Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12.
Lý thuyết Toán 12 Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian
A. Lý thuyết Vectơ và các phép toán trong không gian
1. Vecto trong không gian
|
2. Tổng và hiệu của hai vecto
a) Tổng của hai vecto
Trong không gian, cho hai vecto và . Lấy một điểm A bất kì và các điểm B,C sao cho . Khi đó, vecto được gọi là tổng của hai vecto và , kí hiệu là Phép lấy tổng của hai vecto được gọi là phép cộng vecto
|
b) Hiệu của hai vecto
Trong không gian, cho hai vecto và . Hiệu của hai vecto và là tổng của hai vecto và vecto đối của , kí hiệu là Phép lấy hiệu của hai vecto được gọi là phép trừ vecto Với ba điểm O, A, B trong không gian, ta có: (Quy tắc hiệu) |
3. Tích của một số với một vecto
Trong không gian, tích của một số thực với một vecto là một vecto, kí hiệu là , được xác định như sau: - Cùng hướng với vecto nếu k > 0; ngược hướng với vecto nếu k < 0 - Có độ dài bằng Phép lấy tích của một số với một vecto được gọi là phép nhân một số với một vecto |
4. Tích vô hướng của hai vecto
a) Góc giữa hai vecto trong không gian
Trong không gian, cho hai vecto và khác . Lấy một điểm O bất kỳ và gọi A, B là hai điểm sao cho . Khi đó, góc được gọi là góc giữa hai vecto và , kí hiệu |
b) Tích vô hướng của hai vecto
Trong không gian, cho hai vecto và khác . Tích vô hướng của hai vecto và là một số, kí hiệu là , được xác định bởi công thức |
Sơ đồ tư duy Vectơ và các phép toán trong không gian
B. Bài tập Vectơ và các phép toán trong không gian
Bài 1. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Đặt . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. .
B. .
C. .
D. .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có .
Bài 2. Cho hình lập phương . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. .
B. .
C. .
D. .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Mệnh đề sai là: , và là hai vectơ đối nhau.
Bài 3. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Chứng minh rằng
a) .
b) .
c) .
Hướng dẫn giải
Gọi M là trung điểm của BC và O là trọng tâm của tam giác BCD.
a) Ta có .
b) Vì DABC đều nên .
Có .
c) Vì ABCD là tứ diện đều, O là trọng tâm của tam giác BCD nên .
Suy ra .
Lại có BO CD. Do đó CD (ABO). Suy ra CD AB hay .
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AC = AB = a và . Tính góc .
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết ta có DABC vuông tại A nên >và .
Ta có .
Suy ra .
Bài 5. Theo định luật II Newton: gia tốc của một vật có cùng hướng với lực tác dụng lên vật. Độ lớn của gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật: , trong đó là vectơ gia tốc (m/s2), có vectơ lực (N) tác dụng lên vật, m (kg) là khối lượng của vật. Một cầu thủ sút một quả bóng có khối lượng 0,6 kg với gia tốc 60 m/s2 thì cần một lực đá có độ lớn là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Ta có .
Vậy một lực có độ lớn là 36 N.
Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: