Với lời giải Toán 11 trang 109 Tập 1 chi tiết trong Bài 15: Giới hạn của dãy số sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số

Luyện tập 5 trang 109 Toán 11 Tập 1: Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n-\sqrt{n}\right)$.

Lời giải:

Ta có: $n-\sqrt{n}=n\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$. Hơn nữa $\underset{n\to +\infty }{\lim }n=+\infty$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)=1$.

Do đó, $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n-\sqrt{n}\right)=+\infty$.

Bài tập

Bài 5.1 trang 109 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2+n+1}{2n^2+1}$;

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+2n}-n\right)$.

Lời giải:

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2+n+1}{2n^2+1}$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(2+\frac{1}{n^2}\right)}$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{2}$.

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+2n}-n\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\left(n^2+2n\right)-n^2}{\sqrt{n^2+2n}+n}$

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n}{\sqrt{n^2\left(1+\frac{2}{n}\right)}+n}$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n}{n\sqrt{1+\frac{2}{n}}+n}$

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n}{n\left(\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1\right)}$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1}=\frac{2}{\sqrt{1}+1}=1$.

Bài 5.2 trang 109 Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số không âm (u_n) và (v_n) với $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=3$. Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n^2}{v_n-u_n}$;

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt{u_n+2v_n}$.

Lời giải:

a) Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2$, do đó, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n^2=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n.u_n\right)=2.2=4$.

Và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=3$ nên $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(v_n-u_n\right)=3-2=1$.

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n^2}{v_n-u_n}=\frac{4}{1}=4$.

b) Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }2=2$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=3$, do đó, $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(2v_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(2.v_n\right)=2.3=6$.

Và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2$ nên $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n+2v_n\right)=2+6=8$.

Vì u_n ≥ 0, v_n ≥ 0 với mọi n nên u_n + 2v_n ≥ 0 với mọi n và $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n+2v_n\right)=8>0$.

Do đó, $\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt{u_n+2v_n}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.

Bài 5.3 trang 109 Toán 11 Tập 1: Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:

a) $u_n=\frac{n^2+1}{2n-1}$;

b) $v_n=\sqrt{2n^2+1}-n$.

Lời giải:

a) $u_n=\frac{n^2+1}{2n-1}$

Chia cả tử và mẫu của u_n cho n², ta được $u_n=\frac{n^2+1}{2n-1}$$=\frac{1+\frac{1}{n^2}}{\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}$.

Vì $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(1+\frac{1}{n^2}\right)=1>0$, $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}\right)=0$ và $\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}>0$ với mọi n nên

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2+1}{2n-1}=+\infty$.

b) $v_n=\sqrt{2n^2+1}-n$

Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{2n^2+1}-n\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2\left(2+\frac{1}{n^2}\right)}-n\right)$

Vì $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{2+\frac{1}{n^2}}-1\right)=\sqrt{2}-1>0$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }n=+\infty$.

Nên 

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{2n^2+1}-n\right)=+\infty$.

Bài 5.4 trang 109 Toán 11 Tập 1: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:

a) 1,(12) = 1,121212...;

b) 3,(102) = 3,102102102...

Lời giải:

a) Ta có: 1,(12) = 1,121212... = 1 + 0,12 + 0,0012 + 0,000012 + ...

= 1 + 12 . 10^-2 + 12 . 10^-4 + 12 . 10^-6 + ...

= 1 + 12 . (10^-2 + 10^-4 + 10^-6 + ...)

Do 10^-2 + 10^-4 + 10^-6 + ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 10^-2 và q = 10^-2 nên

10^-2 + 10^-4 + 10^-6 + ... = $\frac{{10}^{-2}}{1-{10}^{-2}}=\frac{1}{99}$.

Vậy 1,(12) = $1+12.\frac{1}{99}=\frac{33}{33}+\frac{4}{33}=\frac{37}{33}$.

b) Ta có: 3,(102) = 3,102102102... = 3 + 0,102 + 0,000102 + 0,000000102 + ...

= 3 + 102 . 10^-3 + 102 . 10^-6 + 102 . 10^-9 + ...

= 3 + 102 . (10^-3 + 10^-6 + 10^-9 + ...)

