Trả lời nhanh
Có thể khẳng định 0 < a < 1, vì cường độ ánh sáng giảm khi độ sâu tăng nên hàm I = I0·ad nghịch biến và a > 0. Tại độ sâu 1 m, I = 0,95 I0 nên a = 0,95. Tại 20 m, I = I0·0,9520 ≈ 0,3585 I0, tức khoảng 36% cường độ ở mặt nước (làm tròn đến hàng đơn vị).
Đề bài hàm số mũ ở độ sâu mặt biển
Bài 6 trang 25, Toán 11 tập hai, bộ Chân trời sáng tạo, nằm trong bài hàm số mũ và hàm số lôgarit. Dữ kiện được phát biểu lại như sau: cường độ ánh sáng I dưới mặt biển giảm theo độ sâu theo công thức I = I0·ad. I0 là cường độ ngay tại mặt nước, a là hằng số dương, d là độ sâu tính bằng mét kể từ mặt nước.
- Có khẳng định được 0 < a < 1 không? Vì sao?
- Biết ở độ sâu 1 m, cường độ bằng 0,95 I0. Tìm a.
- Ở độ sâu 20 m, cường độ bằng bao nhiêu phần trăm so với I0? Làm tròn đến hàng đơn vị.
Ba ý đi liền nhau: ý a chọn khoảng của cơ số, ý b tính đúng một số, ý c thế số ấy vào mũ 20. Làm sai a thì b và c mất điểm theo.
Vì sao 0 < a < 1?
Đề đã cho a > 0, nên ad xác định với mọi độ sâu d ≥ 0. Xét hàm f(d) = ad trên [0; +∞).
- Nếu a > 1 thì ad tăng khi d tăng. Ánh sáng sẽ mạnh thêm khi lặn sâu, trái với câu “giảm dần theo độ sâu”.
- Nếu a = 1 thì ad = 1 với mọi d, cường độ không đổi. Đó không phải là giảm dần.
- Nếu 0 < a < 1 thì ad giảm khi d tăng, và I = I0·ad cũng giảm vì I0 > 0.
Vậy bắt buộc 0 < a < 1. Đây là tính chất của hàm số mũ: cơ số lớn hơn 1 thì đồng biến, cơ số trong khoảng (0; 1) thì nghịch biến. Không cần số liệu 0,95 mới kết luận được ý này; số 0,95 chỉ để tìm giá trị cụ thể ở ý sau.
Tìm a khi độ sâu 1 m còn 95% ánh sáng
Thay d = 1 và I = 0,95 I0 vào công thức:
0,95 I0 = I0 · a1
I0 khác 0 nên chia hai vế cho I0: a = 0,95.
Số này nằm trong (0; 1), khớp với ý a. Kiểm tra ngược: tại d = 0, a0 = 1 nên I = I0, đúng là cường độ mặt nước. Tại d = 1, I = 0,95 I0, đúng dữ kiện.
Một số đề đổi 0,95 thành 90% hoặc 0,9. Khi ấy a = 0,9, không phải 0,95. Em đọc đúng hệ số trong đề của mình trước khi tính mũ.
Tại 20 m còn bao nhiêu phần trăm?
Với a = 0,95 và d = 20:
I = I0 · 0,9520
Tính từng chặng để khỏi phụ thuộc một nút máy tính:
- 0,952 = 0,9025
- 0,954 = 0,90252 = 0,81450625
- 0,958 ≈ 0,814506252 ≈ 0,66342043
- 0,9510 = 0,958 · 0,952 ≈ 0,66342043 · 0,9025 ≈ 0,5987
- 0,9520 = (0,9510)2 ≈ 0,59872 ≈ 0,3584
Giá trị chính xác hơn là 0,9520 ≈ 0,3585. So với I0, tỉ số này là 35,85%. Làm tròn đến hàng đơn vị được 36%.
Câu trả lời đủ ý: tại độ sâu 20 m, cường độ ánh sáng bằng khoảng 36% cường độ tại mặt nước. Viết 0,36 I0 cũng đúng, nhưng đề hỏi “bao nhiêu phần trăm” nên đáp số nên là 36%.
Lỗi thường gặp và bài luyện
Em dễ mất điểm ở bốn chỗ:
- Viết a > 1 vì thấy “cường độ lớn”. Chiều giảm của hàm mới quyết định cơ số nhỏ hơn 1.
- Từ 0,95 I0 = I0·a suy ra a = 1/0,95. Đó là nhầm “còn 95%” thành “giảm 95%”.
- Tính 0,95 · 20 = 19 thay vì 0,9520. Công thức là lũy thừa, không phải tích.
- Làm tròn quá sớm: nếu lấy 0,9510 ≈ 0,6 rồi bình phương, em vẫn ra 0,36, nhưng với cơ số khác thì làm tròn giữa chặng có thể đẩy kết quả sang phần trăm bên cạnh. Giữ ít nhất bốn chữ số thập phân đến bước cuối.
Bài 1. Cùng công thức, tại độ sâu 2 m cường độ bằng 0,81 I0. Tìm a.
Đáp án: 0,81 I0 = I0·a2 nên a2 = 0,81. Vì a > 0, a = 0,9.
Bài 2. Với a = 0,9, tại độ sâu 10 m còn khoảng bao nhiêu phần trăm?
Đáp án: 0,910 ≈ 0,3487, tức khoảng 35% (làm tròn hàng đơn vị).
Bài 3. Với a = 0,95, độ sâu nào thì cường độ còn một nửa mặt nước?
Đáp án: 0,95d = 0,5 nên d = ln 0,5 / ln 0,95 ≈ 13,5 m. Sâu hơn 20 m thì phần còn lại nhỏ hơn 36%, phù hợp hàm nghịch biến.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao cơ số a của công thức ánh sáng dưới biển phải nhỏ hơn 1?
Vì cường độ giảm khi độ sâu tăng, hàm a^d phải nghịch biến. Với a > 0, điều đó xảy ra đúng khi 0 < a < 1.
Cường độ ở độ sâu 1 m bằng 0,95 I0 thì a bằng bao nhiêu?
Thay d = 1 được 0,95 I0 = I0·a, nên a = 0,95.
Ở độ sâu 20 m còn bao nhiêu phần trăm ánh sáng?
0,95 mũ 20 xấp xỉ 0,3585, tức 35,85%, làm tròn đến hàng đơn vị là 36% so với I0.
Bài I = I0·a^d nằm ở sách nào?
Bài 6 trang 25, Toán 11 tập hai, bộ Chân trời sáng tạo, phần hàm số mũ.