Với lời giải Toán 11 trang 86 Tập 2 chi tiết trong Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Bài 9.1 trang 86 Toán 11 Tập 2: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x² – x tại x₀ = 1;

b) y = –x³ tại x₀ = –1.

Lời giải:

a)

Ta có: f'(1) = $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-x}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x\left(x-1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }x=1$ .

Vậy f'(1) = 1.

b)

Ta có:

f'(–1) = $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f(-1)}{x-(-1)}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{-x^3-1}{x+1}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{-\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}{x+1}$

= $=\underset{x\to -1}{\lim }$[-(x²-x+1)] = -3

Vậy f'(–1) = – 3.

Bài 9.2 trang 86 Toán 11 Tập 2: Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = kx² + c (với k, c là các hằng số);

b) y = x³.

Lời giải:

a) Đặt y = f(x) = kx² + c.

Với x₀ bất kì, ta có:

f'(x₀) = $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{k{x}^2+c-(k{x_0}^2+c)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{k(x^2-{x_0}^2)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{k(x-x_0)(x+x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }$[k(x+x₀)] = 2kx₀.

Vậy hàm số y = kx² + c có đạo hàm là hàm số y' = 2kx.

b) Đặt y = f(x) = x³.

Với x₀ bất kì, ta có:

f'(x₀) = $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x^3-{x_0}^3}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{(x-x_0)(x^2+x{x}_0+{x_0}^2)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }(x^2+x{x}_0+{x_0}^2)=3{x_0}^2$

Vậy hàm số y = x³ có đạo hàm là hàm số y' = 3x².

Bài 9.3 trang 86 Toán 11 Tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của parabol y = –x² + 4x, biết:

a) Tiếp điểm có hoành độ x₀ = 1;

b) Tiếp điểm có tung độ y₀ = 0.

Lời giải:

Đặt y = f(x) = – x² + 4x.

Với x₀ bất kì, ta có:

f'(x₀) = $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{-x^2+4x+{x_0}^2-4x_0}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{-\left(x^2-{x_0}^2\right)+4\left(x-x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(x-x_0\right)\left(-x-x_0+4\right)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }(-x-x_0+4)=-2x_0+4$.

Vậy hàm số y = –x² + 4x có đạo hàm là hàm số y' = –2x + 4.

a)

Ta có: y'(1) = –2.1 + 4 = 2.

Ngoài ra, f(1) = 3 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y – 3 = 2(x – 1) hay y = 2x + 1.

b)

Ta có: y₀ = 0 nên –x₀² + 4x₀ = 0 ⇔ .

+) Với x₀ = 0, y₀ = 0, ta có y'(0) = 4, do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 4x.

+) Với x₀ = 4, y₀ = 0, ta có y'(4) = –4 do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y = –4(x – 4) hay y = –4x + 16.

Bài 9.4 trang 86 Toán 11 Tập 2: Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 19,6 m/s thì độ cao h của nó (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi công thức h = 19,6t – 4,9t². Tìm vận tốc của vật khi nó chạm đất.

Lời giải:

+ Đặt h = f(t) = 19,6t – 4,9t².

Với x₀ bất kì, ta có:

$f\text{'}\left(t_0\right)=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{f\left(t\right)-f\left(t_0\right)}{t-t_0}=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{19,6t-4,9t^2-19,6t_0+4,9{t_0}^2}{t-t_0}$

$=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{-4,9\left(t^2-{t_0}^2\right)+19,6\left(t-t_0\right)}{t-t_0}=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{\left(t-t_0\right)\left(-4,9t-4,9t_0+19,6\right)}{t-t_0}$

$=\underset{t\to t_0}{\lim }\left(-4,9t-4,9t_0+19,6\right)=-9,8t_0+19,6$.

Vậy hàm số h = 19,6t – 4,9t² có đạo hàm là hàm số h' = –9,8t₀ + 19,6.

+ Khi vật chạm đất thì h = 0, tức là 19,6t – 4,9t² = 0 ⇔  .

Khi t = 4, vận tốc của vật khi nó chạm đất là v(4) = h'(4) = –9,8.4 + 19,6 = –19,6 (m/s).

Bài 9.5 trang 86 Toán 11 Tập 2: Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol (H.9.6a), đoạn dốc lên L₁ và đoạn dốc xuống L₂ là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là 0,5 và –0,75. Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, L₁ và L₂ phải là những tiếp tuyến của cung parabol tại các điểm chuyển tiếp P và Q (H.9.6b). Giả sử gốc tọa độ đặt tại P và phương trình của parabol là y = ax² + bx + c, trong đó x tính bằng mét.

a) Tìm c.

b) Tính y'(0) và tìm b.

c) Giả sử khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40 m. Tìm a.

d) Tìm chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q.

Lời giải:

a)

Vì gốc tọa độ đặt tại P nên P(0; 0) do đó ta có: c = y(0) = 0.

b)

Ta tính được: y' = 2ax + b.

Suy ra: y'(0) = b.

Mà L₁ là phương trình tiếp tuyến tại P có hệ số góc 0,5 nên y'(0) = 0,5 ⇒ b = 0,5.

c)
L₂ là phương trình tiếp tuyến tại Q có hệ số góc –0,75 nên

y'(x_Q) = 2ax_Q + 0,5 = –0,75.

Vì khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40 m nên x_Q – x_P = x_Q = 40.

⇒ 2a . 40 + 0,5 = –0,75 ⇒ a = $\frac{-1}{64}$ .

Khi đó phương trình parabol là $y=-\frac{1}{64}{x}^2+\frac{1}{2}x$ .

d)

Ta có: $y_Q=\frac{-1}{64}{.40}^2+\frac{1}{2}.40=-5$.

Vậy chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q là: |y_P – y_Q| = 5.