Ta có: ABBH=106=53;3AC=5AH⇒ACAH=53⇒ABBH=ACAH⇒ABAC=BHAH

Tam giác ABH và tam giác CAH có: ^AHB=^AHC=900,ABAC=BHAH

Do đó, ΔABH∽ΔCAH

Suy ra: ^CAH=^ABH

Mà ^BAH+^ABH=900 nên ^BAH+^CAH=900 hay ^BAC=900

Do đó, tam giác ABC vuông tại A.

Theo định lý Pythagore ta có:

BC2=AB2+AC2

Tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác. Do đó, M thuộc AH. Do đó, 3MH=AH

Tam giác A’B’C’ cân tại A’, A’H’ là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác. Do đó, M’ thuộc A’H’. Do đó, 3M′H′=A′H′

Xét tam giác ABH và tam giác A’B’H’ có: ^AHB=^A′H′B′=900,BHB′H′=ABA′B′=3

Suy ra: ΔAHB∽ΔA′H′B′, do đó, AHA′H′=3⇒3HM3H′M′=3⇒HMH′M′=3

Tam giác BHM và tam giác B’H’M’ có:

^MHB=^M′H′B′=900,HMHM′=BHB′H′=3

Do đó, ΔBMH∽ΔB′M′H′  nên BMB′M′=BHB′H′=3

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABH vuông tại H có: AB2=BH2+AH2

AH2=AB2−BH2=400 nên AH=20cm⇒AC=53.20=1003(cm)

Ta có: ABBH=2515=53;AC=53AH⇒ACAH=53⇒ABBH=ACAH⇒ABAC=BHAH

Tam giác ABH và tam giác CAH có: ^AHB=^AHC=900,ABAC=BHAH

Do đó, ΔABH∽ΔCAH⇒ABAC=AHCH⇒CH=AH.ACAB=803cm

Vậy chu vi tam giác AHC là: AH+HC+AC=20+803+1003=80(cm)

Tam giác ADM và tam giác BMC có:

ˆA=ˆB=900,ADMB=DMMC(=23)

Do đó, ΔAMD∽ΔBCM nên ^ADM=^BMC

Mà: ^AMD+^ADM=900, do đó, ^AMD+^BMC=900

Lại có: ^AMD+^DMC+^CMB=1800

Suy ra: ^DMC=1800−(^AMD+^BMC)=900

Do đó, tam giác DMC vuông tại M

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác DMC vuông tại M có:

DC2=DM2+MC2=117 nên DC=√117cm

Vậy chu vi tam giác DMC là: DM+MC+DC=6+9+√117=15+√117(cm)

Tam giác BHC và tam giác B’H’C’ có: ^BHC=^B′H′C′=900,CHC′H′=BCB′C′

Do đó, ΔBHC∽ΔB′H′C′

Suy ra: ˆC=^C′, mà tam giác ABC cân tại A, tam giác A’B’C’ cân tại A’ nên ˆB=^B′=ˆC=^C′

Do đó, ^BAC=4^ACB=4^ABC

Lại có: ^BAC+^ACB+^ABC=1800⇒6^ACB=1800⇒^ACB=300⇒^BAC=1200

Vì AC=3AB⇒ABAC=13,B′D′=3A′B′⇒A′B′B′D′=13

Do đó, ABAC=A′B′B′D′⇒ABA′B′=ACB′D′

Tam giác ABC và tam giác A’B’D’ có:

^ABC=^B′A′D′=900;ABA′B′=ACB′D′ nên ΔABC∽B′A′D′(1)

Chứng minh được ΔB′A′D′=ΔA′B′C′(2)

Từ (1) và (2) ta có: ΔABC∽ΔA′B′C′

Do đó, ABA′B′=ACA′C′=BCB′C′=12

Diện tích hình chữ nhật ABCD là: SABCD=AB.BC

Diện tích hình chữ nhật A’B’C’D’ là: SA′B′C′D′=A′B′.B′C′

Do đó: SABCDSA′B′C′D′=AB.BCA′B′.B′C′=ABA′B′.BCB′C′=2.2=4

⇒SA′B′C′D′=124=3(cm2)