Tailieumoi.vn xin giới thiệu chuyên đề Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song thuộc chương trình Toán 11. Chuyên đề gồm 283 trang với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải các dạng bài tập và trên 200 bài tập có lời giải chi tiết từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh ôn luyện kiến thức, nâng cao kĩ năng làm bài tập môn Toán 11.

Chuyên đề Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song

Phần 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng và cách giải

I. Lý thuyết ngắn gọn

1. Các khái niệm

- Hình học không gian có các đối tượng cơ bản là điểm, đường thẳng và mặt phẳng.

- Mặt phẳng:

Ví dụ: mặt bảng, mặt bàn, cho ta một phần của mặt phẳng.

Biểu diễn mặt phẳng: ta thường dùng các hình bình hành hay một miền góc và ghi tên của mặt phẳng vào một góc của hình biểu diễn. 

Kí hiệu: Mặt phẳng (P), mặt phẳng (Q)

 

- Quan hệ thuộc trong không gian:

a. Với một điểm A và một đường thẳng d có thể xảy ra hai trường hợp:

    + Điểm A thuộc đường thẳng d, kí hiệu A ∈ d.

    + Điểm A không thuộc đường thẳng, kí hiệu A ∉ d.

b. Với một điểm A và một mặt phẳng (α) có thể xảy ra hai trường hợp:

    + Điểm A thuộc mặt thẳng (α), kí hiệu A ∈ (α).

 

    + Điểm A không thuộc đường thẳng, kí hiệu A ∉ (α).

- Quy tắc vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian:

+ Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.

+ Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.

+ Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng.

+ Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt. 

2. Các tính chất thừa nhận 

- Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

- Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

- Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

- Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.

Suy ra: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng.

- Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.

3. Các cách xác định một mặt phẳng: 3 cách

a. Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C kí hiệu là: mp (ABC) hoặc (ABC).

b. Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.

Cho đường thẳng d và điểm A không nằm trên d, khi đó ta xác định được mặt phẳng, kí hiệu là: mp (A, d) hay (A, d).

c. Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau

Cho hai đường thẳng cắt nhau a và b. Khi đó hai đường thẳng a và b xác định một mặt phẳng và kí hiệu là: mp (a, b) hay (a, b), hoặc mp (b, a) hay (b, a).

4. Hình chóp và hình tứ diện

a. Hình chóp

Trong mặt phẳng (α) cho đa giác lồi A₁A₂...A_n. Lấy điểm S nằm ngoài (α). Lần lượt nối S với các đỉnh A₁A₂...A_n ta được n tam giác SA₁A₂,SA₂A_3,...,SA_nA₁. Hình gồm đa giác A₁A₂...A_n và n tam giác SA₁A₂,SA₂A_3,...,SA_nA₁ được gọi là hình chóp, kí hiệu SA₁A₂...A_n.

Ta gọi S là đỉnh, đa giác A₁A₂...A_n là mặt đáy, các đoạn SA₁,SA₂,...,SA_n là các cạnh bên, A₁A₂,A₂A_3,...,A_nA₁ là các cạnh đáy, các tam giác SA₁A₂,SA₂A_3,...,SA_nA₁ là các mặt bên.

Nếu đáy của hình chóp là một miền tam giác, tứ giác, ngũ giác,… thì hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,…

b. Hình tứ diện

Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ABD, ACD và BCD được gọi là tứ diện ABCD.

Các điểm A, B, C, D được gọi là các đỉnh của tứ diện. Các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, CA, BD gọi là các cạnh của tứ diện. Hai cạnh không có điểm chung gọi là hai cạnh đối diện. Các tam giác ABC, ACD, ABD và BCD gọi là các mặt của tứ diện. Đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.

II. Các dạng bài về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Dạng 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Phương pháp giải: 

Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta đi tìm hai điểm chung của chúng. Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó là giao tuyến.

Lưu ý: Điểm chung của hai mặt phẳng (P) và (Q) thường được tìm như sau:

Tìm hai đường thẳng a và b lần lượt thuộc mặt phẳng (P) và (Q) cùng nằm trong một mặt phẳng (R). Giao điểm M = a ∩ b chính là điểm chung của mặt phẳng (P) và (Q).

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi O là một điểm bên trong tam giác BCD và M là một điểm trên AO. Gọi I, J là hai điểm trên BC, BD. Giả sử IJ cắt CD tại K, BO cắt IJ tại E và cắt CD tại H, ME cắt AH tại F. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MIJ) và (ACD).

 

Lời giải:

Do K là giao điểm của IJ và CD nên K ∈ (MIJ) ∩ (ACD)   (1)

Ta có F là giao điểm của ME và AH

Mà AH ⊂ (ACD), ME ⊂ (MIJ) nên F ∈ (MIJ) ∩ (ACD)      (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (MIJ) ∩ (ACD) = KF.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm M thuộc cạnh SA. Tìm giao tuyến của mặt phẳng:

a. (SAC) và (SBD);

b. (SAC) và (MBD).

Lời giải:

a. Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Suy ra:    

Lại có:        

S ∈ (SAC) ∩ (SBD) 

Do đó: SO = (SAC) ∩ (SBD)  

b. 

O = AC ∩ BD

⇒ 

Lại có: ⇒ M ∈ (SAC) ∩ (MBD)

Do đó: OM = (SAC) ∩ (MBD) 

Dạng 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp giải: Cơ sở của phương pháp tìm giao điểm I của đường thẳng d và mặt phẳng (α) là xét hai khả năng xảy ra:

TH1: (α) chứa đường thẳng ∆ và ∆ cắt đường thẳng d tại I

Khi đó: I = d ∩ ∆ ⇒ I = d ∩ (α)

TH2: (α) không chứa đường thẳng nào cắt d

+ Tìm (β) ⊃ d, (α) ∩ (β) = ∆

+ Tìm I = d ∩ ∆ ⇒ I = d ∩ (α)

Ví dụ minh họa

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD có các cạnh đối diện không song song với nhau và M là một điểm trên cạnh SA. Tìm giao điểm của đường thẳng SB với mặt phẳng (MCD).

Lời giải:

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E là giao điểm AB và CD.

Trong mặt phẳng (SAB) gọi N là giao điểm của ME và SB.
Ta có: N ∈ EM ⊂ (MCD) (Do E ∈ CD ⊂ (NCD) nên EM ⊂ (MCD))

⇒ N ∈ (MCD) 

Mà N ∈ SB.

Nên N ∈ SB ∩ (MCD).

Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, M là một điểm trên cạnh SC, N trên BC. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN).

Lời giải:

Trong mặt phẳng (ABCD) gọi O là giao điểm AC và BD, J là giao điểm AN và BD

Trong (SAC) gọi I là giao điểm SO và AM

Trong (SBD), gọi K là giao điểm IJ và SD

Ta có: I ∈ AM ⊂ (AMN), J ∈ AN ⊂ (AMN)

⇒ IJ ⊂ (AMN)   

 Do đó: K ∈ IJ ⊂ (AMN) 

 ⇒ K ∈ (AMN) mà  K ∈ SD 

Vậy K = SD ∩ (AMN)

Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy

Phương pháp giải: 

- Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng, ta chỉ ra đó là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng phân biệt.

- Để chứng minh ba đường thẳng dồng quy ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng thuộc đường thẳng còn lại.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 5: Cho tứ diện S.ABC. Trên SA, SB, SC lấy các điểm D, E, F sao cho DE cắt AB tại I, EF cắt BC tại J, FD cắt CA tại K. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.

Lời giải:

Ta có: I = DE ∩ AB, DE ⊂ (DEF) ⇒ I ∈ (DEF)  

Lại có I ∈ AB ⊂ (ABC) ⇒ I ∈ (ABC)    

Tương tự:

+) J = EF ∩ BC ⇒     

+) K = DF ∩ AC ⇒  

Do đó: I, J, K là các điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (DEF) nên chúng cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng trên.

Vậy I, J, K thẳng hàng.

Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Mặt phẳng (α) cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD tương ứng tại các điểm M, N, P, Q. Chứng minh MP, NQ, SO đồng quy.

Lời giải:

Trong mặt phẳng (MNPQ) gọi I là giao điểm của MP và NQ.

Ta sẽ chứng minh I ∈ SO

Dễ thấy: SO = (SAC) ∩ (SBD)  (1)

Ta có:    

Từ (1) và (2) ⇒ I ∈ SO

Vậy MP, NQ, SO đồng quy.

Dạng 4: Tìm thiết diện

Phương pháp giải: Muốn tìm thiết diện của (P) với hình chóp, ta dùng 1 trong 2 cách:

- Cách 1: Tìm giao tuyến của (P) với từng mặt của hình chóp

- Cách 2: Tìm giao điểm của (P) với từng cạnh của hình chóp

Ví dụ minh họa

Ví dụ 7: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình thang với AD là đáy lớn và P là một điểm trên cạnh SD. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (PAB) là hình gì?

Lời giải:

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E là giao điểm của AB và CD

Trong mặt phẳng (SCD), gọi Q là giao điểm của SC và EP

Ta có:

E ∈ AB ⇒ EP ⊂ (ABP)  

Mà Q ∈ EP ⇒ Q ∈ (ABP)  

Do đó: Q = SC ∩ (ABP)

Khi đó ta có: 

(PAB) ∩ (SAD) = PA 

(PAB) ∩ (ABCD) = AB

(PAB) ∩ (SCD) = PQ 

(PAB) ∩ (SBC) = BQ

Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (PAB) là tứ giác ABQP.

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA. Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (IBC) là hình gì ?

 

Lời giải:

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O là giao điểm của AC và BD.

Trong mặt phẳng (SAC), gọi G là giao điểm của CI và SO.

Vì O là trung điểm của AC (tính chất đường chéo hình bình hành ABCD) và I là trung điểm của SA nên SO và CI là hai đường trung tuyến trong tam giác SAC.

Khi đó G là trọng tâm tam giác SAC.

⇒  

Suy ra G là trọng tâm tam giác SBD.

Trong mặt phẳng (SBD), gọi J là giao điểm của BG và SD.

Khi đó J là trung điểm của SD.

Ta có: 

(IBC) ∩ (ABCD) = BC

(IBC) ∩ (SAB) = IB

(IBC) ∩ (SAD) = IJ

(IBC) ∩ (SCD) = JC 

Nên thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (IBC) là tứ giác IJCB.

Ta lại có: IJ là đường trung bình của tam giác SAD (Vì I, J lần lượt là trung điểm của SA và SD) ⇒ IJ // AD 

Mà AD // BC (hình bình hành ABCD)

Do đó: IJ // BC.
 Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi (IBC) là hình thang IJCB.

III. Bài tập áp dụng

1. Tự luận

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD. Điểm C' nằm trên cạnh SC. Thiết diện của hình chóp với mp (ABC') là một đa giác có bao nhiêu cạnh?

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và điểm M ở trên cạnh SB. Mặt phẳng (ADM) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P là ba điểm trên các cạnh AD, CD, SO. Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP) là hình gì?

Bài 4: Cho tứ diện ABCD, O là một điểm thuộc miền trong tam giác BCD, M là điểm trên đoạn AO. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MCD) với các mặt phẳng (ABC).

2. Trắc nghiệm

Bài 1: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng a. Trong (P) lấy hai điểm A, B, nhưng không thuộc a và S là một điểm không thuộc (P). Các đường thẳng SA, SB cắt (Q) tương ứng tại các điểm C, D. Gọi E là giao điểm của AB và a. Khẳng định nào đúng?

A. AB, CD và a đồng quy

B. AB, CD và a chéo nhau

C. AB, CD và a song song nhau

D. AB, CD và a trùng nhau

Bài 2: Cho hai đường thẳng a, b cắt nhau và không đi qua điểm A. Xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng bởi a, b và A?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Bài 3: Cho tứ giác lồi ABCD và điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Có nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng được xác định bởi các điểm A, B, C, D, S?

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

Bài 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (α) qua MN cắt AD, BC lần lượt tại P và Q. Biết MP cắt NQ tại I. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

A. I, A, C

B. I, B, D

C. I, A, B

D. I, C, D

Bài 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm AB và AC. Mặt phẳng qua MN cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là đa giác (T). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. (T) là hình chữ nhật

B. (T) là tam giác

C. (T) là hình thoi

D. (T) là tam giác hoặc hình thang hoặc hình bình hành

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm M thuộc cạnh SA. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng:

a. (SAC) và (SBD)

b. (SAC) và (MBD)

c. (MBC) và (SAD)

d. (SAB) và (SCD)

Phần 2: Hai đường thẳng song song trong không gian và cách giải

I. Lý thuyết ngắn gọn

1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian

- Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng

- Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

 

- Hai đường thẳng gọi là cắt nhau nếu chúng đồng phẳng và có một điểm chung

- Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung

- Như vậy, trong không gian, có 4 vị trí tương đối của hai đường thẳng, đó là: song song, trùng nhau, cắt nhau và chéo nhau.

- Khi nhắc đến hai đường thẳng phân biệt, thì ta hiểu là có 3 vị trí tương đối của hai đường thẳng đó (bỏ đi trường hợp trùng nhau).

2. Hai đường thẳng song song

a. Tính chất của hai đường thẳng song song

Tính chất 1: Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. 

b. Định lý (về giao tuyến của ba mặt phẳng)

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Giả sử (P), (Q), (R) là ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt a, b, c, trong đó: a = (P) ∩ (R), b =  (Q) ∩ (R), c = (P) ∩ (Q). Khi đó: 

TH1: a, b, c đồng quy

TH2: a // b // c

  

c. Hệ quả (Định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng)

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến (nếu có) của hai mặt phẳng nói trên sẽ song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

II. Các dạng bài tập về hai đường thẳng song song trong không gian

Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng song song

Phương pháp giải: Sử dụng một trong các cách sau

- Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng.

- Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với một đường thẳng thứ ba.

- Áp dụng định lí về giao tuyến song song.

- Áp dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với đáy AD và BC. Biết AD = a, BC = b. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng (ADJ) cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SD tại P, Q. Chứng minh MN // PQ.

Lời giải:

Ta có: I ∈ (SAD) ⇒ I ∈ (SAD) ∩ (IBC)  

Lại có  

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (IBC) là đường thẳng qua I và song song với AD, BC. 

Khi đó trong (SAD), qua I kẻ đường thẳng song song với AD, cắt SA tại P và cắt SD tại Q.

⇒ (SAD) ∩ (IBC) = PQ  

⇒ PQ // AD // BC   (1)

Chứng minh tương tự:

J ∈ (SBC) ⇒ J ∈ (SBC) ∩ (ADJ)   

 

⇒ MN // AD // BC (2)

Do đó, từ (1) và (2) suy ra: MN // PQ.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N là trung điểm SA và SB. 

a. Chứng minh MN // CD.

b. Gọi P là giao điểm của SC và (ADN), I là giao điểm của AN và DP. Chứng minh SI // CD.

Lời giải:

a. Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAB nên MN // AB

Lại có ABCD là hình thang nên AB // CD

Do đó: MN // CD.

b. Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E là giao điểm của AD và BC

Trong mặt phẳng (SCD), gọi P là giao điểm của SC và DI

Ta có: E ∈ AD ⊂ (ADN)

⇒ EN ⊂ (ADN)

⇒ P ∈ (ADN)  

Vậy P = SC ∩ (ADN)

Do I = AN ∩ DP

 

Ta có:    

Dạng 2: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng, ba đường thẳng đồng quy trong không gian

a. Chứng minh bốn điểm đồng phẳng

Phương pháp giải:

Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng a, b lần lượt đi qua hai trong bốn điểm trên và chứng minh a, b song song hoặc cắt nhau. Khi đó A, B, C, D thuộc mặt phẳng (a, b).

b. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy

Phương pháp giải: 

- Cách 1: Chứng minh đường thẳng thứ nhất đi qua giao điểm của hai đường thẳng còn lại.

- Cách 2: Chứng minh ba đường thẳng đôi một cắt nhau và chúng đôi một nằm trong ba mặt phẳng phân biệt 

Bước 1: Xác định   với (P), (Q), (R) phân biệt

Bước 2: Kết luận d₁,d₂,d₃ đồng quy tại I ≡ I₁ ≡ I₂ ≡ I₃  

Ví dụ minh họa

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC, SD. Gọi J là giao điểm của AC và BD.

a. Chứng minh ME, NF, SJ đồng quy.

b. Chứng minh M, N, E, F đồng phẳng.

Lời giải:

a.Trong (SAC) gọi I là giao điểm của ME và SJ.

Ta có: ME là đường trung bình của tam giác SAC nên ME // AC 

Suy ra MI // AC, mà M là trung điểm của SA

Nên I là trung điểm của SJ.

Suy ra: FI là đường trung bình của tam giác SJD

Suy ra FI // JD

Tương tự có: NI // JB nên N, I, F thẳng hàng

Vậy ME, NF, SJ đồng quy tại I.

b. Do I là giao điểm của ME và NF nên ME và NF xác định một mặt phẳng 

Suy ra: M, N, E, F đồng phẳng.

Ví dụ 4: Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi M, N, E, F lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA. Chứng minh:

a. Bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.

b. ME, NF, SO đồng quy với O là tâm hình chữ nhật ABCD.

Lời giải:

a. Gọi M’, N’, E’, F’ lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA

Ta có:

 (tính chất trọng tâm tam giác)

⇒  

⇒ MN // M'N'  (Định lý Ta – lét) 

 Tương tự:    

⇒ EF // E'F' (Định lý Ta – lét)

Lại có:  (tính chất đường trung bình)

⇒ M'N' // E'F'

 Do đó: MN // EF.

Vậy bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.

b. Gọi I là giao điểm của ME và NF

 Dễ thấy M’N’E’F’ là hình bình hành và O là giao điểm của M’E’ và N’F’

Xét ba mặt phẳng (M’SE’), (N’SF’), (MNEF) có

(M’SE’) ∩ (N’SF’) = SO

(M’SE’) ∩ (MNEF) = ME

(N’SF’) ∩ (MNEF) = NF

ME ∩ NF = I   

Do đó theo định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng ME, NF, SO đồng quy tại I.

III. Bài tập áp dụng

1. Tự luận

Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AB, AD, BC, CD. Chứng minh P, Q, R, S đồng phẳng.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC. Gọi E, F lần lượt là trọng tâm các tam giác SBC và SAB. Chứng minh EF // AC.

2. Trắc nghiệm

Bài 1: Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm tam giác ABD, N là trung điểm của AD, M là trung điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. MG // CN

B. MG và CN cắt nhau

C. MG // AB

D. MG và CN chéo nhau

Bài 2: Giả sử có ba đường thẳng a, b, c trong đó b // a và c // a. Những phát biểu nào sau đây là sai?

(1) Nếu mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c) thì b và c chéo nhau

(2) Nếu mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c) thì ba đường thẳng a, b, c song song với nhau từng đôi một

(3) Dù cho hai mặt phẳng (a, b) và (a, c) có trùng nhau hay không, ta vẫn có b // c

A. Chỉ có (1) sai.

B. Chỉ có (2) sai

C. Chỉ có (3) sai

D. (1), (2) và (3) đều sai

Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, CD, BC. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. MN // BD và 2MN = BD

B. MN // PQ và MN = PQ

C. MNPQ là hình bình hành

D. MP và NQ chéo nhau

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD. Đường thẳng nào không song song với A’B’?

A. AB

B. CD

C. SC

D. C’D’

Bài 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai đường thẳng chéo nhau khi chúng không có điểm chung

B. Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau

C. Hai đường thẳng song song nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng

D. Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng thì hai đường thẳng đó chéo nhau

Bài 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của AD và AC, G là trọng tâm tam giác BCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ) và (BCD) là đường thẳng:

A. Qua I và song song với AB

B. Qua J và song song với BD

C. Qua G và song song với CD

D. Qua G và song song với BC

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy AB và CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) và (IJG):

A. Là đường thẳng song song với AB

B. Là đường thẳng song song với CD

C. Là đường thẳng song song với đường trung bình của hình thang ABCD

D. Cả A, B, C đều đúng

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD):

A. Là đường thẳng đi qua S song song với AB, CD

B. Là đường thẳng đi qua S

C. Là điểm S

D. Là mặt phẳng (SAD)

Phần 3: Đường thẳng song song với mặt phẳng và cách giải bài tập

Bài viết Đường thẳng song song với mặt phẳng và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 11.

I. Lý thuyết ngắn gọn

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta có ba trường hợp sau:

a. Đường thẳng a và mặt phẳng (P) không có điểm chung, tức là:

a ∩ (P) = φ ⇔ a // (P) 

b. Đường thẳng a và mặt phẳng (P) chỉ có một điểm chung, tức là:

a ∩ (P) = A ⇔ a cắt (P) tại A

c. Đường thẳng a và mặt phẳng (P) có hai điểm chung, tức là:

a ∩ (P) = {A,B} ⇔ a ⊂ (P) (Đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P))

2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng

Nhận xét: Cho đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) và một đường thẳng a song song với b. Lấy một điểm I tùy ý trên a. Khi đó:

- Nếu I thuộc (P) thì a nằm trong (P)

- Nếu I không thuộc (P) thì a song song với (P)

Định lí 1: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nào đó trong (P) thì a song song với (P).

3. Tính chất

Định lí 2: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến song song với a.

Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng.

Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.

Hệ quả 3: Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b.

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Phương pháp giải: Để chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (α), ta chứng minh d không nằm trong (α) và song song với đường thẳng a chứa trong (α)  

Tức:  

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác ABD. Trên BC lấy M sao cho MB = 2MC. Chứng minh MG // (ACD).

Lời giải:

Gọi I là trung điểm AD.

Trong tam giác CBI có:  (theo giả thuyết và tính chất trọng tâm)

Nên MG // CI (Định lý Ta – lét)

Mà CI nằm trong mặt phẳng (ACD)

Vậy MG // (ACD).

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.

a. Chứng minh MN // (BCD).

b. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (DMN) và (DBC). Xét vị trí tương đối của d và mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

a. Ta có: MN là đường trung bình của tam giác ABC

Suy ra: MN // BC

Mà BC nằm trong mặt phẳng (BCD)

Vậy: MN // (BCD).

b. Vì MN // (BCD) 

Nên (DMN) đi qua MN cắt (BCD) theo giao tuyến d đi qua D và song song với MN.

Mà MN nằm trong (ABC)

Do đó: d // (ABC).

Dạng 2: Dựng thiết diện song song với một đường thẳng

Phương pháp giải: Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (α). Nếu mặt phẳng (β) chứa d và cắt (α) theo giao tuyến d’ thì d’ song song với d.

Nghĩa là:  

Thiết diện cắt bởi một mặt phẳng chứa một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho trước được xác định bằng cách phối hợp hai cách xác định giao tuyến đã biết.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm SA. Tìm thiết diện của mặt phẳng  (α) với hình chóp S.ABCD nếu (α) qua M và song song với SC và AD.

Lời giải:

Vì (α) // AD nên (α) cắt hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) theo hai giao tuyến song song với AD.

Tương tự (α) // SC nên (α) cắt hai mặt phẳng (SAC) và (SCD) theo hai giao tuyến song song với SC.

Có: OM // SC (đường trung bình tam giác SAC)

Qua O kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AB và CD tại Q và P

Qua M kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD tại N

Theo nhận xét trên ta có: MN // PQ // SC

Vậy thiết diện là hình thang MNPQ.

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và SA.

Lời giải:

Qua M vẽ đường thẳng song song với BD cắt AD tại N và cắt AC tại I

Qua M, I, N vẽ các đường thẳng song song với SA lần lượt cắt SB, SC, SD tại R, Q, P.

Thiết diện là ngũ giác MNPQR

III. Bài tập áp dụng

1. Tự luận

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua O, song song với AB và SC. Thiết diện đó là hình gì?

Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Lấy M trên AB. Một mặt phẳng đi qua M, song song với AC và BD. Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng đó là hình gì ?

Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD và BCD. Chứng minh MN // (ACD) và MN // (ABC).

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và I là trung điểm AB. M trên AD sao cho AD = 3AM. Đường thẳng qua M song song với AB cắt CI tại N. Chứng minh NG // (SCD).

Bài 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trọng tâm các tam giác ACD và BCD. Chứng minh EF song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD).

2. Trắc nghiệm

Bài 1: Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b?
 A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số

Bài 2: Cho hai đường thẳng a và b cùng song song với mặt phẳng (P). Khẳng định nào không sai?

A. a // b

B. a và b chéo nhau

C. a và b cắt nhau

D. Chưa đủ điều kiện để kết luận vị trí tương đối của a và b

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi I là trung điểm SC. Khẳng định nào sai?

A. IO // mp (SAB)

B. IO // mp (SAD)

C. mp (IBD) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là một tứ giác

D. (IBD) ∩ (SAC) = IO 

Bài 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F là trọng tâm các tam giác BCD và ACD. Khẳng định nào sai?

A. EF // (ABD)

B. EF // (ABC)

C. BE, AF và CD đồng quy

D.  

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (α) qua BD và song song với SA, mặt phẳng (α) cắt SC tại K. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 

A. SK = 2KC

B. SK = KC

C. SK = 3KC

D. 2SK = KC 

Phần 4: Hai mặt phẳng song song và cách giải bài tập

Bài viết Hai mặt phẳng song song và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 11.

I. Lý thuyết ngắn gọn

1. Định nghĩa hai mặt phẳng song song

Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung

(P) // (Q) ⇔ (P) ∩ (Q) = ∅ 

Trong thực tế, chúng ta thường gặp hình ảnh của những mặt phẳng song song: các bậc cầu thang, hai mặt đối diện của hộp diêm,…

2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

- Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

Tức là:   

Tính chất 1: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

- Hệ quả:

a. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) thì có duy nhất một mặt phẳng (P) chứa a và song song với mặt phẳng (Q).

b. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau

c. Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α). Khi đó các đường thẳng đi qua A và song song với (α) cùng nằm trên mặt phẳng (β) đi qua A và song song với (α).

Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song.

Hệ quả: Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.

3. Định lí Ta-lét trong không gian

- Định lí: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn ra trên hai cát tuyến bất kì các đoạn tương ứng tỉ lệ.

Có nghĩa là: Nếu ba mặt phẳng đôi một song song (P), (Q), (R) cắt hai đường thẳng a và a’ lần lượt tại A, B, C và A’, B’, C’ thì:

 

- Định lí Ta-lét đảo:

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và a’. Lấy các điểm phân biệt A, B, C trên a và A’, B’, C’ trên a’ sao cho: 

 

Khi đó, ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng.

4. Hình lăng trụ và hình hộp

a. Định nghĩa hình lăng trụ: Hình lăng trụ là một hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song gọi là hai đáy và tất cả các cạnh không thuộc hai cạnh đáy đều song song với nhau.

Trong đó: 

- Các mặt khác với hai đáy gọi là các mặt bên của hình lăng trụ

- Cạnh chung của hai mặt bên gọi là cạnh bên của hình lăng trụ

- Tùy theo đa giác đáy, ta có hình lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác …

Tính chất:

- Các cạnh bên song song và bằng nhau

- Các mặt bên và các mặt chéo là những hình bình hành

- Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau (Hai đáy là hai đa giác bằng nhau).

b. Định nghĩa hình hộp

Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.

