Với lời giải Toán 11 trang 51 Tập 1 chi tiết trong Bài 6: Cấp số cộng sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 6: Cấp số cộng

Bài 2.8 trang 51 Toán 11 Tập 1: Xác định công sai, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số cộng sau:

a) 4, 9, 14, 19, ...;

b) 1, – 1, – 3, – 5, ....

Lời giải:

a) Ta có: công sai của cấp số cộng đã cho là d = 9 – 4 = 5.

Số hạng đầu của cấp số cộng là u₁ = 4.

Số hạng thứ 5 của cấp số cộng là u₅ = u₁ + (5 – 1)d = 4 + 4 . 5 = 24.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng là

u_n = u₁ + (n – 1)d = 4 + (n – 1) . 5 = 4 + 5n – 5 = 5n – 1 hay u_n = 5n – 1.

Số hạng thứ 100 của cấp số cộng là u₁₀₀ = 5 . 100 – 1 = 499.

b) Ta có: công sai của cấp số cộng đã cho là d = – 1 – 1 = – 2.

Số hạng đầu của cấp số cộng là u₁ = 1.

Số hạng thứ 5 của cấp số cộng là u₅ = u₁ + (5 – 1)d = 1 + 4 . (– 2) = – 7.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng là

u_n = u₁ + (n – 1)d = 1 + (n – 1) . (– 2) = 1 – 2n + 2 = – 2n + 3 hay u_n = – 2n + 3.

Số hạng thứ 100 của cấp số cộng là u₁₀₀ = (– 2) . 100 + 3 = – 197.

Bài 2.9 trang 51 Toán 11 Tập 1: Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số (u_n) sau và xét xem nó có phải là cấp số cộng không. Nếu dãy số đó là cấp số cộng, hãy tìm công sai d và viết số hạng tổng quát của nó dưới dạng u_n = u₁ + (n – 1)d.

a) u_n = 3 + 5n;

b) u_n = 6n – 4;

c) u₁ = 2, u_n = u_{n – 1} + n;

d) u₁ = 2, u_n = u_{n – 1} + 3.

Lời giải:

a) u_n = 3 + 5n

+) Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) là:

u₁ = 3 + 5 . 1 = 8;

u₂ = 3 + 5 . 2 = 13;

u₃ = 3 + 5 . 3 = 18;

u₄ = 3 + 5 . 4 = 23;

u₅ = 3 + 5 . 5 = 28.

+) Ta có: u_n – u_{n – 1} = (3 + 5n) – [3 + 5(n – 1)] = 5, với mọi n ≥ 2.

Do đó dãy số (u_n) là một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 8 và công sai d = 5.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng này là u_n = u₁ + (n – 1)d = 8 + (n – 1). 5.

b) u_n = 6n – 4

+) Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) là:

u₁ = 6 . 1 – 4 = 2;

u₂ = 6 . 2 – 4 = 8;

u₃ = 6 . 3 – 4 = 14;

u₄ = 6 . 4 – 4 = 20;

u₅ = 6 . 5 – 4 = 26.

+) Ta có: u_n – u_{n – 1} = (6n – 4) – [6(n – 1) – 4] = 6, với mọi n ≥ 2.

Do đó dãy số (u_n) là một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 6.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng này là u_n = u₁ + (n – 1)d = 2 + (n – 1). 6.

c) u₁ = 2, u_n = u_{n – 1} + n

+) Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) là:

u₁ = 2;

u₂ = u₁ + 2 = 2 + 2 = 4;

u₃ = u₂ + 3 = 4 + 3 = 7;

u₄ = u₃ + 4 = 7 + 4 = 11;

u₅ = u₄ + 5 = 11 + 5 = 16.

Ta có: u_n = u_{n – 1} + n ⇔ u_n – u_{n – 1} = n, do n luôn thay đổi nên hiệu hai số hạng liên tiếp của dãy số (u_n) thay đổi.

Vậy dãy số (u_n) không phải là cấp số cộng.

d) u₁ = 2, u_n = u_{n – 1} + 3

+) Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) là:

u₁ = 2;

u₂ = u₁ + 3 = 2 + 3 = 5;

u₃ = u₂ + 3 = 5 + 3 = 8;

u₄ = u₃ + 3 = 8 + 3 = 11;

u₅ = u₄ + 3 = 11 + 3 = 14.

