Ví dụ 2. Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn \[ab = bc + ca = 1.\]

Rút gọn biểu thức sau:

\[A = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}{{\left( {b + c} \right)}^2}{{\left( {c + a} \right)}^2}}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)\left( {1 + {c^2}} \right)}}.\]

Giải

Tìm cách giải. Nhận thấy mẫu thức có thể phân tích thành nhân tử bằng cách sử dụng giả thiết. Do vậy nên thay\[1 = ab + bc + ca\] vào mẫu và phân tích đa thức thành nhân tử. Những bài toán rút gọn có điều kiện, chúng ta nên vận dụng và biến đổi khéo léo điều kiện.

Trình bày lời giải

Thay \[1 = ab + bc + ca\],

ta được \[1 + {a^2} = {a^2} + ab + bc + ca\]

\[1 = {a^2} = \left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\]

Tương tự:\[1 + {b^2} = \left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\]

\[1 + {c^2} = \left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)\]

Vậy \[A = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}{{\left( {b + c} \right)}^2}{{\left( {c + a} \right)}^2}}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\left( {b + a} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)}} = 1.\]

Ví dụ 3. Cho biểu thức\[P = \frac{{{a^3} - 4{a^2} - a + 4}}{{{a^3} - 7{a^3} + 14a - 8}}\]

a)     Rút gọn biểu thức P.

b)    Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên.

Giải

Tìm cách giải. Khi rút gọn biểu thức, chúng ta cần phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử.

Để tìm giá trị nguyên của a, chúng ta cần tách phần nguyên và cho phân thức có giá trị nguyên. Chẳng hạn\[P = \frac{{a + 1}}{{a - 2}}\] thì ta viết\[P = 1 + \frac{3}{{a - 2}}\], vì 1 là số nguyên nên để P là số nguyên thì\[\frac{3}{{a - 2}}\] có giá trị nguyên. Do vậy\[a - 2\] phải là ước số của 3.

Trình bày lời giải

a)     Ta có:

\[\begin{array}{l}P = \frac{{{a^3} - 4{a^2} - a + 4}}{{{a^3} - 7{a^3} + 14a - 8}}\\ = \frac{{{a^2}\left( {a - 4} \right) - \left( {a - 4} \right)}}{{{a^3} - 2{a^2} - 5{a^2} + 10a + 4a - 8}}\\ = \frac{{\left( {{a^2} - 1} \right)\left( {a - 4} \right)}}{{{a^2}\left( {a - 2} \right) - 5a\left( {a - 2} \right) + 4\left( {a - 2} \right)}}\\ = \frac{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)\left( {a - 4} \right)}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a - 4} \right)\left( {a - 2} \right)}} = \frac{{a + 1}}{{a - 2}}\end{array}\]

b)    Ta có:\[P = 1 + \frac{3}{{a - 2}}(a \ne 2)\]

Vậy

\[\begin{array}{l}P \in Z \Leftrightarrow \frac{3}{{a - 2}} \in Z\\ \Leftrightarrow a - 2 \in \left\{ { \pm 1; \pm \left. 3 \right\}} \right.\\ \Leftrightarrow a \in \left\{ { - 1;1;3;\left. 5 \right\}} \right.\end{array}\]

Ví dụ 4. Cho phân thức\[F(x) = \frac{{{x^4} + {x^3} - {x^2} - 2x - 2}}{{{x^4} + 2{x^3} - {x^2} - 4x - 2}}.\]

Xác định x để phân thức\[F(x)\] có giá trị nhỏ nhất.

Giải

Tìm cách giải. Trong phân thức\[F(x)\] thì bậc của tử thức và mẫu thức là 4, khá lớn. Do đó việc tìm giá trị nhỏ nhất gặp nhiều khó khăn, vậy cần rút gọn biểu thức\[F(x)\]. Khi\[F(x)\] viết được dưới dạng phân thức mà tử thức và mẫu thức là bậc hai, ta tìm cực trị bằng cách lấy biểu thức\[F(x) - m\], sao cho kết qủa tử thức viết được dưới dạng hằng đẳng thức\[{(a \pm b)^2}.\]

Trình bày lời giải

\[F(x) = \frac{{{x^4} + {x^3} - {x^2} - 2x - 2}}{{{x^4} + 2{x^3} - {x^2} - 4x - 2}} = \frac{{{x^4} + {x^3} + {x^2} - 2{x^2} - 2x - 2}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2} - 2{x^2} - 4x - 2}}\]

\[\begin{array}{l} = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} + x + 1} \right) - 2\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2}\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - 2\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}\end{array}\]

Xét

\[\begin{array}{l}F(x) - \frac{3}{4} = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}} - \frac{3}{4}\\ = \frac{{4{x^2} + 4x + 4 - 3{x^2} - 6x - 3}}{{4{x^2} + 8x + 4}}\\ = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{4{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \ge 0\end{array}\]

Suy ra \[F(x) \ge \frac{3}{4}.\] Dấu bằng xảy ra khi \[x = 1\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \[F(x) = \frac{3}{4}\] khi\[x = 1\]

Ví dụ 5. Cho biểu thức\[B = \frac{{{x^4} - {x^3} - x + 1}}{{{x^4} + {x^3} + 3{x^2} + 2\left( {x + 1} \right)}}.\] Chứng minh rằng biểu thức B không âm với mọi giá trị của x.

Giải

Tìm cách giải. Chứng minh biểu thức không âm với mọi giá trị của x, ta cần phải rút gọn biểu thức. Sau đó chứng tỏ tử thức không âm và mẫu thức dương.

Trình bày lời giải

\[\begin{array}{l}B = \frac{{{x^3}\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right)}}{{{x^2}\left( {{x^2} + x + 1} \right) + 2\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 2}}\end{array}\]

\[B = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 2}} \ge 0.\]

Vây B không âm với mọi giá trị của x.

Ví dụ 6. Tính \[P = \frac{{\left( {{{1986}^2} + 1992} \right)\left( {{{1986}^2} + 3972 - 3} \right).1987}}{{1983.1985.1988.1989}}.\]

Giải

Tìm cách giải. Bài toán này chứa số khá lớn. Nhiều số gần với 1986, do đó rất tự nhiên đặt\[1986 = x\], rồi biểu diễn các số gần với 1986 theo x, ta được biểu thức P biến x. Sau đó rút gọn biểu thức P.

Trình bày lời giải

Đặt \[1986 = x\].

Ta có:

\[P = \frac{{\left( {{x^2} - x - 6} \right)\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\]

  \[\begin{array}{l} = \frac{{\left( {{x^2} - 3x + 2x - 6} \right)\left( {{x^2} - x + 3x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\end{array}\]

\[P = x + 1\] hay \[P = 1996 + 1 = 1997\]

Nhận xét. Phương pháp giải bài trên là đại số hóa bằng cách đặt\[x = 1986\], sau đó rút gọn phân thức đại số. Nhiều biểu thức số ta có thể giải bằng đại số như trên.

III. Bài tập vận dụng

1.1  Rút gọn biểu thức:

a)\[\frac{{2{x^3} - 7{x^2} - 12x + 45}}{{3{x^3} - 19{x^2} + 33x - 9}}\]

b)\[N = \frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^4} - 11{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 30}}{{3{{\left( {a - 1} \right)}^4} - 18\left( {{a^2} - 2a} \right) - 3}}\]

Hướng dẫn giải – đáp số

a)\[\begin{array}{l}\frac{{2{x^3} - 7{x^2} - 12x + 45}}{{3{x^3} - 19{x^2} + 33x - 9}}\\ = \frac{{2{x^3} - 6{x^2} - {x^2} + 3x - 15x + 45}}{{3{x^3} - 9{x^2} - 10{x^2} + 30x + 3x - 9}}\end{array}\]

\[\begin{array}{l} = \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {2{x^2} - x - 15} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {3{x^2} - 10x + 3} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2x + 5} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {3x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{2x + 5}}{{3x - 1}}\end{array}\]

b)

\[\begin{array}{l}N = \frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^4} - 11{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 30}}{{3{{\left( {a - 1} \right)}^4} - 18\left( {{a^2} - 2a} \right) - 3}}\\ = \frac{{\left[ {{{\left( {a - 1} \right)}^2} - 5} \right]\left[ {{{\left( {a - 1} \right)}^2} - 6} \right]}}{{3{{\left( {a - 1} \right)}^4} - 18{{\left( {a - 1} \right)}^2} - 15}}\end{array}\]

\[\begin{array}{l}N = \frac{{\left( {{a^2} - 2a - 4} \right)\left( {{a^2} - 2a - 5} \right)}}{{3\left[ {{{\left( {a - 1} \right)}^2} - 5} \right]\left[ {{{\left( {a - 1} \right)}^2} - 1} \right]}}\\ = \frac{{{a^2} - 2a - 5}}{{3{a^2} - 6a}}.\end{array}\]

1.2. Rút gọn biểu thức:

\[A = \frac{{{n^3} + 2{n^2} - 1}}{{{n^3} + 2{n^2} + 2n + 1}};\]

\[M = \frac{{{x^5} - 2{x^4} + 2{x^3} - 4{x^2} - 3x + 6}}{{{x^2} + 2x - 8}};\]

\[N = \frac{{x{y^2} + {y^2}\left( {{y^2} - x} \right) + 1}}{{{x^2}{y^4} + 2{y^4} + {x^2} + 2}}.\]

Hướng dẫn giải – đáp số

\[\begin{array}{l}A = \frac{{{n^3} + 2{n^2} - 1}}{{{n^3} + 2{n^2} + 2n + 1}}\\ = \frac{{{n^3} + {n^2} + {n^2} - 1}}{{{n^3} + {n^2} + {n^2} + n + n + 1}}\end{array}\]

 \[ = \frac{{{n^2}\left( {n + 1} \right) + \left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)}}{{{n^2}\left( {n + 1} \right) + n\left( {n + 1} \right) + n + 1}} = \frac{{{n^2} + n - 1}}{{{n^2} + n + 1}}\]
\[\begin{array}{l}M = \frac{{{x^5} - 2{x^4} + 2{x^3} - 4{x^2} - 3x + 6}}{{{x^2} + 2x - 8}}\\ = \frac{{{x^4}\left( {x - 2} \right) + 2{x^{^2}}\left( {x - 2} \right) - 3\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}\end{array}\]

\[ = {\rm{ }} = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 3} \right)}}{{x + 4}}\]

\[\begin{array}{l}N = \frac{{x{y^2} + {y^2}\left( {{y^2} - x} \right) + 1}}{{{x^2}{y^4} + 2{y^4} + {x^2} + 2}}\\ = \frac{{y{}^4 + 1}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {{y^4} + 1} \right)}} = \frac{1}{{{x^2} + 2}}\end{array}\]

1.3. Rút gọn biểu thức: \[P = \frac{{abc + a + b + c - \left( {ab + bc + ca + 1} \right)}}{{{a^2}b + 1 - \left( {{a^2} + b} \right)}}.\]

Hướng dẫn giải – đáp số

\[\begin{array}{l}P = \frac{{abc - bc + a - 1 - ab + b - ac + c}}{{{a^2}b - {a^2} - b + 1}}\\ = \frac{{\left( {a - 1} \right)\left( {bc + 1 - b - c} \right)}}{{\left( {b - 1} \right)\left( {{a^2} - 1} \right)}}\end{array}\]

\[ = \frac{{\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right)\left( {c - 1} \right)}}{{\left( {b - 1} \right)\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}} = \frac{{c - 1}}{{a + 1}}.\]