Bài

Đáp án

Điểm

Bài 1

1a)

\(A = {2018^2} + {2016^2} + {2014^2} + ... + {4^2} + {2^2} - \left( {{{2017}^2} + {{2015}^2} + {{2013}^2} + ... + {3^2} + 1} \right)\)

\(A = \left( {{{2018}^2} - {{2017}^2}} \right) + \left( {{{2016}^2} - {{2015}^2}} \right) + \left( {{{2014}^2} - {{2013}^2}} \right) + ... + \left( {{2^2} - {1^2}} \right)\)

\(A = 2018 + 2017 + 2016 + 2015 + 2014 + 2013 + ... + 2 + 1\)

\(A = \frac{{2018\left( {2018 + 1} \right)}}{2} = 2037171\).

1b)

Ta có

\(\begin{array}{l}x + y + z = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + y + z} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {xy + yz + zx} \right) = 0\end{array}\)

Vì \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 4\)nên \(4 + 2\left( {xy + yz + zx} \right) = 0 \Leftrightarrow xy + yz + zx =  - 2\)

\( \Rightarrow {\left( {xy + yz + zx} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow {x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2} + 2xyz\left( {x + y + z} \right) = 4\)

Vì \(x + y + z = 0\) nên \({x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2} = 4\).

Ta có

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) = 16\\ \Leftrightarrow {x^4} + {y^4} + {z^4} + 2\left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right) = 16\end{array}\)

Mà \({x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2} = 4\) nên \({x^4} + {y^4} + {z^4} = 8\).

Bài

Đáp án

Điểm

Bài 2

2.1a)

Ta có \(C = {n^4} + 6{n^3} + 11{n^2} + 6n + 1\)

\(C = {n^4} + 2{n^2}\left( {3n + 1} \right) + 9{n^2} + 6n + 1\)

\(C = {n^4} + 2{n^2}\left( {3n + 1} \right) + {\left( {3n + 1} \right)^2}\)

\(C = {\left( {{n^2} + 3n + 1} \right)^2}\)

Vì n là số tự nhiên nên C là số chính phương.

2.1b)

\(\begin{array}{l}D = {5^{n + 2}} + {26.5^n} + {8^{2n + 1}} = {25.5^n} + {26.5^n} + {8.64^n}\\ = {51.5^n} + {64.8^n} = {59.5^n} + 8\left( {{{64}^n} - {5^n}} \right)\end{array}\)

Vì \({64^n} - {5^n} \vdots 64 - 5 \vdots 59\) nên \(8\left( {{{64}^n} - {5^n}} \right) \vdots 59\) và \({59.5^n} \vdots 59\) với mọi số tự nhiên n.

Do đó \(D = {5^{n + 2}} + {26.5^n} + {8^{2n + 1}}\) chia hết cho 59 với mọi số tự nhiên n.

2.2

Ta có \({n^5} + 1 \vdots {n^3} + 1 \Rightarrow {n^2}\left( {{n^3} + 1} \right) - \left( {{n^5} + 1} \right) \vdots {n^3} + 1 \Rightarrow {n^2} - 1 \vdots {n^3} + 1\)

\( \Rightarrow \left( {{n^3} + 1} \right) - n\left( {{n^2} - 1} \right) \vdots {n^3} + 1 \Rightarrow n + 1 \vdots {n^3} + 1 \Rightarrow 1 \vdots {n^2} - n + 1\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{n^2} - n + 1 = 1}\\{{n^2} - n + 1 =  - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n \in \left\{ {0;1} \right\}}\\{n \in \emptyset }\end{array}} \right.\)

Sau khi thử lại ta được \(n \in \left\{ {0;1} \right\}\) thì \({n^5} + 1\) chia hết cho \({n^3} + 1\).

Bài

Đáp án

Điểm

3a)

\(VT + 4 = \frac{{2009 - x}}{7} + 1 + \frac{{2007 - x}}{9} + 1 + \frac{{2005 - x}}{{11}} + 1 + \frac{{2003 - x}}{{13}} + 1\)

\(VT + 4 = \frac{{2016 - x}}{7} + \frac{{2016 - x}}{9} + \frac{{2016 - x}}{{11}} + \frac{{2016 - x}}{{13}}\)

\(VP + 4 = \frac{{x - 17}}{{ - 1999}} + 1 + \frac{{x - 15}}{{ - 2001}} + 1 + \frac{{x - 13}}{{ - 2003}} + 1 + \frac{{x - 11}}{{ - 2005}} + 1\)

\(VP + 1 = \frac{{x - 2016}}{{ - 1999}} + \frac{{x - 2016}}{{ - 2001}} + \frac{{x - 2016}}{{ - 2003}} + \frac{{x - 2016}}{{ - 2005}}\)

Do đó

\(\frac{{2016 - x}}{7} + \frac{{2016 - x}}{9} + \frac{{2016 - x}}{{11}} + \frac{{2016 - x}}{{13}} = \frac{{x - 2016}}{{ - 1999}} + \frac{{x - 2016}}{{ - 2001}} + \frac{{x - 2016}}{{ - 2003}} + \frac{{x - 2016}}{{ - 2005}}\)

\( \Leftrightarrow \left( {2016 - x} \right)\left( {\frac{1}{7} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{13}}} \right) = \left( {2016 - x} \right)\left( {\frac{1}{{1999}} + \frac{1}{{2001}} + \frac{1}{{2003}} + \frac{1}{{2005}}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2016 - x = 0 \Leftrightarrow x = 2016\)

3b) ĐKXĐ: \(x \ne  - 1\);\(x \ne 0\).

\(\frac{{x + m}}{{x + 1}} + \frac{{x - 2}}{x} = 2\)  (1) \( \Rightarrow \left( {m - 3} \right)x = 2\) (*)

Phương  trình (1) có nghiệm duy nhất

\( \Leftrightarrow \)Phương trình (*) có nghiệm duy nhất khác -1 và 0.

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 3}\\{\frac{2}{{m - 3}}}\\{\frac{2}{{m - 3}} \ne 0}\end{array}} \right. \ne  - 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 3}\\{2 \ne  - m + 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 3}\\{m \ne 1}\end{array}} \right.\)

Vậy khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 3}\\{m \ne 1}\end{array}} \right.\) thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất.

3c) ĐKXĐ: với mọi x thuộc R.

\(P = \frac{{8x + 3}}{{4{x^2} + 1}} = \frac{{\left( {4{x^2} + 8x + 4} \right) - \left( {4{x^2} + 1} \right)}}{{4{x^2} + 1}} = \frac{{4{{\left( {x + 1} \right)}^2} - \left( {4{x^2} + 1} \right)}}{{4{x^2} + 1}} = \frac{{4{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{4{x^2} + 1}} - 1 \ge  - 1\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\frac{{4{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{4{x^2} + 1}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\).

Vậy GTLN của biểu thức P là 4, đạt được khi \(x = \frac{1}{4}\).

3d) ĐKXĐ: với mọi x thuộc R.

\(Q = 2019 - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 6} \right)\)

\(Q = 2019 - \left( {{x^2} + 5x - 6} \right)\left( {{x^2} + 5x + 6} \right)\)

\(Q = 2019 - \left[ {{{\left( {{x^2} + 5x} \right)}^2} - 36} \right]\)

\(Q = 2055 - {\left( {{x^2} + 5x} \right)^2} \le 2055\)

Dấu “=” xảy ra khi \({x^2} + 5x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x =  - 5\).

Vậy khi \(x = 0\) hoặc \(x =  - 5\) thì biểu thức Q đạt GTLN bằng 2055.

Bài

Đáp án

Điểm

Bài 4

\(f\left( x \right) = \frac{{19{x^5}}}{5} + \frac{{8{x^3}}}{3} + \frac{{27{x^2}}}{2} - \frac{{29x}}{{30}} = \frac{{114{x^5} + 80{x^3} + 405{x^2} - 29x}}{{30}}\)

f(x) nhận giá trị nguyên \( \Leftrightarrow 114{x^5} + 80{x^3} + 405{x^2} - 29x \vdots 30\)

Ta có \(114{x^5} + 80{x^3} + 405{x^2} - 29x\)

\( = \left( {120{x^5} + 90{x^3} + 390{x^2} - 30x} \right) - \left( {6{x^5} + 10{x^3} - 15{x^2} - x} \right)\)

Do đó cần chứng minh \(6{x^5} + 10{x^3} - 15{x^2} - x \vdots 30\)

Ta có \(6{x^5} + 10{x^3} - 15{x^2} - x = 6\left( {{x^5} - x} \right) + 10\left( {{x^3} - x} \right) - 15x\left( {x - 1} \right)\)

Vì \({x^5} - x \vdots 30\); \({x^3} - x \vdots 30\) và \(x\left( {x - 1} \right) \vdots 30\) với mọi số nguyên x

Do đó \(6{x^5} + 10{x^3} - 15{x^2} - x = 6\left( {{x^5} - x} \right) + 10\left( {{x^3} - x} \right) - 15x\left( {x - 1} \right) \vdots 30\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{19{x^5}}}{5} + \frac{{8{x^3}}}{3} + \frac{{27{x^2}}}{2} - \frac{{29x}}{{30}}\) nhận giá trị nguyên khi x là số nguyên.

Bài

Đáp án

Điểm

Hình vẽ

5.1

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:

\(\frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\); \(\frac{{NC}}{{NA}} = \frac{{BC}}{{BA}}\); \(\frac{{PA}}{{PB}} = \frac{{CA}}{{CB}}\)

\( \Rightarrow \frac{{MB}}{{MC}}.\frac{{NC}}{{NA}}.\frac{{PA}}{{PB}} = \frac{{AB}}{{AC}}.\frac{{BC}}{{BA}}.\frac{{CA}}{{CB}} = 1\)   (1)

Kẻ \(AH \bot BC\) và \(IK \bot BC\) (H và K thuộc BC) \( \Rightarrow AH\)// \(IK\)

Áp dụng định lí Ta -lét ta có: \(\frac{{IM}}{{AM}} = \frac{{IK}}{{AH}}\)

Ta lại có \(\frac{{{S_{IBC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{IK}}{{AH}}\), do đó \(\frac{{IM}}{{AM}} = \frac{{{S_{IBC}}}}{{{S_{ABC}}}}\). Tương tự \(\frac{{IN}}{{BN}} = \frac{{{S_{IAC}}}}{{{S_{ABC}}}}\); \(\frac{{IP}}{{CP}} = \frac{{{S_{IAB}}}}{{{S_{ABC}}}}\).

Vậy \(\frac{{IM}}{{AM}} + \frac{{IN}}{{BN}} + \frac{{IP}}{{CP}} = \frac{{{S_{IBC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{IAC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{IAB}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1\)  (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \frac{{MB}}{{MC}}.\frac{{NC}}{{NA}}.\frac{{PA}}{{PB}} = \frac{{IM}}{{AM}} + \frac{{IN}}{{BN}} + \frac{{IP}}{{CP}}\).