Giải SBT Toán 10 trang 65 Tập 1 Kết nối tri thức

2.4 K

Với lời giải SBT Toán 10 trang 65 Tập 1 chi tiết trong Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 4.29 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1.

a) Gọi M là trung điểm của BC. Tính tích vô hướng của các cặp vectơ MA và BA ,MA và AC

b) Gọi N là điểm đối xứng với B qua C. Tính tích vô hướng AM.AN.

c) Lấy điểm P thuộc đoạn AN sao cho AP = 3PN. Hãy biểu thị các vectơ AP,MP theo hai vectơ AB và AC. Tính độ dài đoạn MP.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

a) Tam giác ABC đều có M là trung điểm của BC nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác và đường cao.

BAM^=MAC^=12BAC^=12.60°=30°

Gọi Ax là tia đối của tia AM, tia Ay là tia đối của tia AB.

Do đó MA;BA=xAy^=BAM^=30°

MA;AC=xAC^=180°MAC^

MA;AC=180°30°=150°

Khi đó ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Xét tam giác BAM vuông tại M, theo định lí Pythagoras ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy MA.BA=34 và MA.AC=34.

b) • Vì M là trung điểm của BC nên AB+AC=2AM

AM=12AB+AC

• N đối xứng với B qua C nên C là trung điểm của BN

AB+AN=2ACAN=2ACAB

Khi đó 

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Mà AB.AC=AB.AC.cosAB.AC

=AB.AC.cosBAC^=1.1.cos60°=12.

Do đó 

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy AM.AN=34

c) • Vì P thuộc đoạn thẳng AN thỏa mãn AP = 3PN  

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

• Ta có: 

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy AP=32AC34AB;MP=AC54AB và MP=214.

Bài 4.30 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, BC=2. Gọi M là trung điểm của AD.

a) Chứng minh rằng các đường thẳng AC và BM vuông góc với nhau.

b) Gọi H là giao điểm của AC, BM. Gọi N là trung điểm của AH và P là trung điểm của CD. Chứng minh rằng tam giác NBP là một tam giác vuông.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

a) Đặt AB=a,AD=b khi đó a=1 và b=2.

Vì AB  AD nên aba.b=0

ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành nên ta có:

AC=AB+AD=a+b (quy tắc hình bình hành)

M là trung điểm của AD nên AM=12AD=12b

Suy ra BM=AMAB=12ba

Khi đó AC.BM=a+b.12ba

 

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

 

Do đó AC.BM=0ACBM

Þ AC  BM.

b) • Xét tam giác ABC vuông tại C, theo định lí Pythagore ta có:

AC2 = AB2 + BC2 = 1 + 22= 3

AC=3

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AB2 = AH.AC 

 

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

 

Khi đó HC=23AC và HA=13AC

Ta có NB=NA+AB (quy tắc ba điiểm)

Vì N là trung điểm của AH nên 

 

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

 

• Có N là trung điểm của HA và P là trung điểm của CD, theo kết quả bài 4.12, trang 58, Sách giáo khoa Toán 10, tập một, ta có:

 

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

 

Khi đó 

 

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Do đó NB.NP=0NBNP

Þ NB  NP.

Bài 4.31 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC có A^<90°. Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:

a) AM vuông góc với DE;

b) BE vuông góc với CD;

c) Tam giác MNP là một tam giác vuông cân.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

a) +) Vì M là trung điểm của BC nên AB+AC=2AM

AM=12AB+AC

+) Theo quy tắc ba điểm ta có: DE=AEAD

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Mà AB  AD nên AB.AD=0

Và AC  AE nên AC.AE=0

Do đó AM.DE=12AB.AEAC.AD

Ta có:

• AB.AE=AB.AE.cosBAE^

Và AC.AD=AC.AD.cosCAD^

• AB = AD (do ∆ABD vuông cân tại A)

Và AC = AE (do ∆ACE vuông cân tại A)

• BAE^=BAC^+CAE^=BAC^+90°

Và CAD^=BAC^+BAD^=BAC^+90°

BAE^=CAD^

Do đó 

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

b) Ta có: 

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Ta có:

• AE.AD=AE.AD.cosDAE^

Và AB.AC=AB.AC.cosBAC^

• AB = AD và AC = AE

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Þ BE  CD.

c) Ta có: 

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Þ BE = CD                             (1)

Xét tam giác BCD có M, N lần lượt là trung điểm của BC, BD

Nên MN là đường trung bình của ∆BCD

MN=12CD và MN // CD    (2)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

MP là đường trung bình của ∆BCE

MP=12BE và MP // BE      (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MN = MP.

Vì BE  CD (câu b), MN // CD và MP // BE

Nên MN  MP

NMP^=90°

Tam giác MNP có MN = MP và NMP^=90°

Suy ra tam giác MNP là tam giác vuông cân tại M.

Bài 4.32 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho hai vectơ a và b thoả mãn a=6,b=8 và a+b=10.

a) Tính tích vô hướng a.a+b.

b) Tính số đo của góc giữa hai vectơ a và a+b.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Gọi ba điểm A, B, C sao cho AB=a,BC=b

Khi đó a+b=AB+BC=AC

Và AB = 6, BC = 8 và AC = 10.

Xét tam giác ABC có:

• AB2 + BC2 = 62 + 82 =100

AC2 = 102 = 100

Þ AB2 + BC2 = AC2

Do đó tam giác ABC vuông tại B (định lí Pythagore đảo)

• cosBAC^=ABAC=610=35 

a) Ta có a.a+b=AB.AC

=AB.ACcosBAC^

=6.10.35=36

Vậy a.a+b=36.

b) cosa;a+b=cosBAC^=35

BAC^53°7'48''

Vậy a;a+b53°7'48''.

Bài 4.33 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC không cân. Gọi D, E, F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A, B, C; gọi M, N, P tương ứng là trung điềm các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng

MD.BC+NE.CA+PF.AB=0

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Gọi H và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

• Vì D, M lần lượt là hình chiếu của H và O lên BC, nên MD là hình chiếu của OH trên giá của BC

Theo định lí hình chiếu (được giới thiệu ở phần Nhận xét của Ví dụ 2, trang 62, Sách Bài tập Toán 10, tập một) ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

MD.BC+NE.CA+PF.AB

=OH.OCOH.OB+OH.OAOH.OC+OH.OBOH.OA

= 0

Vậy MD.BC+NE.CA+PF.AB=0.

Bài 4.34 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3).

a) Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.

b) Tìm toạ độ của điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A.

Lời giải:

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên AB  AC hay ABAC

Do đó AB.AC=0

Giả sử C(x; 0) là điểm thuộc trục hoành.

Với A(2; 1), B(4; 3) và C(x; 0) ta có:

AB=2;2 và AC=x2;1

Khi đó AB.AC=0 Û 2(x – 2) + 2(–1) = 0

Û 2x – 4 – 2 = 0

Û 2x = 6

Û x = 3

Vậy C(3; 0).

AC=1;1

Ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

(theo định lí Pythagore)

Khi đó chu vi tam giác ABC là:

AB + AC + BC = 22+2+10=32+10(đơn vị độ dài)

Diện tích tam giác ABC là:

12.AB.AC=12.22.2=2 (đơn vị diện tích)

b) Tam giác ABD vuông cân tại A nên AB  AD và AB = AD

• Với AB  AD ta có ABAD

Mà ABAC (theo câu a)

Nên AD cùng phương với AC

Gọi D(a; b) là tọa độ điểm D cần tìm.

AD=a2;b1

Mà AC=1;1

Do đó AD cùng phương với AC khi và chỉ khi:

a21=b11 Û a – 2 = 1 – b

Û b – 1 = 2 – a               (4)

• Với AB = AD ta có AB2 = AD2

222=a22+b12 

Û 8 = (a – 2)2 + (2 – a)2 (do b – 1 = 2 – a)

Û 8 = 2.(a – 2)2

Û (a – 2)2 = 4

a2=2a2=2

a=4a=0

Với a = 4 thì b – 1 = 2 – 4 Þ b = –1 ta có điểm D1(4; –1).

Với a = 0 thì b – 1 = 2 – 0 Þ b = 3 ta có điểm D2(0; 3).

Vậy có hai điểm D thỏa mãn yêu cầu đề bài là D1(4; –1) và D2(0; 3).

Bài 4.35 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 4) và C(9; 2) là hai đỉnh của hình vuông ABCD. Tìm toạ độ các đỉnh B, D, biết rằng tung độ của B là một số âm.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Gọi I là giao điểm của AC và BD

Vì ABCD là hình vuông nên ta có: I là trung điểm của AC; AC = BD và AC  BD tại I.

• I là trung điểm của AC nên:

xI=1+92=5yI=4+22=3Þ I(5; 3)

Giả sử B(x; y) (y < 0) và D(a; b)

Vì I là trung điểm của BD nên ta có:

5=x+a23=y+b2a=10xb=6y Þ D(10 – x; 6 – y)

Với A(1; 4); C(9; 2); B(x; y) và D(10 – x; 6 – y) ta có:

AC=8;2 và BD=102x;62y

• AC  BD ACBDAC.BD=0

Û 8.(10 – 2x) + (–2).(6 – 2y) = 0

Û 80 – 16x – 12 + 4y = 0

Û 4y = 16x – 68

Û y = 4x – 17 (với y < 0)

• AC = BD Û AC2 = BD2

Û 82 + (–2)2 = (10 – 2x)2 + (6 – 2y)2

Û 64 + 4 = (10 – 2x)2 + [6 – 2(4x – 17)]2

Û (10 – 2x)2 + (6 – 8x + 34)= 68

Û (10 – 2x)2 + (40 – 8x)= 68

Û 4.(x – 5)+ 64.(x – 5)2 = 68

Û (x – 5)= 1

x5=1x5=1

x=6x=4

Với x = 6 ta có y = 4.6 – 17 = 7 (không thỏa mãn y < 0)

Với x = 4 ta có y = 4.4 – 17 = –1 (thỏa mãn y < 0)

Khi đó ta có điểm B(4; –1)

Mà D(10 – x; 6 – y) nên D(6; 7).

Vậy B(4; –1) và D(6; 7).

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải SBT Toán 10 trang 66 Tập 1

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập cuối chương 4

Bài 12: Số gần đúng và sai số

Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Đánh giá

0

0 đánh giá