Như vậy, hình hộp có 6 mặt (bốn mặt bên và hai mặt đáy) đều là những hình bình hành. Mỗi mặt có một mặt song song với nó. Hai mặt như thế gọi là hai mặt đối diện.

Hình hộp có 8 đỉnh, hai đỉnh của hình hộp gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng nằm trên một mặt nào. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo hình hộp.

Hình hộp có 12 cạnh. Hai cạnh gọi là hai cạnh đối diện nếu chúng song song không cùng nằm trên bất kì một mặt nào của hình hộp.

5. Hình chóp cụt

- Định nghĩa

Cho hình chóp S.A₁A₂...A_n và một mặt phẳng (P) không qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy, cắt các cạnh SA₁,SA₂,...,SA_n lần lượt tại A^'₁,A^'₂,...,A^'_n. Hình tạo bởi thiết diện A^'₁A^'₂...A^'_n và đáy A₁A₂...A_n của hình chóp cùng với các tứ giác A^'₁A^'₂A₂A₁, A^'₂A^'₃A₃A₂ , …, A'_nA^'₁A₁A_n gọi là một hình chóp cụt.

- Trong đó:

+ Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt.

+ Thiết diện  A^'₁A^'₂...A^'_n gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt.

+ Các tứ giác A^'₁A^'₂A₂A₁, A^'₂A^'₃A₃A₂ , …, A'_nA^'₁A₁A_n gọi là các mặt bên của hình chóp cụt.

+ Các đoạn thẳng A₁A^'₁,..., A_nA'_n gọi là các cạnh bên của hình chóp cụt.

- Tính chất:

+ Hai đáy là hai đa giác có cạnh tương ứng song song và tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau.

+ Các mặt bên là những hình thang.

+ Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại một điểm.

II. Các dạng bài tập về hai mặt phẳng song song

Dạng 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song

Phương pháp giải: Thực hiện một trong hai cách sau:

- Chứng minh trong mặt phẳng này có hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.

Tức là:   

- Chứng minh hai mặt phẳng đó cùng song song với mặt phẳng thứ ba

  

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh SA, SD. Chứng minh (OMN) // (SBC).

Lời giải:

Ta có: M, O lần lượt là trung điểm SA, AC

Nên OM // SC (đường trung bình trong tam giác ASC)

Vậy  

⇒ OM // (SBC) 

 Tương tự được ON // SB (đường trung bình trong tam giác SBD)

Vậy  

 ⇒ ON // (SBC)

 Do đó:  

Ví dụ 2: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy M, N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD và AF tại M’ và N’. Chứng minh:

a. (ADF) // (BCE).

b. (DEF) // (MM’N’N).

Lời giải:

a. Ta có:    

Tương tự:    

Mà  

Vậy (ADF) // (BCE).

b. Vì ABCD và ABEF là các hình vuông nên AC = BF

Theo giả thiết ta có: AM = BN

Ta có MM’ // CD ⇒  

NN’ // AB ⇒  

Do đó:  

Suy ra: M’N’ // DF  (Định lý Ta – lét) 

Suy ra: DF // (MM’N’N)

Lại có: NN' // AB ⇒ NN' // EF 

Suy ra: EF // (MM’N’N)

Vậy  

Dạng 2: Xác định thiết diện của (α) với hình chóp khi biết (α) với một mặt phẳng (β) cho trước.

Phương pháp giải: 

Để xác định thiết diện trong trường hợp này ta sử dụng các tính chất sau

- Khi (α) // (β) thì (α) sẽ song song với tất cả các đường thẳng trong (β) và ta chuyển về dạng thiết diện song song với đường thẳng.

- Tìm đường thẳng d nằm trong (β) và xét các mặt phẳng có trong hình chóp mà chứa d, khi đó (α) // d nên sẽ cắt các mặt phẳng chứa d theo các giao tuyến song song với d.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M, N lần lượt là trung điểm AB, CD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) đi qua MN và song song với mặt phẳng (SAD). Thiết diện là hình gì?

Lời giải:

Ta có:  

⇒ (SAB) ∩ (α) = MK // SA, K ∈ SB

Tương tự:  

⇒ (SCD) ∩ (α) = NH // SD, H ∈ SC

Dễ thấy HK = (α) ∩ (SBC). Thiết diện là tứ giác MNHK.

Ba mặt phẳng (ABCD), (SBC), (α) đôi một cắt nhau theo các giao tuyến là MN, HK, BC 

Mà MN // BC

Suy ra: MN // HK

Vậy thiết diện là hình thang MNHK.

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O có AC = a, BD = b. Tam giác SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng (α) di động song song với mặt phẳng (SBD) và đi qua điểm I trên đoạn AC và AI = x (0 < x < a).

a. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) .

b. Tính diện tích thiết diện theo a, b, x.

Lời giải:

a. TH1: Xét I thuộc đoạn OA

Ta có:  

⇒ (α) ∩ (ABD) = MN // BD, I ∈ MN 

Tương tự:  

⇒ (SAD) ∩ (α) = NP // SD, P ∈ SA  

Thiết diện là tam giác MNP

Do  

Hai tam giác MNP và BSD có các cặp cạnh tương ứng song song nên chúng đồng dạng. Mà SDB đều nên tam giác MNP đều.

Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) là tam giác đều MNP.

TH2: Điểm I thuộc đoạn OC

Tương tự TH1 ta được thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) là tam giác đều HKL. 

b.

TH1: I thuộc đoạn OA

 

 Do MN // BD ⇒  

⇒  

 TH2: I thuộc đoạn OC, tương tự có:

   

Vậy  

Dạng 3: Một số ứng dụng của định lý Ta – lét 

Phương pháp giải: Định lý Ta – lét thường được ứng dụng nhiều trong các bài toán tỉ số hay các bài toán chứng minh đường thẳng song song với một mặt phẳng cố định.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a. Điểm M, N lần lượt trên AD’, BD sao cho AM = DN = x (0 < x < ).

a. Chứng minh khi x biến thiên, đường thẳng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.

b. Chứng minh khi  thì MN // A’C.

 

Lời giải:

a. Gọi (P) là mặt phẳng qua AD và song song với (A’D’CB)

Gọi (Q) là mặt phẳng qua M và song song với (A’D’CB)

Giả sử (Q) cắt BD tại N’

Theo định lí Thales có: 

Vì các mặt của hình hộp là hình vuông cạnh a nên AD' = DB =  

Từ (1) ta có AM = DN’

Mà DN = AM

Nên DN’ = DN 

⇒ N' ≡ N 

⇒ MN ⊂ (Q)

Mà  

Suy ra MN // (A’D’CB)

Vậy MN luôn song song với mặt phẳng cố định (A’D’CB).

b. 

Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là trung điểm AD

Ta có:  

Suy ra: DN = DO

Suy ra N là trọng tâm tam giác ACD

Tương tự M là trọng tâm tam giác A’AD

   

 Suy ra: MN // A’C (định lý Ta – lét)

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. M, N là các điểm thay đổi trên AB, CD sao cho: 

 

a. Chứng minh MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.

b. Cho , P là một điểm trên AC. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (MNP).

c. Tính theo k tỉ số diện tích tam giác MNP và diện tích thiết diện.

Lời giải:

a. Do  nên theo định lý Thales thì các đường thẳng MN, AC, BD cùng song song với một mặt phẳng (β)  

Gọi (α) là mặt phẳng đi qua AC và song song với BD thì (α) cố định

Suy ra MN luôn song song với (α) cố định.

b. Xét trường hợp  

Suy ra MP // BC 

Nên BC // (MNP)

Ta có:  

⇒ (BCD) ∩ (MNP) = NQ // BC, Q ∈ BD 

 Thiết diện là tứ giác MPNQ

Xét trường hợp  

Trong (ABC) gọi R là giao điểm của BC và MP

Trong (BCD) gọi Q là giao điểm NR và BD

Thiết diện là tứ giác MPNQ.

c. Gọi K là giao điểm MN và PQ

Ta có:   

Do  nên theo định lý Thales đảo thì AC, MN, BD lần lượt thuộc ba mặt phẳng song song với nhau và PQ cắt ba mặt phẳng này tương ứng tại P, K, Q

Áp dụng định lý Thales có: 

 

  

Dạng 4: Chứng minh các đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng hoặc bốn điểm đồng phẳng

Phương pháp giải: 

- Để chứng minh các đường thẳng cùng nằm trên một mặt phẳng ta chứng minh các đường thẳng đó cùng đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng.

- Để chứng minh 4 điểm đồng phẳng ta chứng minh các điểm đó thuộc các đường thẳng mà các đường thẳng đó đi qua điểm và song song với một mặt phẳng nào đó.

- Ngoài ra ta có thể sử dụng định lý Menelaus trong không gian để chứng minh bốn điểm đồng phẳng.

Định lý Menelaus

Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là các điểm trên các đường thẳng AB, BC, CD, DA của tứ diện ABCD thì M, N, P, Q đồng phẳng khi và chỉ khi  

Ví dụ minh họa

Ví dụ 7: Chứng minh định lý Menelaus.

Lời giải:

+) Phần thuận

Giả sử M, N, P, Q đồng phẳng

Từ các đỉnh A, B, C dựng các mặt phẳng (α), (β), (γ) theo thứ tự song song với (MNPQ).

Từ D dựng đường thẳng d cắt (α), (β), (γ) theo thứ tự A’, B’, C’ và cắt (MNPQ) tại O

Ta có:  

Theo định lý Thales thì: 

 

Vậy  

+) Phần đảo

Giả sử  

Gọi E là giao của AD với mặt phẳng (MNP).

Do M, N, P, E đồng phẳng nên    

   

Vậy M, N, P, Q đồng phẳng.

Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD và một điểm S trong không gian (S không trùng với A, B, C, D). Gọi E, F, H, K lần lượt là chân các đường phân giác góc S của các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA. Chứng minh bốn điểm E, F, H, K đồng phẳng.

  

Lời giải:

Theo tính chất đường phân giác ta có:

 

 Suy ra:    

Theo định lý Menelaus thì bốn điểm E, F, H, K đồng phẳng.

III. Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm trên cạnh AB, BC, CD, DA sao cho . Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.

Bài 2: Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, CD, SA. Chứng minh (SBN) // (DPM).

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD.

a. Chứng minh (OMN) // (SBC).

b. Gọi I là trung điểm SD, J là một điểm trên (ABCD) cách đều AB và CD. Chứng minh IJ // (SAB).

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O. Các tam giác SAD và ABC cân tại A. Gọi AE, AF là phân giác trong các tam giác ACD và SAB. Chứng minh EF // (SAD).

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC, một mặt phẳng di động song song với (ABC), cắt SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’. Tìm tập hợp điểm chung của ba mặt phẳng (A’BC), (B’AC), (C’AB).

Bài 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

a. Chứng minh (BAD’) // (B’D’C)
b. Chứng minh đường chéo AC’ đi qua trọng tâm E, F của tam giác BDA’, B’D’C đồng thời chia đường chéo AC’ thành ba phần bằng nhau.

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và tam giác SAD vuông tại A. Qua điểm M trên AB dựng mặt phẳng song song với (SAD) cắt CD, SC, SB tại N, P, Q.

a. Chứng minh MNPQ là hình thang vuông.

b. Gọi I là giao điểm của NP và MQ. Tìm tập hợp điểm I khi M di động trên cạnh AB.

Bài 8: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi I, K, G lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, A’B’C’, ACC’. Chứng minh (IGK) // (BB’C’C) và (A’KG) // (AIB).

Bài 9: Cho hình chóp cụt ABC.A’B’C’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của A’B’, BB’, BC.

a. Xác định thiết diện của hình chóp cụt với (MNP).

b. Gọi I là trung điểm BA. Tìm giao điểm của IC’ với (MNP).

Bài 10: Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thang, AD = BC = CD = a, AB = 2a. Mặt phẳng đi qua A cắt các cạnh BB’, CC’, DD’ lần lượt tại M, N, P.

a. Tứ giác AMNP là hình gì?

b. So sánh AM và NP.

Phần 5: Bài tập trắc nghiệm lý thuyết về đường thẳng và mặt phẳng cực hay

A. Phương pháp giải

* Các tính chất thừa nhận của hình học không gian

   + Tính chất thừa nhận 1:

    Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.

   + Tính chất thừa nhận 2:

    Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.

   + Tính chất thừa nhận 3:

    Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.

   + Tính chất thừa nhận 4:

    Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.

   + Tính chất thừa nhận 5:

    Trong mỗi mặt phẳng, các kết đã biết của hình học phẳng đều đúng.

   + Định lí:

    Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

* Điều kiện xác định mặt phẳng

Có bốn cách xác định trong một mặt phẳng:

   + Cách 1: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua ba điểm A; B; C không thẳng hàng của mặt phẳng, kí hiệu (ABC) .

   + Cách 2: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua một đường thẳng d và một điểm A không thuộc d; kí hiệu (A; d).

   + Cách 3: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng a; b cắt nhau, kí hiệu: (a; b).

   + Cách 4: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng a; b song song, kí hiệu (a; b).

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong các khẳng định sau; khẳng định nào đúng?

A. Qua hai điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng.

B. Qua ba điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.

C. Qua ba điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.

D. Qua bốn điểm bất kì có duy nhất một mặt phẳng.

Lời giải

Chọn C

- A sai. Qua 2 điểm phân biệt, tạo được 1 đường thẳng, khi đó chưa đủ điều kiện để lập một mặt phẳng xác định. Có vô số mặt phẳng đi qua 2 điểm đã cho.

- B sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì chỉ tạo được đường thẳng, khi đó có vô số mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt thẳng hàng.

- D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.

Ví dụ 2: Trong không gian; cho 5 điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được tối đa bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đã cho?

A. 7       B. 8      C. 10      D . 6

Lời giải

Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn xác định được một mặt phẳng.

Khi đó, với 5 điểm không đồng phẳng ta tạo được tối đa:  mặt phẳng. (Khi đó: không có 3 điểm nào thẳng hàng)

Chọn C

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng ( α); cho 3 điểm A; B; C; trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Điểm S ∉ (α) ; hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi S và các điểm đã cho

Lời giải

Cách 1:

Với điểm S không thuộc mặt phẳng (α) và 3 điểm A; B; C thuộc mặt phẳng (α)

Ta có  cách chọn 2 trong 3 điểm A; B; C cùng với điểm S lập thành 1 mặt phẳng xác định.

Vậy số mặt phẳng tạo được là 3.

   + Cách 2: ta liệt kê các mặt phẳng tạo bởi S và 2 trong 3 điểm A; B; C là mp (SAB); mp(SAC) và mp(SBC)

Ví dụ 4: Cho 5 điểm phân biệt : A; B; C; D; E trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi 3 trong 5 điểm đã cho?

A. 8       B. 9       C. 10      D. 12

Lời giải

   + Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định.

   + Ta có  cách chọn 3 điểm trong 5 điểm đã cho để tạo được 1 mặt phẳng xác định.

Vậy số mặt phẳng tạo được là 10

Chọn C

Ví dụ 5: Cách xác định một mặt phẳng duy nhất là:

A. Ba điểm phân biệt.

B. Một điểm và một đường thẳng.

C. Hai đường thẳng cắt nhau.

D. bốn điểm bất kì.

Lời giải

Chọn C

- A sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa 3 điểm thẳng hàng đã cho.

- B sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ta chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.

- D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.

Ví dụ 6: Cho hình vuông ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh của hình vuông ABCD?

A. 1        B . 2        C. 3        D. 4

Lời giải

Tứ giác ABCD là hình vuông khi đó 4 điểm A; B; C; D đã đồng phẳng và tạo thành 1 mặt phẳng duy nhất là mp(ABCD).

Chọn A

Ví dụ 7: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.

B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.

C. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.

D. Nếu ba điểm phân biệt M, N, P cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng.

Lời giải

Chọn B

Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có thể trùng nhau. Khi đó, chúng có vô số đường thẳng chung ⇒ B sai

Phần 6: Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng cực hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: ta tìm hai điểm chung thuộc cả hai mặt phẳng. Nối hai điểm chung đó được giao tuyến cần tìm.

Về dạng này điểm chung thứ nhất thường dễ tìm. Điểm chung còn lại các bạn phải tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng, đồng thời chúng lại thuộc mặt phẳng thứ ba và chúng không song song. Giao điểm của hai đường thẳng đó là điểm chung thứ hai.

Chú ý: Giao tuyến là đường thẳng chung của hai mặt phẳng, có nghĩa là giao tuyến là đường thẳng vừa thuộc mặt phẳng này vừa thuộc mặt phẳng kia.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của AD và BC. Tìm mệnh đề sai?

A. Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên.

B. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO.

C. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là SI.

D. Đường thẳng SO nhìn thấy nên được biểu diễn bằng nét đứt.

Lời giải

Xét các phương án:

   + Phương án A:

Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên là: (SAB); (SBC); (SCD) và (SAD). Do đó A đúng.

   + Phương án B:

Ta có:

Do đó B đúng

   + Tương tự, ta có SI = (SAD) ∩ (SBC). Do đó C đúng.

   + Đường thẳng SO không nhìn thấy nên được biểu diễn bằng nét đứt. Do đó D sai. Chọn D.

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với nhau. Lấy một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD).

A. SO trong đó O là giao điểm của AC và BD.

B. SI trong đó I là giao điểm của AB và CD.

C. SE trong đó E là giao điểm của AD và BC.

D. Đáp án khác

Lời giải

   + Ta có : S ∈ (SAC) ∩ (SBD)   (1)

   + Trong mp(ABCD) gọi giao điểm của AC và BD là O. ( bạn đọc tự vẽ hình)

- Vì

   + Từ (1) và (2) suy ra SO = (SAC) ∩ (SBD)

Chọn A

Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với nhau. Lấy một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SCD)

A. SO trong đó O là giao điểm của AC và BD

B. SI trong đó I là giao điểm của AB và CD

C. SE trong đó E là giao điểm của AD và BC

D. Đáp án khác

Lời giải

   + Ta có: S ∈ (SAB) ∩ (SCD)   (1)

   + Trong mp(ABCD) gọi giao điểm của AB và CD là I. (bạn đọc tự vẽ hình)

Vì

   + Từ (1) và (2) suy ra SI = (SAB) ∩ (SCD)

Chọn B

Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Giao tuyến của mặt phẳng (ACD) và (GAB) là:

A. AN trong đó N là trung điểm CD

B. AM trong đó M là trung điểm của AB.

C. AH trong đó H là hình chiếu của A lên BG.

D. AK trong đó K là hình chiếu của C lên BD.

Lời giải

   + Ta có: A ∈ (ABG) ∩ (ACD)    (1)

   + Gọi N là giao điểm của BG và CD. Khi đó N là trung điểm CD.

Từ (1) và (2) suy ra: NA = (ABG) ∩ (ACD)

Chọn A.

Ví dụ 5: Cho điểm A không nằm trên mp(α) - chứa tam giác BCD . Lấy E; F là các điểm lần lượt nằm trên cạnh AB; AC. Khi EF và BC cắt nhau tại I; thì I không là điểm chung của 2 mặt phẳng nào sau đây ?

A. (BCD) và (DEF)

B. (BCD) và (ABC)

C. (BCD) và (AEF)

D. (BCD) và (ABD)

Lời giải

   + Do I là giao điểm của EF và BC nên I ∈ BC; I ∈ (BCD).   (1)

   + Hơn nữa I ∈ EF mà 

Từ (1) và (2) suy ra:

Chọn D

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AC và CD. Giao tuyến của 2 mặt phẳng (MBD) và (ABN) là:

A. Đường thẳng MN

B. Đường thẳng AM

C. Đường thẳng BG (G là trọng tâm tam giác ACD)

D. Đường thẳng AH ( H là trực tâm tam giác ACD)

Lời giải

   + Ta có: B ∈ (MBD) ∩ (ABN).    (1)

   + Vì M; N lần lượt là trung điểm của AC và CD nên suy ra AN và DM là hai trung tuyến của tam giác ACD. Gọi giao điểm của AN và DM là G. Khi đó: G là trọng tâm tam giác ACD

Từ (1) và ( 2) suy ra: BG = (ABN) ∩ (MBD)

Chọn C

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD ( AB// CD). Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hình chóp S.ABCD có mặt bên

B. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO (O là giao điểm của AC và BD)

C. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là SI (I là giao điểm của AD và BC)

D. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là đường trung bình của ABCD

Lời giải

Chọn D

   + Hình chóp S.ABCD có mặt bên (SAB), (SBC); (SCD) và (SAD) nên A đúng.

