b) $y=x^4-2x^2-1$;
c) $y=\frac{2x-1}{3x+1}$;
d) $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=3x^2-6x+3=3{\left(x-1\right)}^2,y^{\prime }=0\iff x=1$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số $y=x^3-3x^2+3x-1$ đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };1\right)$ và $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số $y=x^3-3x^2+3x-1$ không có cực trị.

b) Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=4x^3-4x,y^{\prime }=0\iff 4x^3-4x=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\end{array}$

Bảng biến thiên:

 Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y=x^4-2x^2-1$ đồng biến trên khoảng $\left(-1;0\right)$ và $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số $y=x^4-2x^2-1$ nghịch biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ và $\left(0;1\right)$.

Hàm số $y=x^4-2x^2-1$ đạt cực đại tại $x=0$ và .

Hàm số $y=x^4-2x^2-1$ đạt cực tiểu tại $x=\pm 1$ và $y_{CT}=-2$.

c) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-\frac{1}{3}\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{2\left(3x+1\right)-3\left(2x-1\right)}{{\left(3x+1\right)}^2}=\frac{5}{{\left(3x+1\right)}^2}>0\mathrm{\forall }x\ne \frac{-1}{3}$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y=\frac{2x-1}{3x+1}$ đồng biến trên $\left(-\mathrm{\infty };\frac{-1}{3}\right)$ và $\left(\frac{-1}{3};+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số không có cực trị.

d) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-1\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{\left(2x+2\right)\left(x+1\right)-\left(x^2+2x+2\right)}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{x^2+2x}{{\left(x+1\right)}^2}$

$y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}$ (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$ đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-2\right)$ và $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$ nghịch biến trên khoảng $\left(-2;-1\right)$ và $\left(-1;0\right)$.

Hàm số $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$ đạt cực đại tại $x=-2$ và .

Hàm số $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$ đạt cực tiểu tại $x=0$ và $y_{CT}=2$.