Cho Sn = 1 + 2 + 2^2 +... + 2^n và Tn = 2^(n + 1)

Cho Sn = 1 + 2 + 2^2 +... + 2^n và Tn = 2^(n + 1) – 1, với n ∈ ℕ*

Huyen Luong Ngày: 05-09-2022 Lớp 10

1.3 K

Với giải Bài 1 trang 29 Chuyên đề Toán 10 Cánh diều chi tiết trong Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 1 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Cho S_n = 1 + 2 + 2² +... + 2ⁿ và T_n = 2^{n + 1} – 1, với n ∈ ℕ^*.

a) So sánh S₁ và T₁; S₂ và T₂; S₃ và T₃.

b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải:

a) S₁ = 1 + 2¹ = 3, S₂ = 1 + 2 + 2² = 7, S₃ = 1 + 2 + 2² + 2³ = 15.

T₁ = 2^{1 + 1} – 1 = 3, T₂ = 2^{2 + 1} – 1 = 7, T₃ = 2^{3 + 1} – 1 = 15.

Vậy S₁ = T₁; S₂ = T₂; S₃ = T₃.

b) Ta dự đoán S_n = T_n với n ∈ ℕ^*.

+) Khi n = 1, ta có: S₁ = T₁.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: S_{k + 1} = T_{k + 1}.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: S_k = T_k.

Khi đó:

S_{k + 1} = 1 + 2 + 2² +... + 2^k + 2^{k + 1}

= S_k + 2^{k + 1}

= T_k + 2^{k + 1}

= (2^{k + 1} – 1) + 2^{k + 1}

= 2 . 2^{k + 1} – 1

= 2^{k + 2} – 1

= 2^{(k + 1) + 1} – 1

=T_{k + 1}.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ^*. Vậy S_n = T_n = 2ⁿ^{+ 1} – 1 với n ∈ ℕ^*.

Xem thêm các bài giải Chuyên đề Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Hoạt động trang 23 Chuyên đề Toán 10: Xét mệnh đề chứa biến P(n) : "1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n²" với n là số nguyên dương....

Luyện tập 1 trang 25 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ^* ta có:...

Luyện tập 2 trang 26 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh với mọi n ∈ ℕ^*,, lần lượt viết được ở dạng , trong đó a_n, b_n là các số nguyên dương....

Luyện tập 3 trang 26 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh 16ⁿ – 15n – 1 chia hết cho 225 với mọi n ∈ ℕ^*....

Bài 2 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Cho và , với n ∈ ℕ^*....

Bài 3 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Cho , với n ∈ ℕ^*....

Bài 4 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: 1 + q + q² +... + q^{n – 1} = với n ∈ ℕ^*....

Bài 5 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh với mọi n ∈ ℕ^*, ta có:...

Bài 6 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh nⁿ > (n + 1)^{n – 1} với n ∈ ℕ^*, n ≥ 2....

Bài 7 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh aⁿ – bⁿ = (a – b)(aⁿ^{– 1} + aⁿ^{– 2}b + ... + ab^{n –2} + b^{n – 1}) với n ∈ ℕ^*....