Giải Toán 12 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

Trịnh Thị Giang Ngày: 11-05-2022 Lớp 12

2.2 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit lớp 12.

Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 86 SGK Giải tích 12: Hãy lập bảng tương tự cho các bất phương trình:

a^{x} \geq b, a^{x} < b, a^{x} \leq b

Lời giải:

$a^{x} \geq b$	Tập nghiệm
$a^{x} \geq b$	$a > 1$	$0 < a < 1$
$b \leq 0$	$R$	$R$
$b > 0$	$[\log_{a} b; + \infty)$	$(- \infty, \log_{a} b]$

$a^{x} < b$	Tập nghiệm
$a^{x} < b$	$a > 1$	$0 < a < 1$
$b \leq 0$	Vô nghiệm	Vô nghiệm
$b > 0$	$(- \infty, \log_{a} b)$	$(\log_{a} b; + \infty)$

$a^{x} \leq b$	Tập nghiệm
$a^{x} \leq b$	$a > 1$	$0 < a < 1$
$b \leq 0$	Vô nghiệm	Vô nghiệm
$b > 0$	$(- \infty; \log_{a} b]$	$[\log_{a} b; + \infty)$

Trả lời câu hỏi 2 trang 87 SGK Giải tích 12: Giải bất phương trình:

2^{x} + 2^{- x} - 3 < 0

Phương pháp giải:

Đặt

2^{x} = t

, giải bất phương trình ẩn

t

suy ra

x

Lời giải:

$B P T \Leftrightarrow 2^{x} + \frac{1}{2^{x}} - 3 < 0$

Đặt $2^{x} = t$ . ĐK: $t > 0.$

Ta có bất phương trình:

$\begin{aligned} t + \frac{1}{t} - 3 < 0 \\ \Leftrightarrow \frac{t^{2} - 3 t + 1}{t} < 0 \\ \Leftrightarrow t^{2} - 3 t + 1 < 0 (do t > 0) \\ \Leftrightarrow \frac{3 - \sqrt{5}}{2} < t < \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \\ \Leftrightarrow \frac{3 - \sqrt{5}}{2} < 2^{x} < \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \\ \Leftrightarrow \log_{2} \frac{3 - \sqrt{5}}{2} < x < \log_{2} \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \end{aligned}$

Trả lời câu hỏi 3 trang 88 SGK Giải tích 12: Hãy lập bảng tương tự cho các bất phương trình:

$\log_{a} x \geq b; \log_{a} x < b; \log_{a} x \leq b$

Lời giải:

$\log_{a} x \geq b$	$a > 1$	$0 < a < 1$
Nghiệm	$x \geq a^{b}$	$0 < x \leq a^{b}$

$\log_{a} x < b$	$a > 1$	$0 < a < 1$
Nghiệm	$0 < x < a^{b}$	$x > a^{b}$

$\log_{a} x \leq b$	$a > 1$	$0 < a < 1$
Nghiệm	$0 < x \leq a^{b}$	$x \geq a^{b}$

Trả lời câu hỏi 4 trang 89 SGK Giải tích 12: Giải bất phương trình:

$\log_{\frac{1}{2}} (2 x + 3) > \log_{\frac{1}{2}} (3 x + 1) (1)$

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ.

- Với $0 < a < 1$ thì:

$\log_{a} f (x) > \log_{a} g (x) \Leftrightarrow f (x) < g (x)$

Lời giải:

Điều kiện: ${\begin{cases} 2 x + 3 > 0 \\ 3 x + 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x > - \frac{3}{2} \\ x > - \frac{1}{3} \end{cases}$ $\Leftrightarrow x > - \frac{1}{3}$

Vì $0 < \frac{1}{2} < 1$ nên:

$\log_{\frac{1}{2}} (2 x + 3) > \log_{\frac{1}{2}} (3 x + 1)$ $\Leftrightarrow 2 x + 3 < 3 x + 1$ $\Leftrightarrow 2 x - 3 x < 1 - 3$ $\Leftrightarrow - x < - 2 \Leftrightarrow x > 2$ .

Kết hợp điều kiện ta được $x > 2$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = (2; + \infty)$ .

