Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc (ABCD)

Van Anh Ngày: 09-11-2023 Lớp 11

Với giải Bài 7.14 trang 30 SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 11 Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 7.14 trang 30 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA $⊥$ (ABCD), SA = a $\sqrt{2}$ .

a) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

b) Tính tang của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB).

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông

a) Vì SA $⊥$ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABCD). Do đó góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SC và AC, mà (SC, AC) = $\hat{S C A}$ .

Do ABCD là hình vuông cạnh a nên AC² = AB² + BC² = 2a² ⇒ AC = a $\sqrt{2}$ .

Vì SA $⊥$ (ABCD) nên SA $⊥$ AC mà SA = AC = a $\sqrt{2}$ nên tam giác SAC vuông cân tại A. Do đó $\hat{S C A}$ = 45^o.

Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là 45°.

b) Vì SA $⊥$ (ABCD) nên BC $⊥$ SA mà BC $⊥$ AB nên BC $⊥$ (SAB), suy ra SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAB).

Do đó, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng góc giữa đường thẳng SC và đường thẳng SB, mà (SB,SC) = $\hat{B S C}$ .

Xét tam giác SAB vuông tại A, có SB = $\sqrt{S A^{2} + A B^{2}} = a \sqrt{3}$

Xét tam giác SBC vuông tại B, ta có: tan $\hat{B S C}$ = $\frac{B C}{S B} = \frac{a}{a \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .