Oz được gọi là các trục tọa độ.

Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đội một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz.

b) Vì $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên ta có ${\vec{i}}^{2} = {\vec{j}}^{2} = {\vec{k}}^{2} = 1$ và $\vec{i} . \vec{j} = \vec{j} . \vec{k} = \vec{k} . \vec{i} = 0$ .

2.2. Tọa độ của điểm và vectơ

• Tọa độ của điểm

Trong không gian Oxyz, cho điểm M. Nếu $\vec{O M} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$ v thì ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz và viết $M = (x; y; z)$ hoặc M(x; y; z); x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của điểm M.

Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 2 Chân trời sáng tạo

• Tọa độ của vectơ

Trong không gian Oxyz, cho vectơ $\vec{a}$ . Nếu $\vec{a} = a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j} + a_{3} \vec{k}$ thì ta gọi bộ ba số (a₁; a₂; a₃) là tọa độ của vectơ $\vec{a}$ đối với hệ tọa độ Oxyz và viết $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ hoặc $\vec{a} (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ .

Nhận xét: Trong không gian Oxyz, ta có:

+) Tọa độ của điểm M là tọa độ của vectơ $\vec{O M}$ , tức là M = (x; y; z) $\Leftrightarrow$ $\vec{O M} = (x; y; z) .$

+) Điều kiện để hai vectơ bằng nhau:

Cho $\vec{a} = (x; y; z), \vec{b} = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ . Khi đó $\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = x^{'} \\ y = y^{'} \\ z = z^{'} \end{cases}$ .

3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

3.1. Biểu thức tọa độ của tổng, hiệu hai vectơ và tích của một số với một vectơ

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ và $\vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ và số thực k. Khi đó:

+) $\vec{a} + \vec{b} = (a_{1} + b_{1}; a_{2} + b_{2}; a_{3} + b_{3})$ ;

+) $\vec{a} - \vec{b} = (a_{1} - b_{1}; a_{2} - b_{2}; a_{3} - b_{3})$ ;

+) $k \vec{a} = (k a_{1}; k a_{2}; k a_{3})$ .

Nhận xét: Cho hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ và $\vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ , $\vec{b} \neq \vec{0}$ . Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho $\{\begin{cases} a_{1} = k b_{1} \\ a_{2} = k b_{2} \\ a_{3} = k b_{3} \end{cases}$ .

3.2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

• Tích vô hướng của hai vectơ

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ và $\vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ được xác định bởi công thức $\vec{a} . \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$ .

Nhận xét:

+) $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = 0 (\vec{a}, \vec{b} \neq \vec{0})$ ;

+) $|\vec{a}| = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}$ ;

+) $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}} . \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2}}} (\vec{a}, \vec{b} \neq \vec{0})$ .

• Xác định tọa độ của vectơ khi biết tọa độ điểm đầu và điểm cuối

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B). Ta có: $\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ .

Nhận xét: $A B = |\vec{A B}| = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(z_{B} - z_{A})}^{2}}$ .

• Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

Trong không gian Oxyz:

+) Cho hai điểm A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B). Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là: $M (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2})$ .

+) Cho tam giác ABC có A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B), C(x_C; y_C; z_C). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: $G (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}; \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3})$ .

B. Bài tập Toán 12 Chương 2: Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

1. Bài tập tự luận

Bài 1. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Chứng minh rằng

a) $\vec{A B} + \vec{C D} + \vec{B C} + \vec{D A} = \vec{0}$ .

b) $\vec{A B} . \vec{A C} = \frac{a^{2}}{2}$ .

c) $\vec{A B} . \vec{C D} = 0$ .

Hướng dẫn giải

Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 2 Chân trời sáng tạo

Gọi M là trung điểm của BC và O là trọng tâm của tam giác BCD.

a) Ta có $\vec{A B} + \vec{C D} + \vec{B C} + \vec{D A} = (\vec{A B} + \vec{B C}) + (\vec{C D} + \vec{D A})$ $= \vec{A C} + \vec{C A} = \vec{0}$ .

b) Vì DABC đều nên $(\vec{A B}, \vec{A C}) = 60 °$ .

Có $\vec{A B} . \vec{A C} = |\vec{A B}| . |\vec{A C}| . \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = a . a . \cos 60 ° = \frac{a^{2}}{2}$ .

c) Vì ABCD là tứ diện đều, O là trọng tâm của tam giác BCD nên $A O ⊥ (B C D)$ .

Suy ra $A O ⊥ C D$ .

Lại có BO $⊥$ CD. Do đó CD $⊥$ (ABO). Suy ra CD $⊥$ AB hay $\vec{A B} . \vec{C D} = 0$ .

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AC = AB = a và $B C = a \sqrt{2}$ . Tính góc $(\vec{S C}, \vec{A B})$ .

Hướng dẫn giải

Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 2 Chân trời sáng tạo

Từ giả thiết ta có DABC vuông tại A nên $\vec{A B} . \vec{A C} = 0$ và $(\vec{S A}, \vec{A B}) = 120 °$ .

Ta có $\cos (\vec{S C}, \vec{A B}) = \frac{\vec{S C} . \vec{A B}}{|\vec{S C}| . |\vec{A B}|}$ $= \frac{(\vec{S A} + \vec{A C}) . \vec{A B}}{|\vec{S C}| . |\vec{A B}|}$ $= \frac{\vec{S A} . \vec{A B} + \vec{A C} . \vec{A B}}{|\vec{S C}| . |\vec{A B}|}$ $= \frac{\vec{S A} . \vec{A B}}{|\vec{S C}| . |\vec{A B}|}$ $= \frac{|\vec{S A}| . |\vec{A B}| . \cos (\vec{S A}, \vec{A B})}{|\vec{S C}| . |\vec{A B}|}$ $= \frac{a . a . \cos 120 °}{a . a}$ .

Suy ra $(\vec{S C}, \vec{A B}) = 120 °$ .

Bài 3. Theo định luật II Newton: gia tốc của một vật có cùng hướng với lực tác dụng lên vật. Độ lớn của gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật: $\vec{F} = m \vec{a}$ , trong đó $\vec{a}$ là vectơ gia tốc (m/s²), $\vec{F}$ có vectơ lực (N) tác dụng lên vật, m (kg) là khối lượng của vật. Một cầu thủ sút một quả bóng có khối lượng 0,6 kg với gia tốc 60 m/s² thì cần một lực đá có độ lớn là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Ta có $|\vec{F}| = m |\vec{a}| = 0, 6.60 = 36 N$ .

Vậy một lực có độ lớn là 36 N.

Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đỉnh A' trùng với gốc O và các đỉnh D', B', A lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz và A'D' = 2; A'B' = 3 và A'A = 5. Tìm tọa độ của các đỉnh D', B', A' và C đối với hệ tọa độ đó.

Hướng dẫn giải

Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 2 Chân trời sáng tạo

Ta có $\vec{O D^{'}} = 2 \vec{i} + 0 \vec{j} + 0 \vec{k}$ . Suy ra D'(2; 0; 0).

$\vec{O B^{'}} = 0 \vec{i} + 3 \vec{j} + 0 \vec{k}$ . Suy ra B'(0; 3; 0).

$\vec{O A} = 0 \vec{i} + 0 \vec{j} + 5 \vec{k}$ . Suy ra A(0; 0; 5).

Theo quy tắc hình hộp ta có: $\vec{O C} = \vec{O D^{'}} + \vec{O B^{'}} + \vec{O A} = 2 \vec{i} + 3 \vec{j} + 5 \vec{k}$ .

Suy ra C(2; 3; 5).

Bài 5. Cho hình hộp chữ nhật OABC.O'A'B'C', với O là gốc tọa độ, A(2; 0; 0), C(0; 6; 0), O'(0; 0; 4). Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Xác định tọa độ các vectơ $\vec{O A^{'}}, \vec{O B}, \vec{O C^{'}}$

Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 2 Chân trời sáng tạo

Hướng dẫn giải

Ta có $\vec{O A} = 2 \vec{i}; \vec{O C} = 6 \vec{j}; \vec{O O^{'}} = 4 \vec{k}$ .

