Với lời giải Toán 11 trang 108 Tập 1 chi tiết trong Bài 15: Giới hạn của dãy số sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số

Luyện tập 4 trang 108 Toán 11 Tập 1: Tính tổng $S=2+\frac{2}{7}+\frac{2}{49}+\mathrm{...}+\frac{2}{7^{n-1}}+\mathrm{...}$

Lời giải:

$S=2+\frac{2}{7}+\frac{2}{49}+\mathrm{...}+\frac{2}{7^{n-1}}+\mathrm{...}$

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 2 và q = $\frac{1}{7}$.

Do đó, $S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{2}{1-\frac{1}{7}}=\frac{7}{3}$.

Vận dụng 2 trang 108 Toán 11 Tập 1: (Giải thích nghịch lí Zeno)

Để đơn giản, ta giả sử Achilles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h và khoảng cách ban đầu là a = 100 (km).

a) Tính thời gian t₁, t₂, ..., t_n, ... tương ứng để Achilles đi từ A₁ đến A₂, từ A₂ đến A₃, ... từ A_n đến A_{n + 1}, ...

b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường A₁A₂, A₂A₃, ..., A­_nA_{n + 1}, ..., tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa.

c) Sai lầm trong lập luận của Zeno là ở đâu?

Lời giải:

Ta có: Achilles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h.

a) Để chạy hết quãng đường từ A₁ đến A₂ với A₁A₂ = a = 100 (km), Achilles phải mất thời gian $t_1=\frac{100}{100}=1$(h). Với thời gian t₁ này, rùa đã chạy được quãng đường A₂A₃ = 1 (km).

Để chạy hết quãng đường từ A₂ đến A₃ với A₂A₃ = 1 (km), Achilles phải mất thời gian $t_2=\frac{1}{100}$(h). Với thời gian t₂ này, rùa đã chạy được quãng đường A₃A₄ = $\frac{1}{100}$ (km).

Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường từ A_n đến A_{n + 1} với A_nA_{n + 1} = $\frac{1}{{100}^{n-2}}$ (km), Achilles phải mất thời gian $t_n=\frac{1}{{100}^{n-1}}$(h). ...

b) Tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường A₁A₂, A₂A₃, ..., A­_nA_{n + 1}, ..., tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa là

$T=1+\frac{1}{100}+\frac{1}{{100}^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{{100}^{n-1}}+\frac{1}{{100}^n}+\mathrm{...}$ (h).

Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 1, công bội , nên ta có

$T=\frac{u_1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{100}}=\frac{100}{99}=1\frac{1}{99}$ (h).

Như vậy, Achilles đuổi kịp rùa sau $1\frac{1}{99}$ giờ.

c) Nghịch lý Zeno chỉ đúng với điều kiện là tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường để đuổi kịp rùa phải là vô hạn, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là khoảng thời gian mà anh bắt kịp được rùa.

4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

HĐ5 trang 108 Toán 11 Tập 1: Nhận biết giới hạn vô cực

Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số lượng ban đầu là 50. Sau mỗi chu kì 4 giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi.

a) Dự đoán công thức tính số vi khuẩn u_n sau chu kì thứ n.

b) Sau bao lâu, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000?

Lời giải:

a) Ta có số lượng ban đầu của vi khuẩn là u₀ = 50.

Sau chu kì thứ nhất, số lượng vi khuẩn là u₁ = 2u₀ = 2 . 50.

Sau chu kì thứ hai, số lượng vi khuẩn là u₂ = 2u₁ = 2 . 2 . 50 = 2² . 50.

Cứ tiếp tục như vậy, ta dự đoán được sau chu kì thứ n, số lượng vi khuẩn là u_n = 2ⁿ . 50.

b) Giả sử sau chu kì thứ k, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000.

Khi đó ta có u_k = 2^k . 50 > 10 000 ⇔ 2^k > 200.