   + S và O là hai điểm chung của (SAC) và (SBD) nên B đúng.

   + S và I là hai điểm chung của (SAD) và (SBC) nên C đúng.

   + Giao tuyến của (SAB) và (SAD) là SA, rõ ràng SA không thể là đường trung bình của hình thang ABCD.

Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi O là một điểm bên trong tam giác BCD và M là một điểm trên đoạn AO. Gọi I và J là hai điểm trên cạnh BC; BD. Giả sử IJ cắt CD tại K, BO cắt IJ tại E và cắt CD tại H, ME cắt AH tại F. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MIJ) và (ACD) là đường thẳng:

A. KM          B. AK          C. MF          D. KF

Lời giải

Chọn D.

   + Do K là giao điểm của IJ và CD nên: K ∈ (MIJ) ∩ (ACD)    (1)

   + Ta có F là giao điểm của ME và AH

Mà AH ⊂ (ACD), ME ⊂ (MIJ) nên F ∈ (MIJ) ∩ (ACD)     (2)

Từ (1) và (2) có (MIJ) ∩ (ACD) = KF

Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là trung điểm của SD, J là điểm trên SC và không trùng trung điểm SC. Giao tuyến của hai mặt phẳng (ABCD) và (AIJ) là:

A. AK với K là giao điểm IJ và BC

B. AH với H là giao điểm IJ và AB

C. AG với G là giao điểm IJ và AD

D. AF với F là giao điểm IJ và CD

Lời giải

Chọn D.

   + A là điểm chung thứ nhất của (ABCD) và (AIJ)

   + IJ và CD cắt nhau tại F, còn IJ không cắt BC; AD; AB

Nên F là điểm chung thứ hai của (ABCD) và (AIJ)

Vậy giao tuyến của (ABCD) và (AIJ) là AF

Chương 2. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song

§1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

1. Một số khái niệm về hình không gian

* Kí hiệu mặt phẳng:

- Biểu diễn một mặt phẳng trong không gian:

- Ký hiệu: \({\mathop{\rm mp}\nolimits} (\alpha )\) hoặc \((\alpha )\).

* Điểm thuộc đường thẳng và điểm không thuộc đường thẳng:

 

* Điểm thuộc mặt phẳng và điểm không thuộc mặt phẳng. Đường thẳng nằm trong mặt phẳng và đường thẳng cắt mặt phẳng:

1. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A \in (\alpha )}\\{B \in (\alpha )}\end{array} \Rightarrow d \subset (\alpha )} \right.\)

2. \(C \in d \Rightarrow C \in (\alpha )\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{B \notin (\alpha )}\\{d \cap (\alpha ) = A}\end{array} \Rightarrow A} \right.\) là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng \((\alpha )\)

2. Biểu diễn 1 hình không gian như thế nào?

* Khi vẽ một hình không gian ta tuân thủ các quy tắc sau:

- Đường thẳng thì vẽ đường thẳng; đoạn thẳng thì vẽ đoạn thẳng.

- Hai đường thẳng song song thì vẽ song song; hai đường thẳng cắt nhau thì vẽ cắt nhau.

- Hình vẽ phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng.

- Dùng nét vẽ liền để vẽ đường nhìn thấy và nét đứt đoạn vẽ cho đường bi che khuất.

- Một hình có đáy là hình vuông; hình thoi; hình chữ nhật; hình bình hành thì đều vẽ là hình bình hành và góc nhọn của hình bình hành nên vẽ ${45}^{°}$.

Minh họa

Hình biểu diễn của hình lập phương (Hình có 6 mặt là hình vuông)

Hình biểu diễn cuaqr 1 hình chóp tam giác (Hay hình biểu diễn của 1 tứ diện)

3. Một mặt phẳng được xác định như thế nào?

* Ba điểm không thẳng hàng xác định một măt phẳng:

* Một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng xác định một mặt phẳng:

* Hai đường thẳng cắt nhau xác định một mặt phẳng:

Ki hiệu: mp(a,b)

Chú ý: Trong hình không gian để kết luận hai đường thẳng cắt nhau thì phải xem chúng đã cùng nằm trong một mặt phẳng chưa. (Học sinh phải thật chú ý điều quan trọng này)

4 Các tính chất thừa nhận trong không gian

\( \to \) * Tính chất 1:

Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

* Tính chất 2:

Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

* Tính chất 3 :

Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

* Tính chất 4: Nếu 1 đường thẳng d có hai điểm phân biệt thuộc 1 mặt phẳng (\(\alpha \)) thì đường thẳng nằm trong mặt phẳng (\(\alpha \)). Suy ra mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng (\(\alpha \)).

* Tính chất 5 :

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung A thì chúng có một điểm chung B khác nữa. Suy ra: Nếu cắt nhau thi hai mặt phẳng phân biêt \((\alpha )\) và \((\beta )\) sẽ cắt nhau theo một đường thẳng d gọi là giao tuyến. Giao tuyến d sê chứa tất cả điểm chung của hai mặt phẳng.

Kí hiệu : \((\alpha ) \cap (\beta )\)

* Tính chất 6:

Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả trong hình học phẳng đều đúng.

5. Hình chóp

- Hình chóp là hình không gian có một mặt phẳng đáy là một đa giác và một điểm không thuộc đáy gọi là đỉnh.

- Nếu hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác,... thì ta gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác ...

- Kí hiệu hình chóp là: Đỉnh. Đa giác đáy

- Ví dụ: Hình chóp tứ giác S.ABCD

- Tứ diện là một hình chóp tam giác nhưng không phân biệt đỉnh (các em sẽ hiểu rõ điều này khi học tứ diện đều và hình chóp tam giác đều).

6. Một số lưu ý khi học hình không gian

- Khi vẽ hình không gian nên hạn chế góc vẽ mà có nhiều nét đứt trong một hình.

- Học sinh thường nghĩ hai đường thẳng xiên xiên khi kéo dài sẽ cắt nhau, đây là cách nghĩ trong hình học phẳng còn trong hình không gian hai đường thẳng chỉ cắt nhau khi chúng cùng nằm trong một mặt phẳng và không song song.

Ví dụ: Trong hình chóp S.ABCD như trên thì AB và CD cắt nhau còn SA và CD hay AD và SB thì không cắt nhau ... là \(d \subset (\alpha )\).

- Nếu đường thẳng d không nằm trong \({\rm{mp}}(\alpha )\) thì ta kí hiệu là: \(d\not  \subset (\alpha )\).

7. Bài tập tự luận

Dạng 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng.

Xem thêm