Chú ý:

Các em có thể trình bày cách khác như sau:

$\begin{array}{l} \log_{\frac{1}{2}} (2 x + 3) > \log_{\frac{1}{2}} (3 x + 1) \\ \Leftrightarrow 0 < 2 x + 3 < 3 x + 1 \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} 2 x + 3 > 0 \\ 2 x + 3 < 3 x + 1 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} x > - \frac{3}{2} \\ - x < - 2 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} x > - \frac{3}{2} \\ x > 2 \end{cases} \\ \Leftrightarrow x > 2 \end{array}$

Câu hỏi vài bài tập (trang 89, 90 SGK Giải tích 12)

Bài 1 trang 89 SGK Giải tích 12: Giải các bất phương trình mũ:

a) $2^{- x^{2} + 3 x} < 4;$

{(\frac{7}{9})}^{2 x^{2} - 3 x} \geq \frac{9}{7};

3^{x + 2} + 3^{x - 1} \leq 28

;

4^{x} - {3.2}^{x} + 2 > 0

Phương pháp giải:

a) Đưa về cùng cơ số 2, giải bất phương trình mũ cơ bản: $a^{f (x)} < a^{g (x)} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} {\begin{cases} a > 1 \\ f (x) < g (x) \end{cases} \\ {\begin{cases} 0 < a < 1 \\ f (x) > g (x) \end{cases} \end{array}$

b) Đưa về cùng cơ số $\frac{7}{9}$ , giải bất phương trình mũ cơ bản: $a^{f (x)} < a^{g (x)} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} {\begin{cases} a > 1 \\ f (x) < g (x) \end{cases} \\ {\begin{cases} 0 < a < 1 \\ f (x) > g (x) \end{cases} \end{array}$

c) Sử dụng công thức $a^{m} . a^{n} = a^{m + n}$ , làm xuất hiện nhân tử chung ở VT. Đưa bất phương trình ban đầu về dạng phương trình mũ cơ bản.

d) Giải bất phương trình mũ bằng cách đặt ẩn phụ: $t = 2^{x} (t > 0)$ .

Lời giải:

$\begin{array}{l} 2^{- x^{2} + 3 x} < 4 \\ \Leftrightarrow 2^{- x^{2} + 3 x} < 2^{2} \\ \Leftrightarrow - x^{2} + 3 x < 2 \\ \Leftrightarrow x^{2} - 3 x + 2 > 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 2 \\ x < 1 \end{array} \end{array}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S = (- \infty; 1) \cup (2; + \infty)$

$\begin{array}{l} {(\frac{7}{9})}^{2 x^{2} - 3 x} \geq \frac{9}{7} \\ \Leftrightarrow {(\frac{7}{9})}^{2 x^{2} - 3 x} \geq {(\frac{7}{9})}^{- 1} \\ \Leftrightarrow 2 x^{2} - 3 x \leq - 1 \\ \Leftrightarrow 2 x^{2} - 3 x + 1 \leq 0 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \end{array} .$

Vậy tâp nghiệm của bất phương trình là: $S = [\frac{1}{2}; 1] .$

$\begin{array}{l} 3^{x + 2} + 3^{x - 1} \leq 28 \\ \Leftrightarrow 3^{x - 1 + 3} + 3^{x - 1} \leq 28 \\ \Leftrightarrow 3^{x - 1} {.3}^{3} + 3^{x - 1} \leq 28 \\ \Leftrightarrow 3^{x - 1} (3^{3} + 1) \leq 28 \\ \Leftrightarrow 3^{x - 1} .28 \leq 28 \\ \Leftrightarrow 3^{x - 1} \leq 1 \\ \Leftrightarrow 3^{x - 1} \leq 3^{0} \\ \Leftrightarrow x - 1 \leq 0 \\ \Leftrightarrow x \leq 1 \end{array}$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S = (- \infty; 1] .$

$4^{x} - {3.2}^{x} + 2 > 0$ $\Leftrightarrow {(2^{x})}^{2} - {3.2}^{x} + 2 > 0$

Đặt $t = 2^{x} > 0$ , bất phương trình đã cho trở thành

$\begin{array}{l} t^{2} - 3 t + 2 > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t > 2 \\ t < 1 \end{array} \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2^{x} > 2 \\ 2^{x} < 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2^{x} > 2^{1} \\ 2^{x} < 2^{0} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 1 \\ x < 0 \end{array} \end{array}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S = (- \infty; 0) \cup (1; + \infty) .$

Bài 2 trang 90 SGK Giải tích 12: Giải các bất phương trình lôgarit:

a) $\log_{8} (4 - 2 x) \geq 2$ ;

\log_{\frac{1}{5}} (3 x - 5)

\log_{\frac{1}{5}} (x + 1)

;

\log_{0, 2} x - \log_{5} (x - 2) < \log_{0, 2} 3

;

\log_{3}^{2} x - 5 \log_{3} x + 6 \leq 0

Phương pháp giải:

a) Tìm ĐK.

Giải phương trình logarit cơ bản: $\log_{a} x \geq b \Leftrightarrow [\begin{array}{l} {\begin{cases} a > 1 \\ x \geq a^{b} \end{cases} \\ {\begin{cases} 0 < a < 1 \\ 0 < x \leq a^{b} \end{cases} \end{array}$ .

b) Tìm ĐK.

Giải phương trình logarit cơ bản: $\log_{a} f (x) > \log_{a} g (x)$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} {\begin{cases} a > 1 \\ f (x) > g (x) \end{cases} \\ {\begin{cases} 0 < a < 1 \\ f (x) < g (x) \end{cases} \end{array}$

c) Tìm ĐK.

Đưa về cùng logarit cơ số 0,2, sử dụng công thức cộng các logarit cùng cơ số: $\log_{a} x + \log_{a} y = \log_{a} (x y)$ (giả sử các biểu thức là có nghĩa).

Đưa về bất phương trình logarit cơ bản:

$\log_{a} f (x) < \log_{a} g (x)$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} {\begin{cases} a > 1 \\ 0 < f (x) < g (x) \end{cases} \\ {\begin{cases} 0 < a < 1 \\ f (x) > g (x) > 0 \end{cases} \end{array}$ .

d) Tìm ĐK.

Giải bất phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ: $t = \log_{3} x$ , đưa về phương trình bậc hai ẩn t.

Lời giải:

Điều kiện: $4 - 2 x > 0 \Leftrightarrow x < 2$

$\begin{array}{l} \log_{8} (4 - 2 x) \geq 2 \\ \Leftrightarrow 4 - 2 x \geq 8^{2} = 64 (D o 8 > 1) \\ \Leftrightarrow 2 x \leq - 60 \\ \Leftrightarrow x \leq - 30 \end{array}$ .

Kết hợp điều kiện $x < 2$ ta có $x \leq - 30$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S = (- \infty; - 30]$

ĐK:

${\begin{cases} 3 x - 5 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x > \frac{5}{3} \\ x > - 1 \end{cases} \Leftrightarrow x > \frac{5}{3}$

$\begin{array}{l} \log_{\frac{1}{5}} (3 x - 5) > \log_{\frac{1}{5}} (x + 1) \\ \Leftrightarrow 3 x - 5 < x + 1 (D o \frac{1}{5} < 1) \\ \Leftrightarrow 2 x < 6 \\ \Leftrightarrow x < 3 \end{array}$

Kết hợp điều kiện ta có: $\frac{5}{3} < x < 3$ .

Điều kiện: $x > 2$ . Chú ý rằng

$\log_{5} (x - 2) = l o g_{{(\frac{1}{5})}^{- 1}} (x - 2)$ $= - \log_{0, 2} (x - 2)$

Nên bất phương trình đã cho tương đương với

$\log_{0, 2} x + \log_{0, 2} (x - 2) < \log_{0, 2} 3$

$\Leftrightarrow \log_{0, 2} x (x - 2) < \log_{0, 2} 3$

$\Leftrightarrow x (x - 2) > 3$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 3 > 0$

$\Leftrightarrow (x - 3) (x + 1) > 0$

$\Leftrightarrow x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > 3$ (do $x > 2$ ).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = (3; + \infty)$ .

Cách khác:

Có thể đưa về cùng cơ số 5 như sau:

Điều kiện: $x > 2$

$\begin{array}{l} \log_{0, 2} x - \log_{5} (x - 2) < \log_{0, 2} 3 \\ \Leftrightarrow \log_{\frac{1}{5}} x - \log_{5} (x - 2) < \log_{\frac{1}{5}} 3 \\ \Leftrightarrow \log_{5^{- 1}} x - \log_{5} (x - 2) < \log_{5^{- 1}} 3 \\ \Leftrightarrow - \log_{5} x - \log_{5} (x - 2) < - \log_{5} 3 \\ \Leftrightarrow \log_{5} x + \log_{5} (x - 2) > \log_{5} 3 \\ \Leftrightarrow \log_{5} [x (x - 2)] > \log_{5} 3 \\ \Leftrightarrow x (x - 2) > 3 \\ \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 3 > 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 3 \\ x < - 1 \end{array} \end{array}$

Kết hợp với điều kiện xác định được $x > 3.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $(3; + \infty) .$

ĐK: $x > 0$ .

Đặt $t = \log_{3} x$ ta được bất phương trình

$t^{2} - 5 t + 6 \leq 0 \Leftrightarrow 2 \leq t \leq 3$ .

$\Leftrightarrow 2 \leq \log_{3} x \leq 3 \Leftrightarrow 3^{2} \leq x \leq 3^{3}$ $\Leftrightarrow 9 \leq x \leq 27$ .

Kết hợp điều kiện ta có $9 \leq x \leq 27$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = [9; 27]$ .

Lý thuyết Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

1. Bất phương trình mũ cơ bản

$a^{x} > b$ (hoặc $a^{x} < b; a^{x} \leq b; a^{x} \geq b)$ , trong đó $a, b$ là hai số đã cho, $a > 0, a \neq 1.$

Ta thường giải bất phương trình mũ cơ bản bằng cách lôgarit hóa trên cơ sở sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số lôgarit. Lôgarit hóa bất phương trình (mà cả hai vế đều dương) theo cơ số lớn hơn 1( nhỏ hơn 1 và đổi chiều bất phương trình) ta được bất phương trình tương đương (trường hợp một vế âm, một vế dương ta có thể kết luận ngay về tập nghiêm):

- Nếu $b > 0$ và $a > 1$ thì

$\begin{array}{l} a^{x} > b \Leftrightarrow \log_{a} a^{x} > \log_{a} b \Leftrightarrow x > \log_{a} b; \\ a^{x} \geq b \Leftrightarrow x \geq \log_{a} b \\ a^{x} < b \Leftrightarrow x < \log_{a} b; \\ a^{x} \leq b \Leftrightarrow x \leq \log_{a} b \end{array}$

- Nếu $b > 0$ và $0 < a < 1$

$\begin{array}{l} a^{x} > b \Leftrightarrow \log_{a} a^{x} < \log_{a} b \Leftrightarrow x < \log_{a} b; \\ a^{x} \geq b \Leftrightarrow x \leq \log_{a} b \\ a^{x} < b \Leftrightarrow x > \log_{a} b; \\ a^{x} \leq b \Leftrightarrow x \geq \log_{a} b \end{array}$

- Nếu $b \leq 0$ thì các bất phương trình $a^{x} > b, a^{x} \geq b$ đều đúng với mọi $x$ (tập nghiện là $R)$

- Nếu $b \leq 0$ thì các bất phương trình $a^{x} < b, a^{x} \leq b$ đều vô nghiệm

2. Bất phương trình lôgarit cơ bản dạng $\log_{a} x > b$ (hoặc $\log_{a} x < b; \log_{a} x \geq b; \log_{a} x \leq b$ )

trong đó $a, b$ là hai số đã cho, $a > 0, a \neq 1$

Ta giải bất phương trình loogarit cơ bản bằng cách mũ hóa sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ. Mũ hóa bất phương trình theo cơ số lớn hơn 1 (nhỏ hơn 1 và đổi chiều bất phương trình) ta được bất phương trình tương đương.

- Nếu $a > 1$ thì

$\log_{a} x > b \Leftrightarrow a^{\log_{a} x} > a^{b} \Leftrightarrow x > a^{b};$

$\log_{a} x \geq b \Leftrightarrow x \geq a^{b}$

$\log_{a} x < b \Leftrightarrow 0 < x < a^{b}$

$\log_{a} x \leq b \Leftrightarrow 0 < x \leq a^{b}$

- Nếu $0 < a < 1$ thì

$\log_{a} x > b \Leftrightarrow a^{\log_{a} x} < a^{b} \Leftrightarrow 0 < x < a^{b};$

