Với giải Hoạt động 1 trang 97 Toán 12 Tập 2 Cánh diều chi tiết trong Bài 2: Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 12 Bài 2: Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

Hoạt động 1 trang 97 Toán 12 Tập 2: Một hộp có 24 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, …, 24; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biết cố A: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3” và biến cố B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 4”.

a) Viết các tập con của không gian mẫu tương ứng với các biến cố A, B, A ∩ B, $A\cap \overline{B}$ (Hình 1).

Từ đó, hãy chứng tỏ rằng: P(A) = P(A ∩ B) + P($A\cap \overline{B}$ ).

c) So sánh: P(A ∩ B) và P(B) ∙ P(A | B);

P( $A\cap \overline{B}$) và P($\overline{B}$ ) ∙ P(A | $\overline{B}$ ).

Từ đó, hãy chứng tỏ rằng: P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P( $\overline{B}$) ∙ P(A | $\overline{B}$ ).

Lời giải:

a) Ω = {1; 2; 3; …; 24}.

A = {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}.

B = {4; 8; 12; 16; 20; 24}.

A ∩ B = {12; 24}.

$\overline{B}$ = {1; 2; 3; 5; 6; 7; 9; 10; 11; 13; 14; 15; 17; 18; 19; 21; 22; 23}.

A ∩ $\overline{B}$ = {3; 6; 9; 15; 18; 21}.

b) Từ câu a), suy ra n(A) = 8, n(A ∩ B) = 2, n(A ∩ $\overline{B}$ ) = 6.

Do 8 = 2 + 6 nên n(A) = n(A ∩ B) + n( $A\cap \overline{B}$).

Khi đó, P(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}$ = $\frac{n\left(A\cap B\right)+n\left(A\cap \overline{B}\right)}{n\left(\Omega \right)}$ = $\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(\Omega \right)}$ + $\frac{n\left(A\cap \overline{B}\right)}{n\left(\Omega \right)}$ .

Mà P(A ∩ B) = $\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(\Omega \right)}$ ; P($A\cap \overline{B}$ ) = $\frac{n\left(A\cap \overline{B}\right)}{n\left(\Omega \right)}$ .

Vậy P(A) = P(A ∩ B) + P( $A\cap \overline{B}$).

c) Ta có P(B) ∙ P(A | B) = P(B) ∙ $\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$ = P(A ∩ B).

P( $\overline{B}$) ∙ P(A | $\overline{B}$ ) = P( $\overline{B}$) ∙ $\frac{P\left(A\cap \overline{B}\right)}{P\left(\overline{B}\right)}$ = P( $A\cap \overline{B}$).

Vì hai biến cố A ∩ B và $A\cap \overline{B}$ là hai biến cố xung khắc và (A ∩ B) ∪ ($A\cap \overline{B}$ ) = A nên theo công thức xác suất ta có

P(A) = P(A ∩ B) + P($A\cap \overline{B}$ ) = P(B) ∙ P(A | B) + P( $\overline{B}$) ∙ P(A | $\overline{B}$ ).