Đề thi cuối kì 1 lớp 8: 6 bài luyện phân thức và phân tích
Lớp 8Toán

Đề thi Toán lớp 8 học kì 1 có đáp án: 3 đề mẫu và hướng dẫn giải

Trả lời nhanh

Đề thi cuối kì 1 Toán 8 (chương trình cũ) thường xoay quanh ba mảng: đa thức – hằng đẳng thức, phân thức đại số và tứ giác. Dưới đây là 3 đề mẫu có đáp án, gồm một đề tự luận 90 phút, một đề trắc nghiệm kết hợp tự luận và một bộ bài vận dụng cao, cùng cấu trúc điểm và mẹo ôn tập.

Cấu trúc đề thi Toán 8 học kì 1 thường gặp

Mỗi trường ra đề một kiểu, nhưng đa số bám theo khung sau. Em dựa vào bảng để biết nên dành bao nhiêu thời gian cho từng phần.

Mảng kiến thức Nội dung hay ra Điểm tham khảo
Phép tính với đa thức Nhân, chia đa thức; hằng đẳng thức; phân tích thành nhân tử; tìm x 3 – 4
Phân thức đại số Điều kiện xác định, rút gọn, cộng trừ nhân chia phân thức, giá trị nguyên 2 – 3
Tứ giác Hình thang, hình bình hành, chữ nhật, thoi, vuông; đường trung bình 2,5 – 3
Câu phân loại Giá trị nhỏ nhất/lớn nhất, chia hết, tính giá trị biểu thức có điều kiện 0,5 – 1

Bài hình học thường chiếm 2,5–3 điểm và có 3–4 ý. Hai ý đầu hầu như luôn là chứng minh tứ giác đặc biệt, nên em chắc chắn lấy được nếu nhớ dấu hiệu nhận biết.

Đề 1: Tự luận, thời gian 90 phút

Bài 1 (2 điểm). Thực hiện phép tính:

  1. 3x(x − 2) − (x + 1)(3x − 4)
  2. (6x³y² − 9x²y³) : 3x²y

Bài 2 (2 điểm). Phân tích đa thức thành nhân tử:

  1. 2x²y − 8xy + 8y
  2. x² − y² + 6x + 9

Bài 3 (1,5 điểm). Tìm x:

  1. (x − 3)² − 16 = 0
  2. 2x² − 5x − 3 = 0

Bài 4 (1 điểm). Cho A = (x + 2)/(x − 2) − (x − 2)/(x + 2) − 16/(x² − 4).

  1. Tìm điều kiện xác định và rút gọn A.
  2. Tìm số nguyên x để A nhận giá trị nguyên.

Bài 5 (3 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), M là trung điểm của BC. Kẻ MD ⊥ AB tại D, ME ⊥ AC tại E.

  1. Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật.
  2. Chứng minh D là trung điểm của AB. Gọi N là điểm đối xứng với M qua D, chứng minh tứ giác AMBN là hình thoi.
  3. Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để ADME là hình vuông?

Bài 6 (0,5 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của B = x² − 4x + y² + 2y + 7.

Hình vẽ tam giác ABC vuông tại A với M là trung điểm BC, MD vuông góc AB, ME vuông góc AC
Hình minh hoạ Bài 5 (Đề 1): tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm BC, MD ⊥ AB, ME ⊥ AC; tứ giác ADME là hình chữ nhật.

Đáp án và hướng dẫn Đề 1

Bài 1.

  • a) 3x(x − 2) = 3x² − 6x; (x + 1)(3x − 4) = 3x² − x − 4. Hiệu bằng 3x² − 6x − 3x² + x + 4 = −5x + 4.
  • b) Chia từng hạng tử: 6x³y² : 3x²y = 2xy; 9x²y³ : 3x²y = 3y². Kết quả 2xy − 3y².

Bài 2.

  • a) 2y(x² − 4x + 4) = 2y(x − 2)².
  • b) Nhóm x² + 6x + 9 = (x + 3)², được (x + 3)² − y² = (x + 3 − y)(x + 3 + y).

Bài 3.

  • a) (x − 3)² − 4² = (x − 3 − 4)(x − 3 + 4) = (x − 7)(x + 1) = 0, suy ra x = 7 hoặc x = −1.
  • b) Tách −5x = −6x + x: 2x(x − 3) + (x − 3) = (x − 3)(2x + 1) = 0, suy ra x = 3 hoặc x = −1/2.

Bài 4.

  • a) Điều kiện: x ≠ 2 và x ≠ −2. Quy đồng mẫu x² − 4: tử = (x + 2)² − (x − 2)² − 16 = 8x − 16 = 8(x − 2). Vậy A = 8(x − 2)/[(x − 2)(x + 2)] = 8/(x + 2).
  • b) A nguyên khi (x + 2) là ước của 8: x + 2 ∈ {±1, ±2, ±4, ±8}, tức x ∈ {−1, −3, 0, −4, 2, −6, 6, −10}. Loại x = 2 vì không thoả điều kiện. Đáp số: x ∈ {−10; −6; −4; −3; −1; 0; 6}.

Bài 5.

  • a) Tứ giác ADME có góc A = góc D = góc E = 90°, nên là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông).
  • b) MD ⊥ AB và AC ⊥ AB nên MD // AC. Trong tam giác ABC, M là trung điểm BC và MD // AC nên D là trung điểm AB. Hai điểm D là trung điểm của AB và của MN nên AMBN là hình bình hành; lại có MN ⊥ AB nên AMBN là hình thoi.
  • c) Tương tự E là trung điểm AC. Hình chữ nhật ADME là hình vuông khi AD = AE, tức AB/2 = AC/2, hay AB = AC. Vậy tam giác ABC vuông cân tại A. (Đề cho AB < AC nên điều kiện này chỉ là câu hỏi giả định.)

Bài 6. B = (x − 2)² + (y + 1)² + 2 ≥ 2. Dấu “=” xảy ra khi x = 2, y = −1. Vậy B nhỏ nhất bằng 2.

Đề 2: Trắc nghiệm kết hợp tự luận

Phần I. Trắc nghiệm (3 điểm, mỗi câu 0,5 điểm)

Câu 1. Kết quả của (x − 3)(x + 3) là: A. x² − 6x + 9; B. x² + 9; C. x² − 9; D. x² − 6.

Câu 2. Với x ≠ −1, phân thức (x² − 1)/(x + 1) rút gọn thành: A. x + 1; B. x − 1; C. 1/(x + 1); D. x² − 1.

Câu 3. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là: A. hình bình hành; B. hình chữ nhật; C. hình thoi; D. hình thang cân.

Câu 4. Hình thoi có hai đường chéo dài 6 cm và 8 cm thì cạnh dài: A. 5 cm; B. 7 cm; C. 10 cm; D. 14 cm.

Câu 5. Phân thức 3/(x² − 4x) xác định khi: A. x ≠ 0; B. x ≠ 4; C. x ≠ 0 và x ≠ 4; D. x ≠ 2 và x ≠ −2.

Câu 6. Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 6 cm và 9 cm thì diện tích là: A. 15 cm²; B. 27 cm²; C. 54 cm²; D. 30 cm².

Đáp án và giải thích:

  • Câu 1 – C: hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, (a − b)(a + b) = a² − b². A sai vì là bình phương một hiệu; B, D sai dấu hoặc sai số hạng.
  • Câu 2 – B: x² − 1 = (x − 1)(x + 1), chia cho x + 1 còn x − 1. Em dễ chọn A vì nhầm giữa tử và mẫu.
  • Câu 3 – B: hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật. A thiếu điều kiện “bằng nhau”, C có đường chéo vuông góc chứ không bằng nhau, D không có tính chất trung điểm chung.
  • Câu 4 – A: hai đường chéo của hình thoi vuông góc và cắt nhau tại trung điểm, nên cạnh là cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 3 và 4: √(9 + 16) = 5 (cm). Lỗi hay gặp: lấy luôn 6 + 8 = 14 hoặc quên chia đôi đường chéo.
  • Câu 5 – C: x² − 4x = x(x − 4) ≠ 0 nên x ≠ 0 và x ≠ 4. D sai vì nhầm với x² − 4.
  • Câu 6 – B: S = (6 · 9)/2 = 27 cm². Đừng quên chia 2.

Phần II. Tự luận (7 điểm)

Bài 7 (1,5 điểm). Phân tích thành nhân tử: a) x³ − 4x; b) x² + 2xy + y² − 9.

Bài 8 (1,5 điểm). a) Thực hiện phép chia (2x³ − 5x² + 6x − 15) : (2x − 5). b) Tìm a để đa thức 2x² + x + a chia hết cho x − 1.

Bài 9 (2 điểm). Cho P = (x + 1)/(x − 1) · (x² − 2x + 1)/(x² + x). a) Tìm điều kiện xác định. b) Rút gọn P. c) Tìm số nguyên x để P nguyên.

Bài 10 (2 điểm). Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm BC, I là trung điểm AC, K là điểm đối xứng với M qua I. a) Chứng minh AMCK là hình chữ nhật. b) Chứng minh AKMB là hình bình hành. c) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để AMCK là hình vuông?

Đáp án Đề 2 – phần tự luận

  • Bài 7. a) x(x² − 4) = x(x − 2)(x + 2). b) (x + y)² − 3² = (x + y − 3)(x + y + 3).
  • Bài 8. a) 2x³ − 5x² = x²(2x − 5) và 6x − 15 = 3(2x − 5), nên tử = (2x − 5)(x² + 3). Thương x² + 3, dư 0. b) Đa thức chia hết cho x − 1 khi giá trị tại x = 1 bằng 0: 2 + 1 + a = 0, suy ra a = −3.
  • Bài 9. a) Mẫu khác 0: x ≠ 1, x ≠ 0 và x ≠ −1 (vì x² + x = x(x + 1)). b) P = (x + 1)(x − 1)²/[(x − 1) · x(x + 1)] = (x − 1)/x. c) P = 1 − 1/x nguyên khi x là ước của 1, tức x = 1 hoặc x = −1. Cả hai giá trị đều vi phạm điều kiện xác định, nên không có số nguyên x nào thoả mãn. Đây là bẫy quen thuộc: tìm xong nhớ đối chiếu điều kiện.
  • Bài 10. a) I là trung điểm của AC và MK nên AMCK là hình bình hành. Tam giác ABC cân tại A nên trung tuyến AM cũng là đường cao, góc AMC = 90°. Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật. b) AMCK là hình chữ nhật nên AK // MC và AK = MC. Mà MC = MB, M thuộc BC, nên AK // MB và AK = MB, suy ra AKMB là hình bình hành. c) Hình chữ nhật AMCK là hình vuông khi AM = MC. Vì MC = BC/2 nên AM = BC/2, tức trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh đó, vậy tam giác ABC vuông cân tại A.

Đề 3: Bài vận dụng cao để lấy điểm 9–10

Các bài dưới đây là câu “chốt” cuối đề. Em thử tự làm trước rồi đối chiếu lời giải.

  1. Cho x + y = 5 và xy = 6. Tính x² + y² và x³ + y³.
  2. Cho x² + y² − 2x + 4y + 5 = 0. Tính (x + y)2027.
  3. Tìm giá trị lớn nhất của D = 5 − x² + 2x + 1.
  4. Chứng minh n³ − n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

Lời giải.

  • 1. x² + y² = (x + y)² − 2xy = 25 − 12 = 13. x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y) = 125 − 3 · 6 · 5 = 125 − 90 = 35. Kiểm tra bằng cặp x = 2, y = 3: 4 + 9 = 13 và 8 + 27 = 35, khớp.
  • 2. Viết (x − 1)² + (y + 2)² = 0. Tổng hai bình phương bằng 0 khi cả hai bằng 0, nên x = 1, y = −2. Khi đó x + y = −1 và (−1)2027 = −1 (số mũ lẻ).
  • 3. D = 6 − x² + 2x = 7 − (x − 1)². Vì (x − 1)² ≥ 0 nên D ≤ 7, dấu “=” khi x = 1. Vậy D lớn nhất bằng 7. (Kiểm tra: 5 − x² + 2x + 1 = 6 − x² + 2x = 7 − (x² − 2x + 1).)
  • 4. n³ − n = (n − 1)n(n + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 (có ít nhất một số chẵn) và chia hết cho 3 (có một số chia hết cho 3). Hai số 2 và 3 nguyên tố cùng nhau, suy ra chia hết cho 6.

Lỗi sai thường gặp khi làm đề cuối kì 1 Toán 8

  • Quên điều kiện xác định: mọi bài phân thức đều phải có bước này, và bước đối chiếu ở cuối (như bài 9c Đề 2).
  • Sai dấu khi bỏ ngoặc: dấu “−” đứng trước ngoặc phải đổi dấu mọi hạng tử bên trong.
  • Phân tích chưa triệt để: x⁴ − 16 phải dừng ở (x − 2)(x + 2)(x² + 4), không dừng ở (x² − 4)(x² + 4).
  • Chứng minh hình thiếu dấu hiệu: viết “hình bình hành vì có hai cạnh bằng nhau” là chưa đủ, cần hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.
  • Vẽ hình sai tính chất đề cho: đề ghi AB < AC thì hình vẽ phải có AB ngắn hơn AC.

Kế hoạch ôn tập trong 7 ngày

  1. Ngày 1–2: học thuộc 7 hằng đẳng thức, luyện nhân chia đa thức và phân tích thành nhân tử.
  2. Ngày 3–4: phân thức đại số, mỗi ngày làm 3 bài rút gọn và 2 bài giá trị nguyên.
  3. Ngày 5: hệ thống dấu hiệu nhận biết các tứ giác bằng sơ đồ tư duy.
  4. Ngày 6: làm một đề trọn vẹn 90 phút, tự chấm theo thang điểm.
  5. Ngày 7: xem lại các lỗi đã mắc, làm thêm câu phân loại.

Để có thêm đề luyện, em xem tiếp các bộ đề cùng chủ đề: Bộ 20 đề thi học kì 1 Toán lớp 8, Bộ 8 đề thi học kì 1 có ma trận, Bộ 10 đề tải nhiều nhất và Đề cương học kì 1 môn Toán lớp 8.

Câu hỏi thường gặp

Đề thi cuối kì 1 Toán 8 thường gồm những nội dung nào?

Thường gồm phép tính và phân tích đa thức thành nhân tử, tìm x, phân thức đại số (điều kiện xác định, rút gọn, giá trị nguyên), bài hình về tứ giác và một câu phân loại như tìm giá trị nhỏ nhất hoặc chứng minh chia hết.

Thời gian làm bài và thang điểm đề Toán 8 học kì 1 là bao nhiêu?

Đa số các trường cho 90 phút, thang điểm 10. Phần đại số chiếm khoảng 7 điểm, hình học khoảng 3 điểm. Một số trường dùng 6 câu trắc nghiệm kết hợp tự luận như Đề 2 ở trên.

Làm sao để chắc điểm bài hình học tứ giác?

Em vẽ hình đúng theo dữ kiện, nhớ dấu hiệu nhận biết từng loại tứ giác và trình bày đủ căn cứ ở mỗi bước. Hai ý đầu thường là chứng minh hình chữ nhật hoặc hình bình hành, rất dễ lấy điểm.

Bài tìm x nguyên để phân thức nguyên cần lưu ý gì?

Sau khi rút gọn, tách phân thức thành số nguyên cộng phân thức có tử là hằng số, rồi tìm ước của hằng số đó. Cuối cùng phải loại các giá trị vi phạm điều kiện xác định.

Bài học liên quan