Chuyên đề Toán 10 Bài 2: Nhị thức newton | Cánh diều

2.2 K

Tailieumoi.vn giới thiệu giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài 2: Nhị thức newton hay, chi tiết sách Cánh diều giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề học tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài 2: Nhị thức newton

I. Công thức nhị thức newton

Hoạt động 1 trang 31 Chuyên đề Toán 10: a) Chọn số thích hợp cho ? trong khai triển biểu thức sau:

(a+b)3=C3?a3?+C3?a3?b1+C3?a3?b2+C3?a3?b3.

Từ đó nêu dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức (a + b)3.

b) Xét biểu thức (a + b)n.

Nêu dự đoán về dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức (a + b)n.

Lời giải:

a) (a+b)3=C30a30+C31a31b1+C32a32b2+C33a33b3.

Mỗi số hạng trong khai triển biểu thức (a + b)3 đều có dạng C3ka3kbk.

b) Cũng như thế, mỗi số hạng trong khai triển biểu thức (a + b)n đều có dạng Cnkankbk.

Luyện tập 1 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Khai triển biểu thức (x + 2)7.

Lời giải:

Luyện tập 1 trang 32 Chuyên đề Toán 10 (ảnh 1)

Luyện tập 2 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Cho n ∈ ℕ*. Chứng minh Cn0+Cn1+Cn2++Cnn1+Cnn=2n.

Lời giải:

Ta có:

Luyện tập 2 trang 32 Chuyên đề Toán 10 (ảnh 1)

Cho x = 1, ta được:

Luyện tập 2 trang 32 Chuyên đề Toán 10 (ảnh 1)

II. Tam giác pascal

Hoạt động 2 trang 33 Chuyên đề Toán 10: Ta đã biết:

Hoạt động 2 trang 33 Chuyên đề Toán 10 (ảnh 1)

Ta sắp xểp những hệ số tổ hợp ở trên như sau:

Hoạt động 2 trang 33 Chuyên đề Toán 10 (ảnh 1)

Nêu phép toán để từ hai số hạng của dòng trên suy ra được số hạng tương ứng (thể hiện ở mũi tên ↓) ở dòng dưới trong bảng các hệ số nói trên.

Lời giải:

Tổng của hai số hạng của dòng trên bằng số hạng tương ứng ở dòng dưới.

Luyện tập 3 trang 34 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng tam giác Pascal để khai triển:

a) (x + y)7;

b) (x – 2)7.

Lời giải:

Tam giác Pascal ứng với n ≤ 7 là:

Luyện tập 3 trang 34 Chuyên đề Toán 10 (ảnh 1)

Vậy:

Luyện tập 3 trang 34 Chuyên đề Toán 10 (ảnh 1)

III. Hệ số trong khai triển nhị thức newton

Hoạt động 3 trang 35 Chuyên đề Toán 10: Xét dãy các hệ số trong khai triển nhị thức (a + b)4 ( Hình 7a) và nhị thức (a + b)5 (Hình 7b) sau:

Hoạt động 3 trang 35 Chuyên đề Toán 10 (ảnh 1)

a) So sánh từng cặp hệ số C40 và C44C41 và C43 ở Hình 7a.

So sánh từng cặp hệ số C50 và C55C51 và C54C52 và C53  ở Hình 7b.

b) Nêu nhận xét về sự tăng giảm của mỗi dãy hệ số:

C40  ​​​​ C41  ​​​​ C42  ​​​​ C43  ​​​​ C44 (trong khai triển (a + b)4)

C50  ​​​​ C51  ​​​​ C52  ​​​​ C53  ​​​​ C54  ​​​​ C55 (trong khai triển (a + b)5)

Lời giải:

Hoạt động 3 trang 35 Chuyên đề Toán 10 (ảnh 1)

b) Dãy C40  ​​​​ C41  ​​​​ C42  ​​​​ C43  ​​​​ C44 tăng từ C40 đến C42 rồi giảm từ C42 đến C44

Dãy C50  ​​​​ C51  ​​​​ C52  ​​​​ C53  ​​​​ C54  ​​​​ C55 tăng từ C50 đến C52C52 = C53 rồi giảm từ C53 đến C55

Luyện tập 4 trang 35 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của:

a) (a + b)2022;

b) (a + b)2023.

Lời giải:

Vì dãy hệ số của khai triển (a + b)n tăng dần đến "giữa" rồi giảm dần nên:

a) Hệ số lớn nhất của (a + b)2022 là C20221011.

b) Hệ số lớn nhất của (a + b)2023 là C20231011 và C20231012.

Hoạt động 4 trang 36 Chuyên đề Toán 10: Quan sát khai triển nhị thức:

Hoạt động 4 trang 36 Chuyên đề Toán 10 (ảnh 1)

Nêu công thức tính hệ số của xk trong khai triển trên.

Lời giải:

Hệ số của xk trong khai triển trên là Cnnkakbnk với k ∈ ℕ, k ≤ n, n ∈ ℕ*.

Luyện tập 5 trang 36 Chuyên đề Toán 10: Xét khai triển của (x + 5)15.

a) Nêu số hạng chứa x7, từ đó nêu hệ số của x7.

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số ak của xk với 0 ≤ k ≤ 15.

Lời giải:

a) Số hạng chứa x7 là C155x7.  55. Hệ số của x7 là C15555.

b) Số hạng tổng quát trong khai triển trên là C1515kxk515k. Hệ số của xk là C1515k515k.

Bài tập (trang 37, 38)

Bài 1 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Khai triển các biểu thức sau:

a) (2x + y)6;

b) (x – 3y)6;

c) (x – 1)n;

d) (x + 2)n;

e) (x + y)2n;

g) (x – y)2n;

trong đó n lả số nguyên dương.

Lời giải:

Bài 1 trang 37 Chuyên đề Toán 10 (ảnh 1)

Bài 1 trang 37 Chuyên đề Toán 10 (ảnh 1)

Bài 2 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tính:

Bài 2 trang 37 Chuyên đề Toán 10 (ảnh 1)

Lời giải:

Áp dụng công thức nhị thức Newton ta có:

Bài 2 trang 37 Chuyên đề Toán 10 (ảnh 1)

Bài 3 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh:

Bài 3 trang 37 Chuyên đề Toán 10 (ảnh 1)

Lời giải:

Bài 3 trang 37 Chuyên đề Toán 10 (ảnh 1)

Bài 4 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Xác định hệ số của:

a) x12 trong khai triển của (x + 4)30;

b) x10 trong khai triển của (3 + 2x)30;

c) x15 và x16 trong khai triển của 2x31751.

Lời giải:

a) Số hạng chứa x12 là C3018x12418. Hệ số của x12 là C3018418.

b) Số hạng chứa x10 là C30103202x10=C3010320210x10. Hệ số của x10 là C3010320210.

c) Số hạng chứa x15 là  C51362x3151736=C5136215315736x15.

Hệ số của x15 là C5136215315736.

Số hạng chứa x16 là  C51352x3161735=C5135216316735x15.

Hệ số của x16 là C5135216316735.

Bài 5 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Xét khai triển của x+5212.

a) Xác định hệ số của x7.

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số ak của xk với 0 ≤ k ≤ 12.

Lời giải:

a) Số hạng chứa x7 là C125x7525. Hệ số của x7 là C125525.

b) Số hạng tổng quát trong khai triển trên là C1212kxk5212k. Hệ số của xk là C1212k5212k.

Bài 6 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Xét khai triển của x2+1521.

a) Xác định hệ số của x10.

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, tưr đó nêu hệ số ak của xk với 0 ≤ k ≤ 21.

Lời giải:

a) Số hạng chứa x10 là C2111x2101511. Hệ số của x10 là C211112101511=C21111210511.

b) Số hạng tổng quát trong khai triển trên là C2121kx2k1521k. Hệ số của xk là C2121k12k521k.

Bài 7 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của:

a) (a + b)8;

b) (a + b)9.

Lời giải:

Vì dãy hệ số của khai triển (a + b)n tăng dần đến "giữa" rồi giảm dần nên:

a) Hệ số lớn nhất của (a + b)8 là C84.

b) Hệ số lớn nhất của (a + b)9 là C94 và C95.

Bài 8 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp:

 (a+b)n=Cn0an+Cn1an1b+...+Cnn1abn1+Cnnbn

với  n ∈ ℕ*.

Lời giải:

+) Với n = 1, ta có: (a + b)1 = a + b = C10a1+C11b1.

Vậy công thức đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh công thức cũng đúng với k + 1, tức là:

(a+b)k+1=Ck+10ak+1+Ck+11a(k+1)1b+...+Ck+1(k+1)1ab(k+1)1+Ck+1k+1bk+1.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

(a+b)k=Ck0ak+Ck1ak1b+...+Ckk1abk1+Ckkbk.

Khi đó:

Bài 8 trang 38 Chuyên đề Toán 10 (ảnh 1)

Vậy công thức cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.

Bài 9 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh:

a) n5 – n chia hết cho 5 ∀ n ∈ ℕ*;

b) n7 – n chia hết cho 7 ∀ n ∈ ℕ*.

Lời giải:

a)

+) Với n = 1, ta có: 15 – 1 = 0 ⁝ 5.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: (k + 1)5 – (k + 1) ⁝ 5.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: k5 – k ⁝ 5.

Khi đó:

Bài 9 trang 38 Chuyên đề Toán 10 (ảnh 1)

Mà (k5 - k) và (5k4 + 10k3 + 10k2 + 5k)  đều chia hết cho 5, do đó

(k5 - k) + (5k4 + 10k3 + 10k2 + 5k) ⁝ 5 hay (k + 1)5 – (k + 1) ⁝ 5.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.

b)

+) Với n = 1, ta có: 17 – 1 = 0 ⁝ 7.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: (k + 1)7 – (k + 1) ⁝ 7.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: k7 – k ⁝ 7.

