Với lời giải Toán 11 trang 9 Tập 2 chi tiết trong Bài 18: Lũy thừa với số mũ thực sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 18: Lũy thừa với số mũ thực

Bài 6.1 trang 9 Toán 11 Tập 2: Tính:

a) ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{-2}$;

b) $4^{\frac{3}{2}}$;

c) ${\left(\frac{1}{8}\right)}^{-\frac{2}{3}}$;

d) ${\left(\frac{1}{16}\right)}^{-0,75}$.

Lời giải:

a) ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{-2}=5^2=25$.

b) $4^{\frac{3}{2}}=\sqrt{4^3}=\sqrt{64}=8$.

c) ${\left(\frac{1}{8}\right)}^{-\frac{2}{3}}=8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{{\left(2^3\right)}^2}=\sqrt[3]{{\left(2^2\right)}^3}=2^2=4$.

d) ${\left(\frac{1}{16}\right)}^{-0,75}={16}^{0,75}={16}^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{{16}^3}=\sqrt[4]{{\left(2^4\right)}^3}=\sqrt[4]{{\left(2^3\right)}^4}=2^3=8$.

Bài 6.2 trang 9 Toán 11 Tập 2: Thực hiện phép tính:

a) ${27}^{\frac{2}{3}}+{81}^{-0,75}-{25}^{0,5}$;

b) $4^{2-3\sqrt{7}}\cdot 8^{2\sqrt{7}}$.

Lời giải:

a) ${27}^{\frac{2}{3}}+{81}^{-0,75}-{25}^{0,5}$

$={\left(3^3\right)}^{\frac{2}{3}}+{\left(3^4\right)}^{-\frac{3}{4}}-{\left(5^2\right)}^{\frac{1}{2}}$

= 3² + 3^{– 3} – 5

= 9 + $\frac{1}{27}$ – 5

= $\frac{109}{27}$.

b) $4^{2-3\sqrt{7}}\cdot 8^{2\sqrt{7}}$

$={\left(2^2\right)}^{2-3\sqrt{7}}\cdot {\left(2^3\right)}^{2\sqrt{7}}$

$=2^{4-6\sqrt{7}}\cdot 2^{6\sqrt{7}}$

$=2^{4-6\sqrt{7}+6\sqrt{7}}=2^4=16$.

Bài 6.3 trang 9 Toán 11 Tập 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A=\frac{x^5{y}^{-2}}{x^{3}y}\left(x,y\ne 0\right)$;

b) $B=\frac{x^2{y}^{-3}}{{\left(x^{-1}{y}^4\right)}^{-3}}\left(x,y\ne 0\right)$.

Lời giải:

a) $A=\frac{x^5{y}^{-2}}{x^{3}y}=\frac{x^{5-3}}{y^{1+2}}=\frac{x^2}{y^3}$.

b) $B=\frac{x^2{y}^{-3}}{{\left(x^{-1}{y}^4\right)}^{-3}}=\frac{x^2{y}^{-3}}{{\left(x^{-1}\right)}^{-3}{\left(y^4\right)}^{-3}}=\frac{x^2{y}^{-3}}{x^3{y}^{-12}}$$=x^{2-3}{y}^{-3-\left(-12\right)}=x^{-1}{y}^9=\frac{y^9}{x}$.

Bài 6.4 trang 9 Toán 11 Tập 2: Cho x, y là các số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A=\frac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt{y}+y^{\frac{1}{3}}\sqrt{x}}{\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y}}$;

b) $B={\left(\frac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}}\right)}^{\sqrt{3}+1}\cdot \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$.

Lời giải:

a) $A=\frac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt{y}+y^{\frac{1}{3}}\sqrt{x}}{\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y}}$$=\frac{x^{\frac{1}{3}}{y}^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{3}}{x}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{6}}+y^{\frac{1}{6}}}=\frac{x^{\frac{1}{3}}{y}^{\frac{1}{3}}\left(x^{\frac{1}{6}}+y^{\frac{1}{6}}\right)}{x^{\frac{1}{6}}+y^{\frac{1}{6}}}=x^{\frac{1}{3}}{y}^{\frac{1}{3}}$.

b) $B={\left(\frac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}}\right)}^{\sqrt{3}+1}\cdot \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$$=\frac{x^{\sqrt{3}\cdot \left(\sqrt{3}+1\right)}}{y^{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}}\cdot \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}=\frac{x^{3+\sqrt{3}}}{y^2}\cdot \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$

$=\frac{x^{3+\sqrt{3}-\sqrt{3}-1}}{y^{2+\left(-2\right)}}=\frac{x^2}{y^0}=x^2$.

Bài 6.5 trang 9 Toán 11 Tập 2: Chứng minh rằng:

$\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}=2$.

Lời giải:

Ta có $\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{1+2\sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}-\sqrt{1-2\sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}$

$=\sqrt{{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}-\sqrt{{\left(1-\sqrt{3}\right)}^2}$$=\left(1+\sqrt{3}\right)+\left(1-\sqrt{3}\right)=2$ (do $1-\sqrt{3}<0$).

Bài 6.6 trang 9 Toán 11 Tập 2: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh:

a) $5^{6\sqrt{3}}$ và $5^{3\sqrt{6}}$;

b) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-\frac{4}{3}}$ và $\sqrt{2}\cdot 2^{\frac{2}{3}}$.

Lời giải:

a) Ta có $6\sqrt{3}=\sqrt{36}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{36\cdot 3}=\sqrt{108}$ và $3\sqrt{6}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{9\cdot 6}=\sqrt{54}$.

Vì 108 > 54 > 0 nên $\sqrt{108}>\sqrt{54}$ hay $6\sqrt{3}>3\sqrt{6}$.

Lại có 5 > 1 nên $5^{6\sqrt{3}}$ > $5^{3\sqrt{6}}$.

b) Ta có ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-\frac{4}{3}}=2^{\frac{4}{3}}$ và $\sqrt{2}\cdot 2^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}=2^{\frac{7}{6}}$.

Do 2 > 1 và $\frac{4}{3}=\frac{8}{6}>\frac{7}{6}$ nên $2^{\frac{4}{3}}>2^{\frac{7}{6}}$, tức là ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-\frac{4}{3}}$ > $\sqrt{2}\cdot 2^{\frac{2}{3}}$.

Bài 6.7 trang 9 Toán 11 Tập 2: Nếu một khoản tiền gốc P được gửi ngân hàng với lãi suất hằng năm r (được biểu thị dưới dạng số thập phân), được tính lãi n lần trong một năm, thì tổng số tiền A nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau N kì gửi cho bởi công thức sau:

Hỏi nếu bác An gửi tiết kiệm số tiền 120 triệu đồng theo kì hạn 6 tháng với lãi suất không đổi là 5% một năm, thì số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác An sau 2 năm là bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có P = 120, r = 5% = 0,05.

Do bác An gửi tiết kiệm với kì hạn 6 tháng nên được tính lãi 2 lần trong một năm, tức là n = 2. Sau 2 năm thì ta được 4 lần tính lãi nên N = 4.

Vậy số tiền bác An thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 2 năm là

$120\cdot {\left(1+\frac{0,05}{2}\right)}^4\approx 132,46$ (triệu đồng).

Bài 6.8 trang 9 Toán 11 Tập 2: Năm 2021, dân số của một quốc gia ở châu Á là 19 triệu người. Người ta ước tính rằng dân số của quốc gia này sẽ tăng gấp đôi sau 30 năm nữa. Khi đó dân số A (triệu người) của quốc gia đó sau t năm kể từ năm 2021 được ước tính bằng công thức $A=19\cdot 2^{\frac{t}{30}}$>. Hỏi với tốc độ tăng dân số như vậy thì sau 20 năm nữa dân số của quốc gia này sẽ là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng triệu).

Lời giải:

Thay t = 20 vào công thức $A=19\cdot 2^{\frac{t}{30}}$ ta được

$A=19\cdot 2^{\frac{20}{30}}\approx 30$ (triệu người).

Vậy sau 20 năm nữa kể từ năm 2021, dân số của quốc gia đó là khoảng 30 triệu người.