Giải Toán 8 Bài 1: Nhân đơn thức với đa thức

hoa Ngày: 22-09-2022 Lớp 8

2.6 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 8 Bài 1: Nhân đơn thức với đa thức, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Nhân đơn thức với đa thức lớp 8

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 1: Nhân đơn thức với đa thức

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 4 sgk Toán 8 Tập 1:- Hãy viết một đơn thức và một đa thức tùy ý.

- Hãy nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức vừa viết.

- Hãy cộng các tích tìm được.

Lời giải:

- Đơn thức là: $x^{2}$ và đa thức là: $x^{2} + x + 1$

- Ta có:

$\begin{aligned} x^{2} . (x^{2} + x + 1) \\ = x^{2} . x^{2} + x^{2} . x + x^{2} .1 \\ = x^{2 + 2} + x^{2 + 1} + x^{2} \\ = x^{4} + x^{3} + x^{2} \end{aligned}$

Khi đó đa thức $x^{4} + x^{3} + x^{2}$ là tích của đơn thức $x^{2}$ và đa thức $x^{2} + x + 1$

Trả lời câu hỏi 2 trang 5 sgk Toán 8 Tập 1: Làm tính nhân:

$(3 x^{3} y - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{5} x y) .6 x y^{3}$

Lời giải:

$(3 x^{3} y - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{5} x y) . 6 x y^{3} = 3 x^{3} y . 6 x y^{3} + (- \frac{1}{2} x^{2}) . 6 x y^{3} + \frac{1}{5} x y . 6 x y^{3} = 18 x^{3 + 1} y^{1 + 3} - 3 x^{2 + 1} y^{3} + \frac{6}{5} x^{1 + 1} y^{1 + 3} = 18 x^{4} y^{4} - 3 x^{3} y^{3} + \frac{6}{5} x^{2} y^{4}$

Trả lời câu hỏi 3 trang 5 sgk Toán 8 Tập 1: Một mảnh vườn hình thang có hai đáy bằng

(5 x + 3)

mét và

(3 x + y)

mét, chiều cao bằng

2 y

mét.

- Hãy viết biểu thức tính diện tích mảnh vườn nói trên theo $x$ và $y .$

- Tính diện tích mảnh vườn nếu cho $x = 3$ mét và $y = 2$ mét.

Lời giải:

– Biểu thức tính diện tích mảnh vườn trên theo $x$ và $y$ là:

$\begin{aligned} S = \frac{1}{2} [(5 x + 3) + (3 x + y)] .2 y \\ = (8 x + y + 3) . y \\ = 8 x y + y . y + 3 y \\ = 8 x y + y^{2} + 3 y \end{aligned}$

– Nếu $x = 3$ mét và $y = 2$ mét thì diện tích mảnh vườn là:

$S = 8.3.2 + 2^{2} + 3.2 = 58 (m^{2}) .$

Câu hỏi và bài tập (trang 5, 6 sgk Toán 8 Tập 1)

Bài 1 trang 5 sgk Toán 8 Tập 1: Làm tính nhân:

a) $x^{2} (5 x^{3} - x - \frac{1}{2})$ ;

(3 x y - x^{2} + y) \frac{2}{3} x^{2} y

;

c) $(4 x^{3} - 5 x y + 2 x) (- \frac{1}{2} x y)$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng: Quy tắc nhân đơn thức với đa thức: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

Lời giải:

$\begin{aligned} x^{2} (5 x^{3} - x - \frac{1}{2}) \\ = x^{2} .5 x^{3} + x^{2} . (- x) + x^{2} . (- \frac{1}{2}) \\ = 5 x^{5} - x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} \end{aligned}$

Bài 2 trang 5 sgk Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép nhân, rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:

a) $x (x - y) + y (x + y)$ tại $x = - 6$ và $y = 8$ ;

x (x^{2} - y) - x^{2} (x + y) + y (x^{2} - x)

tại

x = \frac{1}{2}

và

y = - 100

Phương pháp giải:

Áp dụng:

- Quy tắc nhân đơn thức với đa thức: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng số hạng của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

- Sau khi rút gọn ta thay các giá trị tương ứng của $x$ và $y$ để tìm giá trị của biểu thức đó.

Lời giải:

$\begin{aligned} x (x - y) + y (x + y) \\ = x . x + x . (- y) + y . x + y . y \\ = x^{2} - x y + y x + y^{2} \\ = x^{2} + y^{2} \end{aligned}$

Với $x = - 6, y = 8$ biểu thức có giá trị là ${(- 6)}^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$

$\begin{aligned} x (x^{2} - y) - x^{2} (x + y) + y (x^{2} - x) \\ = x . x^{2} + x . (- y) + (- x^{2}) . x + (- x^{2}) . y + y . x^{2} + y . (- x) \\ = x^{3} - x y - x^{3} - x^{2} y + y x^{2} - y x \\ = (x^{3} - x^{3}) + (- x y - y x) + (- x^{2} y + y x^{2}) \\ = - 2 x y \end{aligned}$

Với $x = \frac{1}{2}, y = - 100$ biểu thức có giá trị là $- 2 . \frac{1}{2} . (- 100) = 100$ .

Bài 3 trang 5 sgk Toán 8 Tập 1: Tìm

x

, biết:

a) $3 x (12 x - 4) - 9 x (4 x - 3) = 30$ ;

Phương pháp giải:

Áp dụng:

- Quy tắc nhân đơn thức với đa thức để nhân phá ngoặc.

- Nhóm các hạng tử đồng dạng rồi rút gọn.

- Tìm $x$ .

Lời giải:

Vậy $x = 2$ .

b) $x (5 - 2 x) + 2 x (x - 1) = 15.$

Phương pháp giải:

Áp dụng:

- Quy tắc nhân đơn thức với đa thức để nhân phá ngoặc.

- Nhóm các hạng tử đồng dạng rồi rút gọn.

- Tìm $x$ .

Lời giải:

Vậy $x = 5.$

Bài 4 trang 5 sgk Toán 8 Tập 1: Đoán tuổi

Bạn hãy lấy tuổi của mình:

- Cộng thêm $5$ ;

- Được bao nhiêu đem nhân với $2$ ;

- Lấy kết quả trên cộng với $10$ ;

- Nhân kết quả vừa tìm được với $5$ ;

- Đọc kết quả cuối cùng sau khi đã trừ đi $100$ .

Tôi sẽ đoán được tuổi của bạn. Giải thích tại sao.

Lời giải

Giả sử tuổi bạn là $x$ . Đem tuổi của mình:

+ Cộng thêm $5$ ta được $x + 5$

+ Được bao nhiêu đem nhân với $2$ ta được $(x + 5) .2$

+ Lấy kết quả trên cộng với $10$ ta được $(x + 5) .2 + 10$

+ Nhân kết quả vừa tìm được với $5$ ta được $[(x + 5) .2 + 10] .5$

+ Đọc kết quả cuối cùng sau khi đã trừ đi $100$ ta được $[(x + 5) .2 + 10] .5 - 100$

Rút gọn biểu thức trên:

$[(x + 5) .2 + 10] . 5 - 100$

$= (2 x + 10 + 10) . 5 - 100$

$= (2 x + 20) . 5 - 100$

$= 10 x + 100 - 100$

$= 10 x$

Thực chất kết quả cuối cùng được đọc lên chính là $10$ lần số tuổi của bạn

Vì vậy, khi đọc kết quả cuối cùng, thì tôi chỉ việc bỏ đi một chữ số $0$ ở tận cùng (hoặc chia cho 10) là ra số tuổi của bạn. Chẳng hạn bạn đọc là $130$ thì tuổi của bạn là $13.$

Bài 5 trang 6 sgk Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức:

a) $x (x - y) + y (x - y)$ ;

Phương pháp giải:

- Áp dụng:

+) Quy tắc nhân đơn thức với đa thức.

+) $a^{n} . a^{m} = a^{n + m}$

Lời giải:

$\begin{array}{l} x (x - y) + y (x - y) \\ = x . x + x . (- y) + y . x + y . (- y) \\ = x^{2} - x . y + x . y - y^{2} \\ = x^{2} + (x y - x y) - y^{2} = x^{2} - y^{2} \end{array}$

b) $x^{n - 1} (x + y) - y (x^{n - 1} + y^{n - 1})$ .

Phương pháp giải:

- Áp dụng:

+) Quy tắc nhân đơn thức với đa thức.

+) $a^{n} . a^{m} = a^{n + m}$

Lời giải:

$\begin{array}{l} x^{n - 1} (x + y) - y (x^{n - 1} + y^{n - 1}) \\ = x^{n - 1} . x + x^{n - 1} . y + (- y) . x^{n - 1} + (- y) . y^{n - 1} \\ = x^{n} + (x^{n - 1} . y - x^{n - 1} . y) - y^{n} \\ = x^{n} - y^{n} \end{array}$

Chú ý: $x^{n - 1} . x = x^{n - 1} . x^{1} = x^{n - 1 + 1} = x^{n}$

Bài 6 trang 6 sgk Toán 8 Tập 1: Đánh dấu x vào ô mà em cho là đáp án đúng:

Giá trị của biểu thức $a x (x - y) + y^{3} (x + y)$ tại $x = - 1$ và $y = 1$ ( $a$ là hằng số) là

Lời giải:

Thay $x = - 1, y = 1$ vào biểu thức $a x (x - y) + y^{3} (x + y)$ , ta được:

$a . (- 1) . (- 1 - 1) + 1^{3} . (- 1 + 1)$ $= (- a) . (- 2) + 1.0 = 2 a$

Vậy đánh dấu x vào ô trống tương ứng với $2 a$ .

Lý thuyết nhân đơn thức với đa thức

1. Quy tắc nhân đơn thức với đa thức: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng số hạng của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

Tổng quát:

Cho $A, B, C, D$ là các đơn thức, ta có: $A (B + C - D) = A B + A C - A D .$

Ví dụ:

$\begin{array}{l} x (x^{2} + 1) \\ = x . x^{2} + x .1 \\ = x^{1 + 2} + x \\ = x^{3} + x \end{array}$

2. Các phép tính về lũy thừa

$a^{n} = a . a . . . a (a \in Q, n \in N^{*})$ ( n thừa số a)

$a^{o} = 1 (a \neq 0)$

$a^{n} . a^{m} = a^{n + m}$

$a^{n} : a^{m} = a^{n - m} (n ⩾ m)$

$(a^{m})^{n} = a^{m . n}$

3. Các dạng toán cơ bản

Dạng 1: Thực hiện phép tính (hoặc rút gọn biểu thức)

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức.

Ví dụ:

$\begin{aligned} x^{2} (x + y) + 2 x (x^{2} + y) \\ = x^{2} . x + x^{2} . y + 2 x . x^{2} + 2 x . y \\ = x^{3} + x^{2} y + 2 x^{3} + 2 x y \\ = 3 x^{3} + x^{2} y + 2 x y \end{aligned}$

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức

Phương pháp:

Giá trị của biểu thức $f (x)$ tại $x_{0}$ là $f (x_{0})$

Ví dụ:

Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức: $A = 5 x (x - 4 y) - 4 y (y - 5 x)$ với $x = - \frac{1}{5}; y = - \frac{1}{2}$

Ta có:

$\begin{aligned} A = 5 x (x - 4 y) - 4 y (y - 5 x) \\ \Leftrightarrow A = 5 x . x - 5 x .4 y - 4 y . y - 4 y (- 5 x) \\ \Leftrightarrow A = 5 x^{2} - 20 x y - 4 y^{2} + 20 x y \\ \Leftrightarrow A = 5 x^{2} - 4 y^{2} \end{aligned}$

Tại $x = - \frac{1}{5}$ và $y = - \frac{1}{2}$ ta có:

$A = 5. {(- \frac{1}{5})}^{2} - 4 {(- \frac{1}{2})}^{2} = 5. \frac{1}{25} - 4. \frac{1}{4} = \frac{1}{5} - 1 = - \frac{4}{5}$

Dạng 3: Tìm $x$

Phương pháp:

Sử dụng các quy tắc nhân đơn thức với đa thức để biến đổi đưa về dạng tìm $x$ cơ bản.

Ví dụ:

Tìm x biết:

$6 x (5 x + 3) + 3 x (1 - 10 x) = 7$

Ta có:

$\begin{aligned} 6 x (5 x + 3) + 3 x (1 - 10 x) = 7 \\ \Leftrightarrow 6 x .5 x + 6 x .3 + 3 x .1 - 3 x .10 x = 7 \\ \Leftrightarrow 30 x^{2} + 18 x + 3 x - 30 x^{2} = 7 \\ \Leftrightarrow 21 x = 7 \\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} \end{aligned}$