Với lời giải Toán 8 trang 69 Tập 2 chi tiết trong Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác sách Cánh diều giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 8 Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 1 trang 69 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE, CF. Biết AB = 4, BC = 5, CA = 6. Tính BD, CE, AF.

Lời giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác cho tam giác ABC, ta có:

⦁ $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$ (do AD là đường phân giác của góc BAC)

Suy ra $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{BC}-\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$ hay $\frac{\mathrm{BD}}{5-\mathrm{BD}}=\frac{4}{6}$

Do đó 6BD = 4(5 – BD)

          6BD = 20 – 4BD

          6BD + 4BD = 20

          10BD = 20

          BD = 2.

⦁$\frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{EA}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BA}}$ (do BE là đường phân giác của góc ABC)

Suy ra $\frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{AC}-\mathrm{EC}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BA}}$ hay $\frac{\mathrm{CE}}{6-\mathrm{CE}}=\frac{5}{4}$

Do đó 4CE = 5(6 – CE)

          4CE = 30 – 5CE

          4CE + 5CE = 30

          9CE = 30

          $\mathrm{CE}=\frac{30}{9}=\frac{10}{3}$

⦁$\frac{\mathrm{FA}}{\mathrm{FB}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CB}}$ (do CF là đường phân giác của góc ACB)

Suy ra $\frac{\mathrm{FA}}{\mathrm{AB}-\mathrm{FA}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CB}}$ hay $\frac{\mathrm{AF}}{4-\mathrm{AF}}=\frac{6}{5}$

Do đó 5AF = 6(4 – AF)

          5AF = 24 – 6AF

          5AF + 6AF = 24

          11AF = 24

         $\mathrm{AF}=\frac{24}{11}.$

Bài 2 trang 69 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc ABC lần lượt cắt các đoạn thẳng AM, AC tại điểm D, E. Chứng minh $\frac{EC}{EA}=2\frac{DM}{DA}.$

Lời giải:

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:

⦁ $\frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{EA}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BA}}$ (do BE là đường phân giác của góc ABC trong ∆ABC);

⦁ $\frac{\mathrm{DM}}{\mathrm{DA}}=\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{BA}}$ (do BD là đường phân giác của góc ABM trong ∆ABM).

Mà BC = 2BM (do AM là đường trung tuyến của ∆ABC)

Suy ra $\frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{EA}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BA}}=2\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{BA}}=2\frac{\mathrm{DM}}{\mathrm{DA}}.$

Vậy $\frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{EA}}=2\frac{\mathrm{DM}}{\mathrm{DA}}.$

Bài 3 trang 69 Toán 8 Tập 2: Quan sát Hình 43 và chứng minh $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}:\frac{\mathrm{EB}}{\mathrm{EG}}=\frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{AC}}.$

Lời giải:

⦁ $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$ (do AD là đường phân giác của góc BAC trong ∆ABC);

⦁ $\frac{\mathrm{EB}}{\mathrm{EG}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AG}}$ (do AE là đường phân giác của góc BAG trong ∆ABG).

Suy ra: $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}:\frac{\mathrm{EB}}{\mathrm{EG}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}:\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AG}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\cdot \frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{AC}}$

Vậy $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}:\frac{\mathrm{EB}}{\mathrm{EG}}=\frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{AC}}.$

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:

Bài 4 trang 69 Toán 8 Tập 2: Cho hình thoi ABCD (Hình 44). Điểm M thuộc cạnh AB thoả mãn AB = 3AM. Hai đoạn thẳng AC và DM cắt nhau tại N. Chứng minh ND = 3MN.

Lời giải:

Do ABCD là hình thoi nên AD = AB và AC là đường phân giác của góc BAC.

Xét ∆AMD có AN là đường phân giác góc MAD nên $\frac{\mathrm{ND}}{\mathrm{NM}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AM}}$

Hay $\frac{\mathrm{ND}}{\mathrm{NM}}=\frac{\mathrm{AD}}{\frac{1}{3}\mathrm{AB}}$ (vì AB = 3AM)

Do đó $\frac{\mathrm{ND}}{\mathrm{NM}}=\frac{\mathrm{AB}}{\frac{1}{3}\mathrm{AB}}=3$

Vậy ND = 3MN

Bài 5 trang 69 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4, AD là đường phân giác. Tính:

a) Độ dài các đoạn thẳng BC, DB, DC;

b) Khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AC;

c) Độ dài đường phân giác AD.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25 = 5²

Suy ra BC = 5.

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có: $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$ (do AD là đường phân giác của góc BAC)

Suy ra $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{BC}-\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$ hay $\frac{\mathrm{DB}}{5-\mathrm{DB}}=\frac{3}{4}$

Do đó 4DB = 3(5 – DB)

          4DB = 15 – 3DB

          4DB + 3DB = 15

          7DB = 15

          $\mathrm{DB}=\frac{15}{7}$

Khi đó $\mathrm{DC}=\mathrm{BC}-\mathrm{DB}=5-\frac{15}{7}=\frac{20}{7}$

Vậy $\mathrm{BC}=5;\mathrm{DB}=\frac{15}{7};\mathrm{DC}=\frac{20}{7}.$

b) Kẻ DH ⊥ AC (H ∈ AC).

Suy ra DH // AB (cùng vuông góc với AC)

Áp dụng hệ quả của định lí Thalès trong tam giác ABC với DH // AB, ta có:

$\frac{\mathrm{DH}}{\mathrm{BA}}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{CB}}$ hay $\frac{\mathrm{DH}}{3}=\frac{\frac{20}{7}}{5}$

Suy ra $\mathrm{DH}=\frac{3\cdot \frac{20}{7}}{5}=\frac{12}{7}$

Vậy khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AC là $\mathrm{DH}=\frac{12}{7}.$

c) Xét tam giác ABC với DH // AB, ta có: $\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}$ (hệ quả của định lí Thalès)

Hay $\frac{\mathrm{AH}}{4}=\frac{\frac{15}{7}}{5},$ suy ra $\mathrm{AH}=\frac{4\cdot \frac{15}{7}}{5}=\frac{12}{7}$

Xét tam giác AHD vuông tại H, ta có: AD² = AH² + DH² (định lí Pythagore)

Suy ra ${\mathrm{AD}}^2={\left(\frac{12}{7}\right)}^2+{\left(\frac{12}{7}\right)}^2=\frac{288}{49}$

Do đó $\mathrm{AD}=\sqrt{\frac{288}{49}}=\sqrt{\frac{144\cdot 2}{49}}=\sqrt{{\left(\frac{12\sqrt{2}}{7}\right)}^2}=\frac{12\sqrt{2}}{7}$

Vậy độ dài đường phân giác AD là $\frac{12\sqrt{2}}{7}.$

Bài 6 trang 69 Toán 8 Tập 2: Cho tứ giác ABCD với các tia phân giác của các góc CAD và CBD cùng đi qua điểm E thuộc cạnh CD (Hình 45 . Chứng minh AD.BC = AC.BD.

Lời giải:

Theo tính chất đường phân giác trong hai tam giác ACD và BCD, ta có:

⦁ $\frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AD}}$ (do AE là đường phân giác của góc CAD);

⦁ $\frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BD}}$ (do BE là đường phân giác của góc CBD).

Suy ra $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BD}}$

Vậy AD.BC = AC.BD.