Với lời giải Toán 8 trang 76 Tập 2 chi tiết trong Bài 3: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 8 Bài 3: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

Bài 2 trang 76 Toán 8 Tập 2: Quan sát hình 9

a) Chứng minh rằng ΔDEF ᔕ ΔHDF.

b) Chứng minh DF² = FH.FE.

c) Biết EF = 15 cm, FH = 5,4 cm. Tính độ dài đoạn thẳng DF.

Lời giải:

a) Xét tam giác vuông DEF và HDE có: $\hat{\mathrm{E}}$ chung

Vậy ΔDEF ᔕ ΔHDF (g.g).

b) Từ câu b: ΔDEF ᔕ ΔHDF suy ra $\frac{\mathrm{DF}}{\mathrm{FH}}=\frac{\mathrm{FE}}{\mathrm{DF}}$ (các cạnh tương ứng).

Do đó DF² = FH.FE (đpcm).

c) Thay EF = 15 cm, FH = 5,4 cm ta có: 

DF² = 5,4.15 = 81 suy ra DF = 9 cm.

Bài 3 trang 76 Toán 8 Tập 2: Trong Hình 10, biết MB = 20m, MF = 2m, EF = 1,65 m. Tính chiều cao AB của ngọn tháp.

Lời giải:

Xét ta giác vuông MEF và MAB ta có: $\hat{\mathrm{M}}$ chung

Suy ra ΔMEF ᔕ ΔMAB (g.g) nên $\frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{MF}}{\mathrm{MB}}$ (các cạnh tương ứng).

Khi đó $\frac{1,65}{\mathrm{AB}}=\frac{2}{20}$  suy ra $\mathrm{AB}=\frac{1,65.20}{2}=16,5$  (cm).

Vậy AB = 16,5 (cm).

Bài 4 trang 76 Toán 8 Tập 2: Trong Hình 11, cho biết  $\hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{C}}$, BE = 25 cm, AB = 20 cm, DC = 15 cm. Tính độ dài đoạn thẳng CE.

Lời giải:

Xét tam giác vuông ABE và ACD có $\hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{C}}$

Suy ra ΔABE ᔕ ΔACD (g.g) nên $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{CD}}$ (các cạnh tương ứng).

Khi đó $\frac{20}{\mathrm{AC}}=\frac{25}{15}$ nên $\mathrm{AC}=\frac{20.15}{25}=12$(cm)

Vậy AC = 12 cm.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABE, ta có: 

BE² = AB² + AE²

Suy ra $AE=\sqrt{B{E}^2-A{B}^2}=\sqrt{{25}^2-{20}^2}=15$ .

Do đó CE = AE – AC = 15 – 12 = 3 (cm).

Vậy CE = 3 cm.

Bài 5 trang 76 Toán 8 Tập 2: Quan sát Hình 12. Chứng minh rằng:

a) ΔABH ᔕ ΔDCB.

b) $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BE}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BA}}$.

Lời giải:

a) Ta có BH ⊥ AE, CJ ⊥ AE nên BH // CJ.

Suy ra $\widehat{\mathrm{ABH}}=\widehat{\mathrm{BCD}}$ (hai góc so le trong)

Xét hai tam giác vuông ABH và DCB có: 

$\widehat{\mathrm{ABH}}=\widehat{\mathrm{BCD}}$ (chứng minh trên).

Suy ra ΔABH ᔕ ΔDCB (g.g).

b) ΔABH ᔕ ΔDCB nên $\hat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{BDC}}$.

Xét tam giác vuông DCB và AEB ta có: $\hat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{BDC}}$ .

Suy ra ΔDCB ᔕ ΔAEB (g.g) nên $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BE}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BA}}$ (đpcm).

Bài 6 trang 76 Toán 8 Tập 2: Một người đo chiều cao của một tòa nhà nhờ một cọc chôn xuống đất, cọc cao 3 m và đặt cách xa tòa nhà 27 m. Sau khi người ấy lùi ra xa cách cọc 1,2 m thì nhìn thấy đầu cọc và đỉnh tòa nhà cùng nằm trên một đường thẳng. Hỏi tòa nhà cao bao nhiêu mét, biết rằng khoảng cách từ chân đến mắt người ấy là 1,5 m.

Lời giải:

Gọi chiều cao của tòa nhà là h = A'C' và cọc tiêu AC = 3 m.

Khoảng cách từ chân đến mắt người đo là DE = 1,5 m.

Cọc xa cây một khoảng A'A = 27 m, và người cách cọc một khoảng AD = 1,2 m và gọi B là giao điểm của C'E và A'A.

Vì A'C' ⊥ A'B, AC ⊥ A'B, DE ⊥ A'B nên A'C' // AC // DE.

• ΔDEB ᔕ ΔACB (vì DE // AC)

Suy ra $\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{AB}}$ (các cặp cạnh tương ứng).

Mà AC = 3 m; DE = 1,5 m nên 

$\frac{1,5}{3}=\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{AB}}\Rightarrow \frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{AB}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{\mathrm{DB}}{1}=\frac{\mathrm{AB}}{2}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{\mathrm{DB}}{1}=\frac{\mathrm{AB}}{2}=\frac{\mathrm{AB}-\mathrm{DB}}{2-1}=\frac{\mathrm{AD}}{1}=1,2$

Suy ra $\frac{\mathrm{DB}}{1}=1,2$ nên DB = 1,2

$\frac{\mathrm{AB}}{2}=1,2$ suy ra AB = 2,4

Do đó A'B = A'A + AD + DB = 27 + 1,2 + 1,2 = 29,4 (m)

• ΔACB ᔕ ΔA'C'B (vì AC // A'C')

Suy ra $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}$ (các cặp cạnh tương ứng).

Do đó $\mathrm{A}\text{'}\mathrm{C}\text{'}=\frac{\mathrm{AC}.\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}}{\mathrm{AB}}=\frac{2.29,4}{2,4}=24,5$ (m)

Vậy tòa nhà cao 24,5 m.

Bài 7 trang 76 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Kẻ HM vuông góc với AB tại M.

a) Chứng minh rằng ΔAMH ᔕ ΔAHB.

b) Kẻ HN vuông góc với AC tại N. Chứng minh rằng AM.AB = AN.AC.

c) Chứng minh rằng ΔANM ᔕ ΔABC.

d) Cho biết AB = 9 cm, AC = 12 cm. Tính diện tích tam giác AMH.

Lời giải:

a) Xét hai tam giác vuông AMH và AHB có:  $\hat{\mathrm{A}}$ chung

Suy ra ΔAMH ᔕ ΔAHB (g.g)

b) ΔAMH ᔕ ΔAHB nên $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AH}}=\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AB}}$ hay AM.AB = AH² (1)

Xét hai tam giác vuông ANH và AHC có: $\hat{\mathrm{A}}$  chung

Suy ra ΔANH ᔕ ΔAHC (g.g) nên $\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AH}}=\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AC}}$  hay AN.AC = AH² (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM.AB = AN.AC (đpcm).

c) Ta có AM.AB = AN.AC, do đó  $\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AC}}$.

Xét hai tam giác vuông AMN và ABC có:

$\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AC}}$ (chứng minh trên)

Do đó ΔANM ᔕ ΔABC (c.g.c)

d) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta có: 

BC² = AB² + AC² = 9² + 12² = 225.

Suy ra BC = 15 cm.

Xét hai tam giác vuông ABC và HBA có $\hat{\mathrm{B}}$ chung

Do đó ΔABC ᔕ ΔHBA (g.g).

Suy ra $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AH}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}$ (các cặp cạnh tương ứng).

Khi đó AH.BC = AB.AC hay AH.15 = 9.12.

Suy ra AH = 7,2 cm.

• Từ (1): AM.AB = AH² nên $\mathrm{AM}=\frac{{\mathrm{AH}}^2}{\mathrm{AB}}=\frac{7,2^2}{9}=5,76\left(\mathrm{cm}\right)$

• Từ (2): AN.AC = AH² nên $\mathrm{AN}=\frac{{\mathrm{AH}}^2}{\mathrm{AC}}=\frac{7,2^2}{12}=4,32\left(\mathrm{cm}\right)$

Diện tích tam giác AMN là: 

$\frac{1}{2}.5,76.4,32=12,4416\left({\mathrm{cm}}^2\right)$.

Vậy diện tích tam giác AMN là 12,4416 cm².