Với lời giải SBT Toán 11 trang 56 Tập 1 chi tiết trong Bài 3: Cấp số nhân sách Cánh diều giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Cấp số nhân

Bài 41 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Một cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 2, số hạng thứ bảy gấp 32 lần số hạng thứ hai. Tìm các số hạng của cấp số nhân đó.

Lời giải:

Giả sử cấp số nhân đó là (u_n) với n = 7.

Theo bài ra ta có: u₄ = 2 và u₇ = 32u₂.

Ta có u₇ = u₁ . q⁶ và u₂ = u₁ . q, do đó u₁ . q⁶ = 32u₁ . q, suy ra q = 2.

Lại có u₄ = u₁ . q³ = u₁ . 2³ = 8u₁, suy ra 8u₁ = 2 ⇔ u₁ = $\frac{1}{4}$ .

Do vậy, u₂ = $\frac{1}{4}.2=\frac{1}{2}$ ; u₃ = $\frac{1}{2}.2=1$; u₅ = 2 . 2 = 4; u₆ = 4 . 2 = 8; u₇ = 8 . 2 = 16.

Vậy cấp số nhân cần tìm là: $\frac{1}{4};\frac{1}{2};1;2;4;8;16$ .

Bài 42 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Ba số phân biệt tạo thành một cấp số nhân có tổng bằng 78; đồng thời chúng là số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ chín của một cấp số cộng. Tìm ba số đó.

Lời giải:

Giả sử công bội của cấp số nhân là q, công sai của cấp số cộng là d, khi đó gọi ba số cần tìm là a, aq, aq². (với a, p ≠ 0)

Theo bài ra ta có: a + aq + aq² = 78 (*); aq = a + 2d; aq² = a + 8d.

Từ aq = a + 2d, suy ra aq – a = 2d ⇔ a(q – 1) = 2d. (1)

Từ aq² = a + 8d, suy ra aq² – a = 8d ⇔ a(q² – 1) = 8d ⇔ a(q – 1)(q + 1) = 8d. (2)

Với q = 1 thì a = aq = aq², mà ba số cần tìm là phân biệt nên q = 1 không thỏa mãn.

Do vậy, q ≠ 1 ⇒ q – 1 ≠ 0, do đó a(q – 1) ≠ 0. Chia vế theo vế của (2) cho (1):

Ta được: q + 1 = 4 ⇔ q = 3.

Thay q = 3 vào (*): a + 3a + 9a = 78 ⇔ 13a = 78 ⇔ a = 6.

Suy ra ba số cần tìm là 6; 6 . 3 = 18; 18 . 3 = 54.

Vậy ba số cần tìm là: 6; 18; 54.

Bài 43 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n) biết u₁ = – 1, q = 3.

a) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân đó.

b) Giả sử tổng m số hạng đầu của (u_n) bằng – 364. Tìm m. 

c) Tính tổng $S=\frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+\frac{1}{u_3}+\frac{1}{u_4}+\frac{1}{u_5}$ .

Lời giải:

a) Ta có: $S_{10}=\frac{u_1\left(1-q^{10}\right)}{1-q}=\frac{\left(-1\right).\left(1-3^{10}\right)}{1-3}=-29524$ .

b) Ta có: $S_m=\frac{u_1\left(1-q^m\right)}{1-q}=\frac{\left(-1\right)\left(1-3^m\right)}{1-3}=\frac{1-3^m}{2}$ .

Mà S_m = – 364, do đó $\frac{1-3^m}{2}=-364$  ⇔ 1 – 3^m = – 728

⇔ 3^m = 729 ⇔ 3^m = 3⁶ ⇔ m = 6.

Vậy m = 6.

c) Dãy $\frac{1}{u_1};\frac{1}{u_2};\frac{1}{u_3};\frac{1}{u_4};\frac{1}{u_5}$  là cấp số nhân với số hạng đầu là ${u^{\text{'}}}_1=\frac{1}{u_1}=\frac{1}{-1}=-1$  và công bội là $q^{\text{'}}=\frac{1}{q}=\frac{1}{3}$ .

Suy ra $S=\frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+\frac{1}{u_3}+\frac{1}{u_4}+\frac{1}{u_5}$  .

Bài 44 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u­_n) biết u₁ = 1, $u_n=\frac{1}{3}{u}_{n-1}+1$  với n ∈ ℕ^*, n ≥ 2. Đặt $v_n=u_n-\frac{3}{2}$  với n ∈ ℕ^*.

a) Chứng minh rằng dãy số (v_n) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó.

b) Tìm công thức số hạng tổng quát của (v_n), (u_n).

c) Tính tổng S = u₁ + u₂ + u₃ + ... + u₁₀.

Lời giải:

a) Ta có $v_1=u_1-\frac{3}{2}=1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$

$v_n=u_n-\frac{3}{2}$$=\frac{1}{3}{u}_{n-1}+1-\frac{3}{2}=\frac{1}{3}{u}_{n-1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\left(u_{n-1}-\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{3}{v}_{n-1}$ với mọi n ∈ ℕ^*, n ≥ 2.