Do 10^-3 + 10^-6 + 10^-9 + ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 10^-3 và q = 10^-3 nên

10^-3 + 10^-6 + 10^-9 + ... = $\frac{{10}^{-3}}{1-{10}^{-3}}=\frac{1}{999}$.

Vậy 3,(102) = 3 + $102.\frac{1}{999}=3+\frac{34}{333}=\frac{1033}{333}$.

Bài 5.5 trang 109 Toán 11 Tập 1: Một bệnh nhân hằng ngày phải uống một viên thuốc 150 mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.

Lời giải:

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày đầu tiên là 150 mg.

Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%.

Do đó, lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ hai là

150 + 150 . 5% = 150(1 + 0,05).

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ ba là

150 + 150(1 + 0,05) . 5% = 150 + 150(0,05 + 0,05²) = 150(1 + 0,05 + 0,05²)

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ tư là

150 + 150(1 + 0,05 + 0,05²) . 5% = 150(1 + 0,05 + 0,05² + 0,05³)

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ năm là

150 + 150(1 + 0,05 + 0,05² + 0,05³) . 5% = 150(1 + 0,05 + 0,05² + 0,05³ + 0,05⁴)

= 157,8946875 (mg).

Cứ tiếp tục như vậy, ta ước tính lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài là

S = 150(1 + 0,05 + 0,05² + 0,05³ + 0,05⁴ + ...)

Lại có 1 + 0,05 + 0,05² + 0,05³ + 0,05⁴ + ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u₁ = 1 và công bội q = 0,05.

Do đó, 1 + 0,05 + 0,05² + 0,05³ + 0,05⁴ + ... = $\frac{u_1}{1-q}=\frac{1}{1-0,05}=\frac{20}{19}$.

Suy ra S = $150\cdot \frac{20}{19}=\frac{400}{361}$.

Bài 5.6 trang 109 Toán 11 Tập 1: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng α (H.5.3). Từ A kẻ AA₁ ⊥ BC, từ A₁ kẻ A₁A₂ ⊥ AC, sau đó lại kẻ A₂A₃ ⊥ BC. Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn AA₁A₂A₃... Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và α.

Lời giải:

Tam giác AA₁B vuông tại A₁ có AB = h và .

Do đó, AA₁ = AB sinB = h sin α.

Ta có: $\hat{B}+\widehat{BA{A}_1}=90°$ và $\widehat{A_{1}A{A}_2}+\widehat{BA{A}_1}=90°$, suy ra $\widehat{A_{1}A{A}_2}=\hat{B}=\alpha$.

Tam giác AA₁A₂ vuông tại A₂ nên A₁A₂ = AA₁ sin$\widehat{A_{1}A{A}_2}$ = h sin α . sin α = h sin² α.

Vì AB ⊥ AC và A₁A₂ ⊥ AC nên AB // A₁A₂, suy ra $\widehat{A_2{A}_1{A}_3}=\hat{B}=\alpha$ (2 góc đồng vị).

Tam giác A₁A₂A₃ vuông tại A₃ nên A₂A₃ = A­₁A₂ . sin$\widehat{A_2{A}_1{A}_3}$ = h sin² α . sin α = h sin³ α.

Vì AA₁ ⊥ BC và A₂A₃ ⊥ BC nên AA₁ // A₂A₃, suy ra $\widehat{A_3{A}_2{A}_4}=\widehat{A_{1}A{A}_2}=\alpha$.

Tam giác A₂A₃A₄ vuông tại A₄ nên A₃A₄ = A₂A₃ . sin$\widehat{A_3{A}_2{A}_4}$ = h sin³ α . sin α = h sin⁴ α.

Cứ tiếp tục như vậy, ta xác định được A_{n – 1}A_n = h sinⁿ α.

Ta có: AA₁A₂A₃... = AA₁ + A₁A₂ + A₂A₃ + ... + A_{n – 1}A_n + ...

= h sin α + h sin² α + h sin³ α + ... + h sinⁿ α + ...

Vì góc B là góc nhọn nên sin B = sin α < 1, do đó |sin α| < 1.

Khi đó, độ dài của đường gấp khúc vô hạn AA₁A₂A₃... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u₁ = h sin α và công bội q = sin α.

Do đó, AA₁A₂A₃... = $\frac{u_1}{1-q}=\frac{h\sin \alpha }{1-\sin \alpha }$.