Với giải Luyện tập 5 trang 114 Toán 11 Tập 2 Cánh diều chi tiết trong Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

Luyện tập 5 trang 114 Toán 11 Tập 2: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh a. Chứng minh rằng thể tích của khối tứ diện đó bằng $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}.$

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC, O là trọng tâm tam giác BCD.

Vì ABCD là hình tứ diện đều nên BCD là tam giác đều.

Mà O là trọng tâm tam giác BCD nên O cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

Do đó AO ⊥ (BCD).

Xét tam giác đều BCD có: DM là đường trung tuyến (do M là trung điểm của BC) cũng đồng thời là đường cao của tam giác nên DM ⊥ BC.

Do M là trung điểm của BC nên $MC=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}.$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác DMC vuông tại M (do DM ⊥ BC) có:

DC² = DM² + MC²

Do đó $DM=\sqrt{D{C}^2-M{C}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Vì O là trọng tâm tam giác BCD nên $OD=\frac{2}{3}DM=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$

Do AO ⊥ (BCD) và DO ⊂ (BCD) nên AO ⊥ DO, do đó tam giác ADO vuông tại O.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADO vuông tại O có:

AD² = AO² + DO²

Suy ra $AO=\sqrt{A{D}^2-D{O}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\sqrt{\frac{2a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}.$

Diện tích tam giác BCD đều có đường cao DM là:

$S_{\Delta BCD}=\frac{1}{2}.DM.BC=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ (đvdt).

Thể tích của khối tứ diện đều ABCD cạnh a có chiều cao $AO=\frac{a\sqrt{6}}{3}$ và diện tích đáy $S_{\Delta BCD}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$là:

$V_{ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{\Delta BCD}.AO=\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$ (đvtt)