Với lời giải Toán 11 trang 51 Tập 2 chi tiết trong Bài tập cuối chương 7 trang 51 sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 7 trang 51

Bài 1 trang 51 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số y = x³ – 3x². Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm M(−1; −4) có hệ số góc bằng

A. -3

B. 9

C. -9

D. 72

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có y' = (x³ – 3x²)' = 3x² – 6x.

Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm M(−1; −4) có hệ số góc là:

k = y'(−1) = 3*(−1)2 – 6*(−1) = 9.

Vậy k = 9 là hệ số góc cần tìm.

Bài 2 trang 51 Toán 11 Tập 2: Hàm số y = −x² + x + 7 có đạo hàm tại x = 1 bằng

A. -1

B. 7

C. 1

D. 6

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Có y' = (−x² + x + 7)' = −2x + 1.

Khi đó y'(1) = −2*1 + 1 = −1.

Vậy đạo hàm của hàm số y = −x² + x + 7 tại x = 1 là −1.

Bài 3 trang 51 Toán 11 Tập 2: Cho hai hàm số f(x) = 2x³ – x² + 3 và $g\left(x\right)=x^3+\frac{x^2}{2}-5$. Bất phương trình f'(x) > g'(x) có tập nghiệm là

A. (−$\infty$; 0] $\cup$ [1; +$\infty$).

B. (0; 1).

C. [0; 1].

D. (−$\infty$; 0) $\cup$ (1; +$\infty$).

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Có f'(x) = (2x³ – x² + 3)' = 6x² – 2x.

$g^{\text{'}}\left(x\right)={\left(x^3+\frac{x^2}{2}-5\right)}^{\text{'}}$= 3x² + x.

Để f'(x) > g'(x) thì 6x² – 2x > 3x² + x

$\iff$ 3x² – 3x > 0 $\iff$ 3x(x – 1) > 0

$\iff$ x < 0 hoặc x > 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: (−$\infty$; 0) $\cup$ (1; +$\infty$).

Bài 4 trang 51 Toán 11 Tập 2: Hàm số $y=\frac{x+3}{x+2}$ có đạo hàm là

A. $y^{\text{'}}=\frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}$.

B. $y^{\text{'}}=\frac{5}{{\left(x+2\right)}^2}$.

C. $y^{\text{'}}=\frac{-1}{{\left(x+2\right)}^2}$.

D. $y^{\text{'}}=\frac{-5}{{\left(x+2\right)}^2}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

$y^{\text{'}}={\left(\frac{x+3}{x+2}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{{\left(x+3\right)}^{\text{'}}\left(x+2\right)-\left(x+3\right){\left(x+2\right)}^{\text{'}}}{{\left(x+2\right)}^2}$

$=\frac{x+2-\left(x+3\right)}{{\left(x+2\right)}^2}$$=\frac{-1}{{\left(x+2\right)}^2}$.

Bài 5 trang 51 Toán 11 Tập 2: Hàm số $y=\frac{1}{x+1}$ có đạo hàm cấp hai tại x = 1 là

A. $y^{\text{'}\text{'}}\left(1\right)=\frac{1}{2}$.

B. $y^{\text{'}\text{'}}\left(1\right)=-\frac{1}{4}$.

C. $y^{\text{'}\text{'}}\left(1\right)=4$.

D. $y^{\text{'}\text{'}}\left(1\right)=\frac{1}{4}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Có $y^{\text{'}}={\left(\frac{1}{x+1}\right)}^{\text{'}}$$=-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}$; $y^{\text{'}\text{'}}={\left(-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{2}{{\left(x+1\right)}^3}$.

Khi đó $y^{\text{'}\text{'}}\left(1\right)=\frac{2}{{\left(1+1\right)}^3}=\frac{1}{4}$.

Tự luận

Bài 6 trang 51 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = x² – 2x + 3 có đồ thị (C) và điểm M(−1; 6) $\in$ (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M.

Lời giải:

Có f'(x) = (x² – 2x + 3)' = 2x – 2.

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M có hệ số góc k = f'(−1) = 2×(−1) – 2 = −4.

Do đó phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M là:

y = −4(x + 1) + 6 = −4x + 2.

Vậy y = −4x + 2 là tiếp tuyến cần tìm.

Bài 7 trang 51 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = 3x⁴ – 7x³ + 3x² + 1;

b) y = (x² – x)³;

c) $y=\frac{4x-1}{2x+1}$.

