Phương pháp giải:

- Tính $limf\left(x\right)$ khi $x\to \pm \mathrm{\infty }$. Nếu ít nhất  $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=y_0$ hoặc $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=y_0$ thì ta KL  $y=y_0$ là đường tiệm cận ngang

- Tính $limf\left(x\right)$ khi $x\to {x_0}^{+}$; $x\to {x_0}^{-}$

 nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\begin{array}{l}\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f\left(x\right)=+\mathrm{\infty };\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f\left(x\right)=-\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to x_0^{+}}{lim}f\left(x\right)=-\mathrm{\infty };\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f\left(x\right)=+\mathrm{\infty }\end{array}$

Ta KL: Đường thẳng $x=x_0$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$

Lời giải:

a)

Ta có: ${\displaystyle \underset{x\to 2^{-}}{lim}\frac{x}{2-x}=+\mathrm{\infty };}$${\displaystyle \underset{x\to 2^{+}}{lim}\frac{x}{2-x}=-\mathrm{\infty }}$ nên đường thẳng ${\displaystyle x=2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{2-x}=-1;}$${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{2-x}=-1}$ nên đường thẳng ${\displaystyle y=-1}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

b)

Ta có: ${\displaystyle \underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{-x+7}{x+1}}=+\mathrm{\infty };}$$\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{-x+7}{x+1}}=-\mathrm{\infty }$ nên ${\displaystyle x=-1}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{-x+7}{x+1}}=-1;}$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{-x+7}{x+1}}=-1$ nên đường thẳng ${\displaystyle y=-1}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

c)

Ta có: ${\displaystyle \underset{x\to {\left(\frac{2}{5}\right)}^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{2x-5}{5x-2}}=-\mathrm{\infty };}$$\underset{x\to {\left(\frac{2}{5}\right)}^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{2x-5}{5x-2}}=+\mathrm{\infty }$ nên đường thẳng ${\displaystyle x={\displaystyle \frac{2}{5}}}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{2x-5}{5x-2}}={\displaystyle \frac{2}{5}};}$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{2x-5}{5x-2}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$ nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng ${\displaystyle y={\displaystyle \frac{2}{5}}}$ làm tiệm cận ngang.

d)

Ta có: ${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{lim}\left({\displaystyle \frac{7}{x}}-1\right)=+\mathrm{\infty };}$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\left({\displaystyle \frac{7}{x}}-1\right)=-\mathrm{\infty }$ nên đường thẳng ${\displaystyle x=0}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left({\displaystyle \frac{7}{x}}-1\right)=-1;}$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left({\displaystyle \frac{7}{x}}-1\right)=-1$

( vì $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}=0$)

Do đó đường thẳng ${\displaystyle y=-1}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Phương pháp giải:

- Tìm tiệm cận ngang: 

 + Tính $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right);\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)$

 + Nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=y_0$ hoặc $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=y_0$, ta kết luận: $y=y_0$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$

- Tìm tiệm cận đứng:

 + Tìm TXĐ

 + Tính $limf\left(x\right)$ khi $x\to {x_0}^{+}$ và $x\to {x_0}^{-}$ với $x_0$ là giá trị làm hàm số không xác định.

Nếu $\begin{array}{l}\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f\left(x\right)=+\mathrm{\infty };\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f\left(x\right)=-\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to x_0^{+}}{lim}f\left(x\right)=-\mathrm{\infty };\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f\left(x\right)=+\mathrm{\infty }\end{array}$

Ta kết luận: Đường thẳng $x=x_0$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$

Lời giải:

a)

TXĐ: $D=R\mathrm{\setminus }\left\{\pm 3\right\}$

$\underset{x\to (-3{)}^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{2-x}{9-x^2}}=+\mathrm{\infty }$ nên đường thẳng $x=-3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to 3^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{2-x}{9-x^2}}=+\mathrm{\infty }$ nên đường thẳng $x=3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{2-x}{9-x^2}}=0$ nên đường thẳng: $y=0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

b)

TXĐ: $D=R\mathrm{\setminus }\left\{-1;{\displaystyle \frac{3}{5}}\right\}$

$\begin{array}{l}\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2}}=+\mathrm{\infty };\\ \underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2}}=-\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to {\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2}}=-\mathrm{\infty };\\ \underset{x\to {\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2}}=+\mathrm{\infty }\end{array}$

Nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng: $x=-1;x={\displaystyle \frac{3}{5}}$.

Vì: $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2}}=-{\displaystyle \frac{1}{5}};$ $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2}}=-{\displaystyle \frac{1}{5}}$

Nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=-{\displaystyle \frac{1}{5}}$.

c)

TXĐ: $D=R\mathrm{\setminus }\left\{-1\right\}$

$\underset{x\to {(-1)}^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{x+1}}=-\mathrm{\infty };$ $\underset{x\to {(-1)}^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{x+1}}=+\mathrm{\infty }$ nên đường thẳng $x=-1$ là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{x+1}}$$=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{x^2(1-{\displaystyle \frac{3}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{x^2}})}{x(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})}}=-\mathrm{\infty }$ và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{x+1}}=+\mathrm{\infty }$ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

d)

Hàm số xác định khi: $\{\begin{array}{c}x\ge 0\\ \sqrt{x}-1\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\ge 0\\ x\ne 1\end{array}$

$\Rightarrow D=\left[0;+\mathrm{\infty }\right)\mathrm{\setminus }\left\{1\right\}$

Vì $\underset{x\to 1^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}}=-\mathrm{\infty }$ nên đường thẳng $x=1$ là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vì $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}}$$=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{\sqrt{x}(1+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}})}{\sqrt{x}(1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}})}}=1$ nên đường thẳng $y=1$ là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chú ý: Có thể sử dụng MTCT để tính toán các giới hạn.

Chỉ có khái niệm “Tiệm cận của đồ thị hàm số”, KHÔNG có “Tiệm cận của hàm số”.