Theo quy tắc hình bình hành, ta có:

$\vec{O A^{'}} = \vec{O A} + \vec{O O^{'}} = 2 \vec{i} + 4 \vec{k}$ . Suy ra $\vec{O A^{'}} = (2; 0; 4)$ .

$\vec{O B} = \vec{O A} + \vec{O C} = 2 \vec{i} + 6 \vec{j}$ . Suy ra $\vec{O B} = (2; 6; 0)$ .

$\vec{O C^{'}} = \vec{O C} + \vec{O O^{'}} = 6 \vec{j} + 4 \vec{k}$ . Suy ra $\vec{O C^{'}} = (0; 6; 4)$ .

Bài 6. Hình a mô tả một sân cầu lông với kích thước theo tiêu chuẩn quốc tế. Ta chọn hệ trục Oxyz cho sân đó như hình b (đơn vị trên mỗi trục là mét). Giả sử AB là một trụ cầu lông để căng lưới. Hãy xác định tọa độ của điểm A, B.

Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 2 Chân trời sáng tạo

Hướng dẫn giải

Gọi tọa độ điểm A là (x_A; y_A; z_A). Vì chiều rộng của sân là 6,1 m nên x_A = 6,1.

Do nửa chiều dài của sân là 6,7 m nên y_A = 6,7.

Điểm A thuộc mặt phẳng (Oxy) nên z_A = 0.

Vậy A(6,1; 6,7; 0).

Độ dài đoạn thẳng AB là 1,55 m nên điểm B có tọa độ là (6,1; 6,7; 1,55).

Bài 7. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2) và D(2; 2; 2). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính độ dài MN.

Hướng dẫn giải

Vì M là trung điểm của AB nên $M (\frac{2 + 0}{2}; \frac{0 + 2}{2}; \frac{0 + 0}{2})$ hay M(1; 1; 0).

Vì N là trung điểm của CD nên $N (\frac{2 + 0}{2}; \frac{0 + 2}{2}; \frac{2 + 2}{2})$ hay N(1; 1; 2).

Ta có $M N = \sqrt{{(1 - 1)}^{2} + {(1 - 1)}^{2} + {(2 - 0)}^{2}} = 2$ .

Bài 8. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 1; 1), B(5; 1; −2), C(7; 9; 1). Tính độ dài đường phân giác trong AD của góc A.

Hướng dẫn giải

Có $A B = \sqrt{{(5 - 1)}^{2} + {(1 - 1)}^{2} + {(- 2 - 1)}^{2}} = 5$ ; $A C = \sqrt{{(7 - 1)}^{2} + {(9 - 1)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}} = 10$ .

Vì AD là đường phân giác trong của góc A nên $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C} = \frac{1}{2}$ mà D nằm giữa B, C nên $\vec{D C} = - 2 \vec{D B}$ .

Gọi D(x; y; z). Khi đó $\vec{D C} = (7 - x; 9 - y; 1 - z)$ và $\vec{D B} = (5 - x; 1 - y; - 2 - z)$ .

Vì $\vec{D C} = - 2 \vec{D B}$ nên $\{\begin{cases} 7 - x = - 2 (5 - x) \\ 9 - y = - 2 (1 - y) \\ 1 - z = - 2 (- 2 - z) \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{17}{3} \\ y = \frac{11}{3} \\ z = - 1 \end{cases}$ . Suy ra $D (\frac{17}{3}; \frac{11}{3}; - 1)$ .

Do đó $A D = \sqrt{{(\frac{17}{3} - 1)}^{2} + {(\frac{11}{3} - 1)}^{2} + {(- 1 - 1)}^{2}} = \frac{2 \sqrt{74}}{3}$ .