Lời giải:

a) y' = (3x⁴ – 7x³ + 3x² + 1)' = 12x³ – 21x² + 6x.

b) y' = [(x² – x)³]' = 3(x² – x)²×(x² – x)' = 3(x² – x)²×(2x – 1).

c) $y^{\text{'}}={\left(\frac{4x-1}{2x+1}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{{\left(4x-1\right)}^{\text{'}}\left(2x+1\right)-\left(4x-1\right){\left(2x+1\right)}^{\text{'}}}{{\left(2x+1\right)}^2}$

$=\frac{4\left(2x+1\right)-2\left(4x-1\right)}{{\left(2x+1\right)}^2}$$=\frac{8x+4-8x+2}{{\left(2x+1\right)}^2}$$=\frac{6}{{\left(2x+1\right)}^2}$.

Bài 8 trang 51 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (x² + 3x – 1)e^x;

b) y = x³log₂x.

Lời giải:

a) y' = [(x² + 3x – 1)e^x]' = (x² + 3x – 1)'e^x + (x² + 3x – 1)(e^x)'

= (2x + 3)e^x + (x² + 3x – 1)e^x = (x² + 5x + 2)e^x.

b) y' = (x³log₂x)' = (x³)'log₂x + x³(log₂x)'

= 3x²log₂x + $\frac{x^3}{x\ln 2}$ $=3x^2{\log }_{2}x+\frac{x^2}{\ln 2}$.

Bài 9 trang 51 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = tan(e^x + 1);

b) $y=\sqrt{\sin 3x}$;

c) y = cot(1 – 2^x).

Lời giải:

a) y' = [tan(e^x + 1)]' = $\frac{{\left(e^x+1\right)}^{\text{'}}}{{\text{cos}}^2\left(e^x+1\right)}$$=\frac{e^x}{{\text{cos}}^2\left(e^x+1\right)}$.

b) $y^{\text{'}}={\left(\sqrt{\sin 3x}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{{\left(\sin 3x\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{\sin 3x}}$

$=\frac{\cos 3x\cdot {\left(3x\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{\sin 3x}}$$=\frac{3\cos 3x}{2\sqrt{\sin 3x}}$.

c) y' = [cot(1 – 2^x)]' = $-\frac{{\left(1-2^x\right)}^{\text{'}}}{{\sin }^2\left(1-2^x\right)}$

$=-\frac{-2^x\ln 2}{{\sin }^2\left(1-2^x\right)}$$=\frac{2^x\ln 2}{{\sin }^2\left(1-2^x\right)}$.

Bài 10 trang 51 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = x³ – 4x² + 2x – 3;

b) y = x²e^x.

Lời giải:

a) y' = (x³ – 4x² + 2x – 3)' = 3x² – 8x + 2.

y" = (3x² – 8x + 2)' = 6x – 8.

Vậy y" = 6x – 8.

b) y' = (x²e^x)' = (x²)'×e^x + x²(e^x)' = 2xe^x + x²e^x = (2x + x²)e^x.

y" = [(2x + x²)e^x]' = (2x + x²)'e^x + (2x + x²)(e^x)'

= (2x + 2)e^x + (2x + x²)e^x = (x² + 4x + 2)e^x.

Vậy y" = (x² + 4x + 2)e^x.

Bài 11 trang 51 Toán 11 Tập 2: Một viên sỏi rơi từ độ cao 44,1 m thì quãng đường rơi được biểu diễn bởi công thức s(t) = 4,9t², trong đó t là thời gian tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính:

a) Vận tốc rơi của viên sỏi lúc t = 2;

b) Vận tốc của viên sỏi khi chạm đất.

Lời giải:

a) Vận tốc rơi của viên sỏi tại thời điểm t là v(t) = s'(t) = (4,9t²)' = 9,8t.

Vận tốc rơi của viên sỏi lúc t = 2 là v(2) = 9,8×2 = 19,6 (m/s).

Vậy vận tốc rơi của viên sỏi lúc t = 2 là 19,6 m/s.

b) Viên sỏi chạm đất khi 4,9t² = 44,1 $\iff$ t² = 9 $\iff$ t = 3 (vì t > 0).

Vận tốc của viên sỏi khi chạm đất là v(3) = 9,8×3 = 29,4 (m/s).

Vậy vận tốc của viên sỏi khi chạm đất là 29,4 m/s.

Bài 12 trang 51 Toán 11 Tập 2: Một vật chuyển động trên đường thẳng được xác định bởi công thức s(t) = 2t³ + 4t + 1, trong đó t là thời gian tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính vận tốc và gia tốc của vật khi t = 1.

Lời giải:

Ta có v(t) = s'(t) = (2t³ + 4t + 1)' = 6t² + 4.

a(t) = v'(t) = (6t² + 4)' = 12t.

Vận tốc của vật khi t = 1 là: v(1) = 6×1² + 4 = 10 (m/s).

Gia tốc của vật khi t = 1 là: a(1) = 12×1 = 12 (m/s²).

Vậy vận tốc và gia tốc của vật khi t = 1 lần lượt là 10 m/s và 12 m/s².