Với giải Bài 9.42 trang 92 Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài tập cuối chương 9 giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 9 Bài tập cuối chương 9

Bài 9.42 trang 92 Toán 9 Tập 2: Cho một hình lục giác đều và một hình vuông cùng nội tiếp một đường tròn. Biết rằng hình vuông có cạnh bằng 3 cm. Tính chu vi và diện tích của một hình lục giác đều đã cho.

Lời giải:

Giả sử ABCDEG là hình lục giác đều và MNPQ là hình vuông cùng nội tiếp đường tròn (O; R). Do đó OA = OB = OC = OD = OE = OM = ON = OP = OQ = R.

Vì MNPQ là hình vuông nên đường tròn ngoại tiếp hình vuông này có tâm là giao điểm hai đường chéo.

Mặt khác, hai đường chéo MP, NQ vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Xét ∆OMN vuông tại O, theo định lí Pythagore ta có:

MN² = OM² + ON²

Suy ra 3² = R² + R², hay 2R² = 9 nên $R=\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\text{(cm).}$

Vì ABCDEG nên AB = BC = CD = DE = EG = GA.

Xét ∆OAB và ∆OBC có:

OA = OB, OB = OC, AB = BC.

Do đó ∆OAB = ∆OBC (c.c.c).

Chứng minh tương tự ta có

∆OAB = ∆OBC = ∆COD = ∆DOE = ∆EOG = ∆GOA.

Suy ra $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COD}=\widehat{DOE}=\widehat{EOG}=\widehat{GOA}.$

Mà $\widehat{AOB}+\widehat{BOC}+\widehat{COD}+\widehat{DOE}+\widehat{EOG}+\widehat{GOA}=360°$

Do đó $6\widehat{AOB}=360°$

Suy ra $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COD}=\widehat{DOE}=\widehat{EOG}=\widehat{GOA}=\frac{360°}{6}=60°.$

Xét ∆OAB có OA = OB và $\widehat{AOB}=60°$ nên là tam giác đều.

Như vậy các tam giác BOC, COD, DOE, EOG, GOA cũng đều là tam giác đều.

Do đó AB = BC = CD = DE = EG = GA = OA = R = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ (cm).

Khi đó chu vi của hình lục giác đều ABCDEG là:

AB + BC + CD + DE + EG + GA = 6R = $6\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}=9\sqrt{2}\text{(cm).}$

⦁ Gọi H là trung điểm của AB.

Tam giác ABC đều có OH là đường trung tuyến nên cũng là đường cao của tam giác.

Xét ∆OAH vuông tại H, ta có:

OH = OA.sin$\widehat{OAH}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot \sin 60°=\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{6}}{4}\text{(cm).}$

Diện tích của tam giác đều OAB là:

$S_{OAB}=\frac{1}{2}\cdot OH\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot \frac{3\sqrt{6}}{4}\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{8}{\text{(cm}}^2\text{).}$

Diện tích của hình lục giác đều là: $S=6S_{OAB}=6\cdot \frac{9\sqrt{3}}{8}=\frac{27\sqrt{3}}{4}{\text{(cm}}^2\text{).}$