Khi đó:

(k + 1)7 – (k + 1)

= (k7 + 7k6 + 21k+ 35k3 + 21k2 + 7k +1) - (k+ 1)

= (k7 - k) + (7k6 + 21k+ 35k3 + 21k2 + 7k)

Mà (k7 - k) và (7k6 + 21k+ 35k3 + 21k2 + 7k)  đều chia hết cho 7, do đó

(k7 - k) + (7k6 + 21k+ 35k3 + 21k2 + 7k) ⁝ 7 hay (k + 1)7 – (k + 1) ⁝ 7.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.

Bài 10 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Cho tập hợp A = {x1; x2; x3; ... ; xn} có n phần tử. Tính số tập hợp con của A.

Lời giải:

Vì A có n phần tử nên số tập hợp con có k phần tử của tập hợp A là: Cnk.

Như vậy tổng số tập con của tập hợp A là:

Cn0+Cn1+Cn2+...+Cnn1+Cnn.

Lại có Cn0+Cn1+Cn2+...+Cnn1+Cnn=2n (theo luyện tập 2).

Vậy tập hợp A có tất cả 2n tập con.

Bài 11 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Một nhóm gồm 10 học sinh tham gia chiến dịch Mùa hè xanh. Nhà trường muốn chọn ra một đội công tác có ít nhất hai học sinh trong những học sinh trên. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội công tác như thế?

Lời giải:

Đội công tác có thể có từ 2 đến 10 học sinh.

Nếu đội công tác có k học sinh thì ta có C10k cách chọn.

Như vậy tổng số cách chọn là: C102+C103+...+C1010.

Lại có C100+C101+C102+C103+...+C1010=210=1024 (áp dụng luyện tập 2 với n = 10).

C102+C103+...+C1010=210=1024C100+C101=10241+10=1013.

Vậy có 1013 cách.

Bài 12 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Để tham gia một cuộc thi làm bánh, bạn Tiến làm 12 chiếc bánh có màu khác nhau và chọn ra số nguyên dương chẵn chiếc bánh để cho vào một hộp trưng bày. Hỏi bạn Tiến có bao nhiêu cách để chọn bánh cho vào hộp trưng bày đó?

Lời giải:

Số bánh bạn Tiến có thể chọn để cho vào hộp có thể là 2, 4, 6, 8, 10 hoặc 12.

Như vậy tổng số cách chọn là: C122+C124+...+C1212.

Lại có C120+C122+C124+...+C1212=22.61=211=2048 (áp dụng câu c Ví dụ 3 với n = 6).

C122+C124+...+C1212=22.61=2048C120=20481=2047.

Vậy có 2047 cách.

Bài 13 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Bác Thành muốn mua quà cho con nhân dịp sinh nhật nên đã đến một cửa hàng đồ chơi. Bác dự định chọn một trong năm loại đồ chơi. Ở cửa hàng, mỗi loại đồ chơi đó chỉ có 10 sản phẩm khác nhau bày bán. Biết rằng nếu mua bộ trực thăng điều khiển từ xa, bác sẽ chỉ mua 1 sản phẩm; nếu mua bộ đồ chơi lego, bác sẽ mua 3 sản phẩm khác nhau; nếu mua bộ lắp ghép robot chạy bằng năng lượng mặt trời, bác sẽ mua 5 sản phẩm khác nhau; nếu mua rubik, bác sẽ mua 7 sản phẩm khác nhau; còn nếu mua mô hình khủng long, bác sẽ mua 9 sản phẩm khác nhau. Bác Thành có bao nhiêu cách chọn quà sinh nhật cho con?

Lời giải:

Số cách chọn nếu bác Thành mua: 

– Bộ trực thăng điều khiển từ xa là: C101.

– Bộ đồ chơi lego là: C103.

– Bộ lắp ghép robot chạy bằng năng lượng mặt trời là: C105.

– Rubik là: C107.

– Mô hình khủng long là: C109.

Vậy tổng số cách chọn là: C101+C103+C105+C107+C109.

Lại có C101+C103+C105+C107+C109=22.51=29=512 (áp dụng câu c Ví dụ 3 với n = 5).

Vậy có 512 cách.

Bài 14 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Giả sử tính trạng ở một loài cây được quy định do tác động cộng gộp của n cặp alen phân li độc lập A1a1, A2a2, ..., Anan. Cho cây F1 dị hợp về n cặp alen giao phối với nhau. Tỉ lệ phân li kiểu hình của F2 là hệ số của khai triển nhị thức Newton (a + b)2n, nghĩa là tỉ lệ phân li kiểu hình của F2 là

C2n0:C2n1:C2n2:...:C2n2n2:C2n2b1:C2n2n.

Cho biết một loài cây có tính trạng được quy định bởi tác động cộng gộp của 4 cặp alen phân li độc lập. Tìm tỉ lệ phân li kiểu hình của F2 nếu cây F1 dị hợp về 4 cặp alen giao phối với nhau.

Lời giải:

Thay n = 4 vào công thức trong đề bài, ta được:

Tỉ lệ phân li kiểu hình của F2 nếu cây F1 dị hợp về 4 cặp alen giao phối với nhau là:

C2.40:C2.41:C2.42:...:C2.42.4

 hay

C80:C81:C82:C83:C84:C85:C86:C87:C88.

Đánh giá

0

0 đánh giá