Với lời giải SBT Toán 11 trang 30 Tập 2 chi tiết trong Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 7.13 trang 30 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a. Tính côsin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD).

Lời giải:

Kẻ AH $\perp$ (BCD) tại H, ta có BH là hình chiếu vuông góc của AB trên mặt phẳng (BCD) nên góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng góc giữa hai đường AB và BH, mà (AB, BH) = $\widehat{ABH}$ .

Vì AB = AC = AD nên HD = HB = HC hay H là tâm của tam giác BCD.

Gọi M là giao điểm của BH là CD.

Vì tam giác BCD đều cạnh a nên BM là đường cao, trung tuyến và BM = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, suy ra BH = $\frac{2}{3}$BM = $\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Xét tam giác ABH vuông tại H có: cos$\widehat{ABH}$ = $\frac{BH}{AB}$ = $\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Vậy côsin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Bài 7.14 trang 30 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA $\perp$ (ABCD), SA = a$\sqrt{2}$.

a) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

b) Tính tang của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB).

Lời giải:

a) Vì SA $\perp$ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABCD). Do đó góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SC và AC, mà (SC, AC) = $\widehat{SCA}$ .

Do ABCD là hình vuông cạnh a nên AC² = AB² + BC² = 2a² ⇒ AC = a$\sqrt{2}$.

Vì SA $\perp$ (ABCD) nên SA $\perp$ AC mà SA = AC = a$\sqrt{2}$ nên tam giác SAC vuông cân tại A. Do đó $\widehat{SCA}$ = 45^o.

Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là 45°.

b) Vì SA $\perp$ (ABCD) nên BC $\perp$ SA mà BC $\perp$ AB nên BC $\perp$ (SAB), suy ra SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAB).

Do đó, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng góc giữa đường thẳng SC và đường thẳng SB, mà (SB,SC) = $\widehat{BSC}$.

Xét tam giác SAB vuông tại A, có SB = $\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=a\sqrt{3}$

Xét tam giác SBC vuông tại B, ta có: tan$\widehat{BSC}$ = $\frac{BC}{SB}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Vậy tang của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Bài 7.15 trang 30 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA $\perp$ (ABC), đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, biết AB = a, SA = a$\sqrt{6}$.

a) Tính tang của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC).

b) Tính sin của góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC).

Lời giải:

a) Kẻ BH $\perp$ AC tại H, mà SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ BH nên BH $\perp$ (SAC).

Do đó SH là hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (SAC). Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) bằng góc giữa hai đường thẳng SB và SH, mà (SH,SB) = $\widehat{BSH}$.

Xét tam giác ABC vuông cân tại B, BH $\perp$ AC, ta có:

$\frac{1}{B{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{B{C}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{2}{a^2}\Rightarrow BH=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Xét tam giác ABH vuông tại H, có:

AB² = BH² + AH² $\iff$a² = ${\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2$+AH² $\iff$AH² = $\frac{a^2}{2}$.

Vì SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ AC.

Xét tam giác SAH vuông tại A, có

SA² + AH² = SH² $\iff$(a$\sqrt{6}$)² + $\frac{a^2}{2}$ = SH² $\iff$SH = $\frac{a\sqrt{26}}{2}$.

Vì BH $\perp$ (SAC) nên BH $\perp$ SH.

Xét tam giác SHB vuông tại H, có tan$\widehat{BSH}$ = $\frac{HB}{SH}$ = $\frac{\sqrt{13}}{13}$.

Vậy tang của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) là $\frac{\sqrt{13}}{13}$ .

b) Kẻ AK $\perp$ SB tại K.

Có SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ BC mà tam giác ABC vuông tại B nên BC $\perp$ AB.

Do đó BC $\perp$ (SAB) nên BC$\perp$ AK , suy ra AK $\perp$ (SBC).

Do đó CK là hình chiếu vuông góc của AC trên (SBC), suy ra góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC) bằng góc giữa hai đường thẳng AC và CK, mà (AC,CK) = $\widehat{ACK}$.

Xét tam giác SAB vuông tại A, AK $\perp$ SB, có:

SB = $\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=a\sqrt{7}$;

SA.AB = SB.AK $\Rightarrow$AK = $\frac{SA.AB}{SB}$ = a$\sqrt{\frac{6}{7}}$.

Do tam giác ABC vuông cân tại B nên AC = $\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{2}$ .

Vì AK $\perp$ (SBC) nên AK $\perp$ CK.

Xét tam giác ACK vuông tại K, có sin$\widehat{ACK}=\frac{AK}{AC}=\sqrt{\frac{3}{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$.

Vậy sin của góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC) là $\frac{\sqrt{21}}{7}$ .