$\log_{a} x \geq b \Leftrightarrow 0 < x \leq a^{b}$

$\log_{a} x < b \Leftrightarrow x > a^{b}$

$\log_{a} x \leq b \Leftrightarrow x \geq a^{b}$

3. Chú ý: Các bất phương trình mũ, lôgarit cơ bản nêu trên trong trường hợp $b = a^{α}$ ( đối với bất phương trình mũ cơ bản) và $b = \log_{a} α$ ( trường hợp bất phương trình lôgarit cơ bản) thì có thể sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ và hàm số lôgarit để giải, không cần lôgarit hóa hay mũ hóa. Chẳng hạn:

Nếu $a > 1$ thì $a^{x} > a^{α} \Leftrightarrow x > α;$

Nếu $0 < a < 1$ thì $\log_{a} x > \log_{a} α \Leftrightarrow 0 < x < α; . . .$

Sơ đồ tư duy về bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

Các dạng toán về bất phương trình mũ

Dạng 1: Giải bất phương trình mũ.

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.

- Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi: đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, đưa về dạng tích, logarit hóa, dùng hàm số,…để giải bất phương trình.

- Bước 3: Kiểm tra điều kiện và kết luận tập nghiệm.

Khi giải bất phương trình mũ cần chú ý đến điều kiện của cơ số $a$ .

Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình $3^{x} \geq 3^{2 x - 1}$ là:

A. $(- \infty; 1]$

B. $(- \infty; 1)$

C. $(1; + \infty)$

D. $[1; + \infty)$

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp giải bất phương trình mũ với cơ số $a > 1$ : $a^{f (x)} \geq a^{g (x)} \Leftrightarrow f (x) \geq g (x)$ .

Cách giải:

$3^{x} \geq 3^{2 x - 1} \Leftrightarrow x \geq 2 x - 1 \Leftrightarrow - x \geq - 1 \Leftrightarrow x \leq 1$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(- \infty; 1]$ .

Chọn A.

Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình: ${(\frac{1}{4})}^{x} + {(\frac{1}{2})}^{x} - 2 \leq 0$ là:

A. $(- \infty; 1]$

B. $(- 1; + \infty)$

C. $[0; + \infty)$

D. $(- \infty; 0]$

Phương pháp:

Đưa về cùng cơ số và biến đổi thành dạng tích rồi giải bất phương trình.

Cách giải:

$\begin{array}{l} {(\frac{1}{4})}^{x} + {(\frac{1}{2})}^{x} - 2 \leq 0 \Leftrightarrow {(\frac{1}{2})}^{2 x} + {(\frac{1}{2})}^{x} - 2 \leq 0 \Leftrightarrow [{(\frac{1}{2})}^{x} - 1] [{(\frac{1}{2})}^{x} + 2] \leq 0 \\ \Leftrightarrow {(\frac{1}{2})}^{x} - 1 \leq 0 \Leftrightarrow {(\frac{1}{2})}^{x} \leq 1 \Leftrightarrow {(\frac{1}{2})}^{x} \leq {(\frac{1}{2})}^{0} \Leftrightarrow x \geq 0 \end{array}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $[0; + \infty)$ .

Chọn C.

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm.

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.

- Bước 2: Biến đổi bất phương trình đã cho, nêu điều kiện để bất phương trình có nghiệm hoặc biện luận theo $m$ nghiệm của bất phương trình.

- Bước 3: Giải điều kiện ở trên để tìm và kết luận điều kiện tham số.

Ví dụ: Tìm $m$ để bất phương trình $m {.4}^{x} - 2 < 0$ nghiệm đúng với mọi $x$ .

A. $m \in R$

B. $m = 0$

C. $m > 0$

D. $m \leq 0$

Phương pháp:

- Biến đổi bất phương trình đã cho về $m {.4}^{x} < 2$ .

- Biện luận bất phương trình theo $m$ nghiệm của bất phương trình.

Cách giải:

Ta có: $m {.4}^{x} - 2 < 0 \Leftrightarrow m {.4}^{x} < 2$ .

+ Nếu $m \leq 0$ thì $m {.4}^{x} \leq 0 < 2$ đúng với mọi $x$ .

+ Nếu $m > 0$ thì $m {.4}^{x} < 2 \Leftrightarrow 4^{x} < \frac{2}{m} \Leftrightarrow x < \log_{4} \frac{2}{m}$ , do đó bất phương trình không nghiệm đúng với mọi $x$ .

Vậy $m \leq 0$ .

Chọn D.

Các dạng toán về bất phương trình logarit

Dạng 1: Giải bất phương trình logarit.

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.

- Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi: đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, đưa về dạng tích, mũ hóa, dùng hàm số,…để giải bất phương trình.

- Bước 3: Kiểm tra điều kiện và kết luận tập nghiệm.

Khi giải bất phương trình logarit cần chú ý đến điều kiện của cơ số $a$ .

Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{2} x \geq \log_{2} (2 x - 1)$ là:

A. $(- \infty; 1]$

B. $(\frac{1}{2}; 1]$

C. $(0; 1)$

D. $[\frac{1}{2}; 1)$

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp giải bất phương trình logarit với cơ số $a > 1$ : $\log_{a} f (x) \geq \log_{a} g (x) \Leftrightarrow f (x) \geq g (x)$ .

Cách giải:

Điều kiện xác định: ${\begin{cases} x > 0 \\ 2 x - 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x > 0 \\ x > \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}$ .

Khi đó, $\log_{2} x \geq \log_{2} (2 x - 1) \Leftrightarrow x \geq 2 x - 1 \Leftrightarrow - x \geq - 1 \Leftrightarrow x \leq 1$ .

Kết hợp với điều kiện xác định ta được $\frac{1}{2} < x \leq 1$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(\frac{1}{2}; 1]$ .

Chọn B.

Chú ý khi giải:

Nhiều HS thường quên đặt điều kiện xác định, dẫn tới khi kết luận nghiệm chọn nhầm đáp án A.

Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình: $\log_{\frac{1}{4}} x + \log_{\frac{1}{2}} x - 3 \leq 0$ là:

A. $(- \infty; \frac{1}{4}]$

B. $(0; + \infty)$

C. $[\frac{1}{4}; + \infty)$

D. $(- \infty; - 1]$

Phương pháp:

Đưa về cùng cơ số và biến đổi thành dạng tích rồi giải bất phương trình.

Cách giải:

Điều kiện: $x > 0$

$\begin{array}{l} \log_{\frac{1}{4}} x + \log_{\frac{1}{2}} x - 3 \leq 0 \Leftrightarrow \log_{{(\frac{1}{2})}^{2}} x + \log_{\frac{1}{2}} x - 3 \leq 0 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}} x + \log_{\frac{1}{2}} x - 3 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{3}{2} \log_{\frac{1}{2}} x \leq 3 \Leftrightarrow \log_{\frac{1}{2}} x \leq 2 \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{4} \end{array}$

Kết hợp điều kiện $x > 0$ ta được $x \geq \frac{1}{4}$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $[\frac{1}{4}; + \infty)$ .

Chọn C.

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm.

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.

- Bước 2: Biến đổi bất phương trình đã cho, nêu điều kiện để bất phương trình có nghiệm hoặc biện luận theo $m$ nghiệm của bất phương trình.

- Bước 3: Giải điều kiện ở trên để tìm và kết luận điều kiện tham số.

Ví dụ: Tìm giá trị lón nhất của $m$ để bất phương trình $1 + \log_{5} (x^{2} + 1) \geq \log_{5} (m x^{2} + 4 x + m)$ nghiệm đúng với mọi $x \in R$ .

A. $m = 4$

B. $m = 2$

C. $m = 5$

D. $m = 3$

Phương pháp:

- Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức xác định.

- Biến đổi bất phương trình về cùng cơ số $5$ , nêu điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x$ .

- Giải điều kiện trên suy ra $m$ .

Cách giải:

Điều kiện: $m x^{2} + 4 x + m > 0, \forall x \Leftrightarrow {\begin{cases} m > 0 \\ Δ^{'} = 4 - m^{2} < 0 \end{cases} \Leftrightarrow m > 2$

Ta có:

$\begin{array}{l} 1 + \log_{5} (x^{2} + 1) \geq \log_{5} (m x^{2} + 4 x + m) \Leftrightarrow \log_{5} 5 + \log_{5} (x^{2} + 1) \geq \log_{5} (m x^{2} + 4 x + m) \\ \Leftrightarrow 5 x^{2} + 5 \geq m x^{2} + 4 x + m \Leftrightarrow (m - 5) x^{2} + 4 x + m - 5 \leq 0, \forall x \in R \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} m - 5 < 0 \\ Δ^{'} = 4 - {(m - 5)}^{2} \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} m < 5 \\ - m^{2} + 10 m - 21 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \leq 3 \end{array}$