Bài 9. Một công ty công nghệ đang phát triển một hệ thống định vị 3D để theo dõi các máy bay không người lái (drone) trong một khu vực cụ thể. Hệ thống này sử dụng ba trạm quan sát đặt tại các vị trí cố định để theo dõi vị trí của drone trong không gian Oxyz. Các trạm quan sát có tọa độ như sau: Trạm O₁: O₁(0; 0; 0), trạm O₂: O₂(10; 0; 0) và trạm O₃: O₃(0; 10; 0). Biết drone đang ở vị trí D(5; 5; 10).

a) Tính khoảng cách từ mỗi trạm quan sát đến drone.

b) Tính góc giữa các vectơ từ O₁ đến drone và từ O₂ đến drone.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $O_{1} D = \sqrt{5^{2} + 5^{2} + 10^{2}} = 5 \sqrt{6}$ .

$O_{2} D = \sqrt{{(5 - 10)}^{2} + 5^{2} + 10^{2}} = 5 \sqrt{6}$ .

$O_{3} D = \sqrt{5^{2} + {(5 - 10)}^{2} + 10^{2}} = 5 \sqrt{6}$ .

b) Có $\vec{O_{1} D} = (5; 5; 10)$ , $\vec{O_{2} D} = (- 5; 5; 10)$ .

Do đó $\cos (\vec{O_{1} D}, \vec{O_{2} D}) = \frac{\vec{O_{1} D} . \vec{O_{2} D}}{|\vec{O_{1} D}| . |\vec{O_{2} D}|}$ $= \frac{5. (- 5) + 5.5 + 10.10}{5 \sqrt{6} .5 \sqrt{6}} = \frac{100}{150} = \frac{2}{3}$ .

Suy ra $(\vec{O_{1} D}, \vec{O_{2} D}) \approx 48, 2 °$ .

2. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Đặt $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A A^{'}} = \vec{b}, \vec{A C} = \vec{c}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\vec{B^{'} C} = - \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ .

B. $\vec{B^{'} C} = - \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ .

C. $\vec{B^{'} C} = - \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ .

D. $\vec{B^{'} C} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 2 Chân trời sáng tạo

Ta có $\vec{B^{'} C} = \vec{B C} - \vec{B B^{'}}$ $= (\vec{A C} - \vec{A B}) - \vec{B B^{'}}$ $= \vec{c} - \vec{a} - \vec{b}$ .

Bài 2. Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}} = \vec{A C^{'}}$ .

B. $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$ .

C. $|\vec{A B}| = |\vec{C D}|$ .

D. $\vec{A B} = \vec{C D}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 2 Chân trời sáng tạo

Mệnh đề sai là: $\vec{A B} = \vec{C D}$ , $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ là hai vectơ đối nhau.

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho $\vec{O M} = (2; - 3; - 1)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\vec{O M} = 2 \vec{i} + 3 \vec{j} + \vec{k}$ .

B. M(−2; 3; 1).

C. M(−1; −3; 2).

D. $\vec{O M} = 2 \vec{i} - 3 \vec{j} - \vec{k}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $\vec{O M} = (2; - 3; - 1)$ nên $\vec{O M} = 2 \vec{i} - 3 \vec{j} - \vec{k}$ .

Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho điểm M thỏa mãn hệ thức $\vec{O M} = 2 \vec{i} + \vec{j}$ . Tọa độ của điểm M là

A. M(0; 2; 1).

B. M(2; 0; 1).

C. M(2; 1; 0).

D. M(0; 1; 2).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$\vec{O M} = 2 \vec{i} + \vec{j}$ $\Leftrightarrow$ M(2; 1; 0).

Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3). Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục Ox.

A. (2; 0; 0).

B. (1; 0; 0).

C. (3; 0; 0).

D. (0; 2; 3).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Tọa độ hình chiếu M lên trục Ox là (1; 0; 0).

Bài 6. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{u} = (- 1; 3; - 2)$ và $\vec{v} = (2; 5; - 1)$ . Tìm tọa độ của vectơ $\vec{a} = 2 \vec{u} - 3 \vec{v}$ .