Vậy dãy số (v_n) là cấp số nhân với số hạng đầu $v_1=-\frac{1}{2}$  và công bội $q=\frac{1}{3}$ .

b) Ta có: $v_n=v_1.q^{n-1}=-\frac{1}{2}.{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}=\frac{-1}{{2.3}^{n-1}}$ .

Từ $v_n=u_n-\frac{3}{2}$ , suy ra $u_n=v_n+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}-\frac{1}{{2.3}^{n-1}}=\frac{{3.3}^{n-1}-1}{{2.3}^{n-1}}=\frac{3^n-1}{{2.3}^{n-1}}$ .

c) Ta có S = u₁ + u₂ + u₃ + ... + u₁₀

_{$=\left(v_1+\frac{3}{2}\right)+\left(v_2+\frac{3}{2}\right)+\left(v_3+\frac{3}{2}\right)+\mathrm{...}+\left(v_{10}+\frac{3}{2}\right)$}

= (v₁ + v₂ + v₃ + ... + v₁₀) + $\frac{3}{2}.10$

Bài 45 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Anh Dũng kí hợp đồng lao động trong 10 năm với phương án trả lương như sau: Năm thứ nhất, tiền lương của anh Dũng là 120 triệu đồng. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương của anh Dũng được tăng lên 10%. Tính tổng số tiền lương anh Dũng lĩnh được trong 10 năm đầu đi làm (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị triệu đồng).

Lời giải:

Ta có tiền lương năm thứ nhất của anh Dũng là: 120 triệu đồng.

Tiền lương năm thứ hai của anh Dũng là:

120 + 120 . 10% = 120(1 + 0, 1) = 120 . 1,1 (triệu đồng).

Tiền lương năm thứ ba của anh Dũng là:

120 . 1,1 + 120 . 1,1 . 10% = 120 . 1,1 (1 + 0,1) = 120 . 1,1² (triệu đồng).

Cứ tiếp tục như vậy, ta được tiền lương năm thứ 10 của anh Dũng là 120 . 1,1⁹ (triệu đồng).

Do vậy, tiền lương mỗi năm của anh Dũng nhận được trong 10 năm lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 120 và công bội q = 1,1.

Khi đó tổng số tiền lương anh Dũng lĩnh được trong 10 năm đầu đi làm là:

Vậy tổng số tiền lương anh Dũng lĩnh được trong 10 năm đầu đi làm là 1 912 triệu đồng.

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 2

Bài 47 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u_n = 5ⁿ – n. Số hạng u_{n + 1} là:

A. 5^{n + 1} – n – 1.

B. 5^{n + 1} – n + 1.

C. 5ⁿ – n + 1.

D. 5ⁿ – n – 1.  

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: u_{n + 1} = 5^{n + 1} – (n + 1) = 5^{n + 1} – n – 1.

Bài 48 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u₁ = 2, $u_n=\frac{1}{3}\left(u_{n-1}+1\right)$  với n ≥  2. Số hạng u₄ bằng:

A. u₄ = 1.

B. $u_4=\frac{2}{3}$ .

C. $u_4=\frac{14}{27}$ .

D. $u_4=\frac{5}{9}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $u_2=\frac{1}{3}\left(u_{2-1}+1\right)=\frac{1}{3}\left(u_1+1\right)=\frac{1}{3}\left(2+1\right)=1$ ;

$u_3=\frac{1}{3}\left(u_{3-1}+1\right)=\frac{1}{3}\left(u_3+1\right)=\frac{1}{3}\left(1+1\right)=\frac{2}{3}$;

$u_4=\frac{1}{3}\left(u_{4-1}+1\right)=\frac{1}{3}\left(u_3+1\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}+1\right)=\frac{5}{9}$.

Bài 49 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) với số hạng tổng quát sau, dãy số tăng là:

A. $u_n=\frac{2}{3^n}$ .

B. $u_n=\frac{3}{n}$ .

C. u_n = 2ⁿ.

D. u_n = (– 2)ⁿ.

Lời giải:

Trong các dãy số đã cho, ta thấy dãy số (u_n) với u_n = 2ⁿ là dãy số tăng.

Thật vậy, ta có u_{n + 1} = 2^{n + 1} = 2 . 2ⁿ.

Khi đó, u_{n + 1} – u_n = 2 . 2ⁿ – 2ⁿ = 2ⁿ > 0 với mọi n ∈ ℕ^*, tức là u_{n + 1} > u_n với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) với u_n = 2ⁿ là dãy số tăng.

Bài 50 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Tổng 20 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 tính từ số 3 là:

A. 1 320.

B. 660.

C. 630.

D. 1 260.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

20 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 tính từ số 3 lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 3 và công sai d = 3.

Khi đó, tổng của 20 số này là: