Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Tuyển tập đề thi học kì 1 Toán 8 Trường Amsterdam, tài liệu bao gồm 117 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tài liệu gồm có

I. Đề thi học kì I

II. Lời giải

Đề thi học kì I trường hà nội – AMSTERDAM

Môn toán lớp 8

Thời gian: 120 phút

Bài 1. (2.5 điểm)

Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{3}{{x + 1}} + \frac{1}{{1 - x}} - \frac{8}{{1 - {x^2}}}} \right):\frac{{1 + 2x}}{{{x^2} - 1}}\)

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị biểu thức A biết [3x + 5] = 2.

c. Tìm số nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên dương.

Bài 2. (2.5 điểm)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

\(a)\,\,4{x^2} - 12xy + 5{y^2}\)

\(b)\,{\left( {x + y + 2z} \right)^2} + {\left( {x + y - z} \right)^2} - 9{z^2}\)

\(c)\,{x^4} + 2019{x^2} + 2018x + 2019\)

Bài 3. (1 điểm)

Tìm các hệ số a, b, c sao cho đa thức \(3{x^2} + a{x^2} + bx + c\) chia hết cho đa thức (x – 2 ) và chi cho đa thức \(\left( {{x^2} - 1} \right)\) được thương và con dư \(( - 7x - 1)\).

Bài 4. (3.5 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn (AB > AC) có góc B bằng 45^o và vẽ đường cao AH. Gọi M là trung điểm AB. P là điểm đối xứng với H qua M.

a) Chứng minh AHBP là hình vuông.

b) Vẽ đường cao BK của tam giác ABC. Chứng minh HP = 2MK.

c) Gọi D là giao điểm AH và BK. Qua D và C vẽ các đường thẳng lần lượt song song với BC và AH sao cho chúng cắt nhau tại Q. Chứng minh P, K, Q thẳng hàng.

d) Chứng minh các đường thẳng CD, AB và PQ đồng quy.

Bài 5. (0,5 điểm)

a) (Chỉ dành cho các lớp 8B, 8C, 8D, 8E)

Cho các số a, b, c khác nhau đôi một và thoả mãn: \({a^2} - 2b = {c^2} - 2a\). Tính giá trị của biểu thức A = (a + b + 2)(b + c + 2)(c + a + 2)

b) (dành cho lớp 8A)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^3} + {y^2} + 2{x^2}{y^2}\) biết rằng x và y là các số thực thoả mãn điều kiện x + y = 1.

Hướng dẫn giải đề thi học kì 1 trường Hà Nội – AMSTERDAM

Môn toán lớp 8

Thời gian: 120 phút

Bài 1. Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{3}{{x + 1}} + \frac{1}{{1 - x}} - \frac{8}{{1 - {x^2}}}} \right):\frac{{1 + 2x}}{{{x^2} - 1}}\)

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị biểu thức A biết [3x + 5] = 2.

c. Tìm số nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên dương.

Lời giải

a) Điều kiện xác định \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne  \pm 1\\x \ne \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

\(A = \left( {\frac{{3\left( {1 - x} \right)}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{1 + x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}} - \frac{8}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}} \right).\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {1 + x} \right)}}{{1 - 2x}}\)

\(A = \left[ {\frac{{3 - 3x + 1 + x - 8}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}} \right].\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {1 + x} \right)}}{{\left( {1 - 2x} \right)}}\)

\(A = \frac{{2x + 4}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}.\frac{{(x - 1)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {1 - 2x} \right)}}\)

\(A = \frac{{2x + 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {1 + x} \right)}}.\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {1 + 2x} \right)}} = \frac{{2x + 4}}{{1 - 2x}}\).

b) Tính giá trị biểu thức A biết \(\left| {3x + 5 = 2} \right|\).

Ta có: \(\left| {3x + 5} \right| = 2 \Leftrightarrow 3x + 5 =  \pm 2 \Leftrightarrow x \in \left\{ { - 1;\frac{7}{3}} \right\}\)

Đối chiếu điều kiện loại x = -1

Thay \(x =  - \frac{7}{3}\) ta tính được \(A =  - \frac{2}{{17}}\).

c) Tìm số nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên dương.

* Tìm x để A nguyên:

Ta có: \(2x + 4 = 5 - \left( {1 - 2x} \right)\)nên \(A = \frac{5}{{1 - 2x}} - 1\)

Để A nguyên khi và chỉ khi 5 chia hết cho \(1 - 2x \Rightarrow 1 - 2x \in \left\{ {1; - 1;5; - 5} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {0;1; - 2;3} \right\}\)

* Đối chiếu điều kiện loại x = 1

* Thử trực tiếp chọn được x = 0

Bài 2. (2.5 điểm)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

\(a)\,\,4{x^2} - 12xy + 5{y^2}\)

\(b)\,{\left( {x + y + 2z} \right)^2} + {\left( {x + y - z} \right)^2} - 9{z^2}\)

\(c)\,{x^4} + 2019{x^2} + 2018x + 2019\)

Lời giải

\(a)\,4{x^2} - 12xy + 5{y^2}\)

Ta có: \(4{x^2} - 12xy + 5{y^2} = \left( {2x - y} \right)\left( {2x - 5y} \right)\)

\(b)\,{\left( {x + y + 2z} \right)^2} + {\left( {x + y - z} \right)^2} - 9{z^2}\)

Ta có:

\[\;{\left( {x + y + 2z} \right)^2} + {\left( {x + y - z} \right)^2} - 9{z^2}\]

\[ = {\left( {x + y + 2z} \right)^2} + \left( {x + y + 2z} \right)\left( {x + y - 4z} \right)\]

\[ = \left( {x + y + 2z} \right)\left( {2x + 2y - 2z} \right)\]

\[ = 2\left( {x + y + 2z} \right)\left( {x + y - z} \right)\]

\(c)\,{x^4} + 2019{x^2} + 2018x + 2019\)

Ta có:

\({x^4} + 2019{x^2} + 2018x + 2019\)

\( = \left( {{x^4} - x} \right) + 2019\left( {{x^2} + x + 1} \right)\)

\( = x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) + 2019\left( {{x^2} + x + 1} \right)\)

\( = \left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 2019} \right)\)

Bài 3. (1 điểm)

Tìm các hệ số a, b, c sao cho đa thức \(3{x^2} + a{x^2} + bx + c\) chia hết cho đa thức (x – 2 ) và chi cho đa thức \(\left( {{x^2} - 1} \right)\) được thương và con dư \(( - 7x - 1)\).

Lời giải

Biểu diễn các phép chia đẳng thức

$3x^4+a{x}^2+bx+c=\left(x-2\right)q_1\left(x\right);\forall x\left(1\right)$

$3^4+a{x}^2+bx+c=\left(x^2-1\right)q_2\left(x\right)-7x-1,\forall x\left(2\right)$

Thay x = 2 vào (1) thu được 4a + 2b + c = -48

Thay x = 1 vào (2) thu được a + b + c = -11

Thay x = -1 vào (2) thu được a – b + c = 3

Giải ra ta được: a = 10, b = -7, c = 6.

Bài 4. (3.5 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn (AB > AC) có góc B bằng 45^o và vẽ đường cao AH. Gọi M là trung điểm AB. P là điểm đối xứng với H qua M.

a) Chứng minh AHBP là hình vuông.

b) Vẽ đường cao BK của tam giác ABC. Chứng minh HP = 2MK.

c) Gọi D là giao điểm AH và BK. Qua D và C vẽ các đường thẳng lần lượt song song với BC và AH sao cho chúng cắt nhau tại Q. Chứng minh P, K, Q thẳng hàng.

d) Chứng minh các đường thẳng CD, AB và PQ đồng quy.

Lời giải

a) Chứng minh AHBP là hình vuông

Vì M là trung điểm của AB và PH nên tức giá AHBP là hình bình hành.

Do \(AH \bot BH\) nên AHBP là hình chữ nhật.

Vì góc \(\widehat {ABH} = {45^o}\) nên  vuông cân tại H

Vậy AHBP là hình vuông

b) Vẽ đường cao BK của tam giác ABC. Chứng minh HP = 2MK.

Sử dụng tính chất đường trung tuyến tam giác vuông  suy ra AB = 2MK

Dùng kết quả câu a suy ra HP = AB do đó HP = 2MK

c) Gọi D là giao điểm AH và BK. Qua D và C vẽ các đường thẳng lần lượt song song với BC và AH sao cho chúng cắt nhau tại A. Chứng minh P, K, Q thẳng hàng.

Từ \(HP = 2MK \Rightarrow \widehat {PKH} = {90^o}\)

Kết hợp để suy ra \(\widehat {PKQ} = {180^o}\) hay Chứng minh P, K, Q thẳng hàng.

d) Chứng minh các đường thẳng CD, AB và PQ đồng quy.

Gọi E là giao điểm của PQ và AB; F trung điểm BC

Ta có: ME // HQ (cùng vuông góc với PH) mà M trung điểm PH nên ME là đường trung bình của tam giác  suy ra E trung điểm của PQ => EF là đường trung bình của hình thanh PBCQ.

 vuông tại E suy ra \(\widehat {BEC} = {90^o}\)

Mặt khác ta có:\(CD \bot AB\) do D là trực tâm tam giác

Như vậy, \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AB\\CE \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow A,D,C\) thẳng hàng

Kết luận: CD, AB và PQ đồng quy.