Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Hệ thức Vi-ét và ứng dụng hay, chi tiết cùng với bài tập chọn lọc có đáp án giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 9.

Toán 9 Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

A. Lý thuyết Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

1. Hệ thức vi – ét

Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép thì ta đều có thể viết được dưới dạng:

Khi đó nếu x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì ta có:

2. Ứng dụng của định lý Vi – ét

a) Tính nhẩm nghiệm

    + Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = 1 và nghiệm còn lại là x₂ = c/a

    + Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = -1 và nghiệm còn lại là x₂ = -c/a

b) Tìm hai số khi biết tổng và tích.

    + Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình bậc hai x² - Sx + P = 0

    + Điều kiện để có hai số đó là S² - 4P ≥ 0

3. Ví dụ cụ thể

Câu 1: Cho phương trình x² - 3x + 2 = 0. Tính giá trị của biểu thức P = 2(x₁ + x₂) - x₁.x₂

Hướng dẫn:

Ta có: Δ = (-3)² - 4.1.2 = 1 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có:

Khi đó P = 2(x₁ + x₂) - x₁.x₂ = 2.3 - 2 = 4. Vậy P = 4

Câu 2: Tìm hai số khi biết tổng hai số đó là S = 5 và tích của hai số đó là P = 6 ?

Hướng dẫn:

Gọi x₁, x₂ là hai số cần tìm, khi đó x₁, x₂ là nghiệm của phương trình x² - 5x + 6 = 0

Ta có Δ = (-5)² - 4.1.6 = 25 - 24 = 1 > 0

Khi đó phương trình có hai nghiệm là:

Vậy hai số cần tìm là 3 và 2.

B. Bài tập tự luận

Câu 1: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 5 và tích của chúng bằng 6.

Gọi hai số đó là x₁ và x₂

Vậy hai số cần tìm là 2 và 3.

Câu 2: Tìm hai số biết hiệu của chúng bằng 11 và tích của chúng bằng 60.

Gọi hai số cần tìm là a, b