Ta có: u_n = u_{n – 1} + 3 ⇔ u_n – u_{n – 1} = 3, với mọi n ≥ 2.

Do đó dãy số (u_n) là một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 3.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng này là u_n = u₁ + (n – 1)d = 2 + (n – 1). 3.

Bài 2.10 trang 51 Toán 11 Tập 1: Một cấp số cộng có số hạng thứ 5 bằng 18 và số hạng thứ 12 bằng 32. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số cộng này.

Lời giải:

Ta biểu diễn số hạng thứ 5 và số hạng thứ 12 theo số hạng thứ nhất u₁ và công sai d.

Ta có: u₅ = u₁ + (5 – 1)d hay 18 = u₁ + 4d.

u₁₂ = u₁ + (12 – 1)d hay 32 = u₁ + 11d.

Khi đó ta có hệ phương trình  .

Số hạng thứ 50 của cấp số cộng là u₅₀ = u₁ + (50 – 1)d = 10 + 49 . 2 = 108.

Bài 2.11 trang 51 Toán 11 Tập 1: Một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 5 và công sai bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để có tổng bằng 2 700?

Lời giải:

Cấp số cộng có u₁ = 5 và d = 2. Giả sử tổng của n số hạng đầu bằng 2 700. Khi đó ta có:

S_n = $\frac{n}{2}\left(2u_1+\left(n-1\right)d\right)=\frac{n}{2}\left(2.5+\left(n-1\right).2\right)=2700$ .

Do đó, $\frac{n}{2}\left(2.5+\left(n-1\right).2\right)=2700$

⇔ n(10 + 2n – 2) = 5 400

⇔ n(2n + 8) – 5 400 = 0

⇔ 2n² + 8n – 5 400 = 0

Vậy tổng của 50 số hạng đầu của cấp số cộng đã cho bằng 2 700.

Bài 2.12 trang 51 Toán 11 Tập 1: Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là 680 triệu đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá của chiếc ô tô giảm 55 triệu đồng. Tính giá còn lại của chiếc xe sau 5 năm sử dụng.

Lời giải:

Giá của chiếc xe ô tô sau một năm sử dụng là 680 – 55 = 625 (triệu đồng)

Giá của chiếc xe ô tô sau mỗi năm sử dụng lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu là u₁ = 625 và công sai d = – 55 (do giá xe giảm).

Do đó, giá của chiếc ô tô sau 5 năm sử dụng là

u₅ = u₁ + (5 – 1)d = 625 + 4 . (– 55) = – 405 (triệu đồng).

Bài 2.13 trang 51 Toán 11 Tập 1: Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba, và cứ như vậy (số ghế ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ở hàng liền kề trước nó). Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế?

Lời giải:

Số ghế ở mỗi hàng của hội trường lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 15 và công sai d = 3. Giả sử cần thiết kế tối thiếu n hàng ghế để hội trường có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi.

Ta có: S_n = $\frac{n}{2}\left(2u_1+\left(n-1\right)d\right)=\frac{n}{2}\left(2.15+\left(n-1\right).3\right)\ge 870$

Do đó, n(30 + 3n – 3) ≥ 1 740

⇔ n(3n + 27) – 17 40 ≥ 0

⇔ 3n² + 27n – 1 740 ≥ 0

Vậy cần thiết kế tối thiểu 20 hàng ghế để thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 2.14 trang 51 Toán 11 Tập 1: Vào năm 2020, dân số của một thành phố là khoảng 1,2 triệu người. Giả sử mỗi năm, dân số của thành phố này tăng thêm khoảng 30 nghìn người. Hãy ước tính dân số của thành phố này vào năm 2030.

Lời giải:

Ta có: 1,2 triệu người = 1 200 nghìn người.

Dân số mỗi năm của thành phố từ năm 2020 đến năm 2030 lập thành một cấp số cộng, gồm 11 số hạng (2030 – 2020 + 1 = 11), với số hạng đầu u₁ = 1 200 và công sai d = 30.

Ta có: u₁₁ = u₁ + (11 – 1)d = 1 200 + 10 . 30 = 1 500.

Vậy dân số của thành phố này vào năm 2030 khoảng 1 500 nghìn người hay 1,5 triệu người.