Cách rút gọn phân thức lớp 8 và điều kiện xác định
Lớp 8Toán

30 bài tập rút gọn phân thức có đáp án – Toán 8

Trả lời nhanh

Để rút gọn phân thức, em làm ba bước: phân tích tử và mẫu thành nhân tử, tìm nhân tử chung (dùng quy tắc đổi dấu nếu cần), rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó. Ví dụ: (x2 − 4)/(x2 + 2x) = (x − 2)(x + 2)/[x(x + 2)] = (x − 2)/x, với x ≠ 0 và x ≠ −2. Bên dưới là 30 bài tập có đáp án.

1. Cách rút gọn phân thức: 3 bước cần nhớ

Rút gọn phân thức là biến đổi nó thành một phân thức bằng nó nhưng tử và mẫu không còn nhân tử chung nào (ngoài số 1 và −1). Cơ sở của việc này là tính chất cơ bản: nhân hoặc chia cả tử và mẫu với cùng một đa thức khác 0 thì được phân thức bằng phân thức đã cho.

  1. Bước 1: Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử (đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức, nhóm hạng tử, tách hạng tử).
  2. Bước 2: Tìm nhân tử chung của tử và mẫu. Nếu có hai nhân tử đối nhau như (x − 3) và (3 − x) thì đổi dấu: A − B = −(B − A).
  3. Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung, viết kết quả cùng điều kiện xác định (ĐKXĐ).

Các công cụ phân tích thường dùng

  • A2 − B2 = (A − B)(A + B); (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2
  • A3 − B3 = (A − B)(A2 + AB + B2); A3 + B3 = (A + B)(A2 − AB + B2)
  • Tam thức bậc hai x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
  • Quy tắc đổi dấu: (A − B)2 = (B − A)2, còn (A − B)3 = −(B − A)3. Luỹ thừa chẵn thì giữ dấu, luỹ thừa lẻ thì đổi dấu.

Mẹo nhớ

Phân thức giống một phân số: muốn rút gọn thì phải thấy được các “thừa số” ở cả trên lẫn dưới. Chỉ được gạch bỏ thừa số (đứng nhân với nhau), không bao giờ gạch số hạng (đứng cộng trừ với nhau).

Lỗi sai thường gặp

  • Gạch số hạng: (x + 2)/(x + 3) ≠ 2/3; (x2 + 4)/(x + 2) không bằng x + 2.
  • Quên đổi dấu: (x − 3)/(3 − x) = −1 chứ không phải 1.
  • Không ghi ĐKXĐ, hoặc ghi ĐKXĐ theo phân thức đã rút gọn thay vì phân thức ban đầu.
  • Rút gọn chưa triệt để, vẫn còn nhân tử chung ở kết quả.

2. Ba ví dụ mẫu

Ví dụ 1 (đặt nhân tử chung). 8x2(x − 1)/[12x(x − 1)2]. Nhân tử chung là 4x(x − 1). Kết quả: 2x/[3(x − 1)], ĐKXĐ x ≠ 0, x ≠ 1.

Ví dụ 2 (hằng đẳng thức). (x2 − 6x + 9)/(x2 − 9) = (x − 3)2/[(x − 3)(x + 3)] = (x − 3)/(x + 3), ĐKXĐ x ≠ ±3.

Ví dụ 3 (đổi dấu). (2 − x)/(x2 − 4x + 4) = −(x − 2)/(x − 2)2 = −1/(x − 2), ĐKXĐ x ≠ 2.

Cần ôn thêm lý thuyết? Xem Lý thuyết Rút gọn phân thức, Rút gọn phân thức và phương pháp giải và Giải Toán 8 Bài 3: Rút gọn phân thức.

3. Phần A – 10 câu trắc nghiệm

Câu 1. Rút gọn 9x3y/(12x2y4) được: A. 3x/(4y2); B. 3x/(4y3); C. 3/(4y3); D. 3x2/(4y3).
Đáp án B. 9/12 = 3/4; x3/x2 = x; y/y4 = 1/y3.

Câu 2. Rút gọn (x2 − 16)/(4x − x2): A. (x + 4)/x; B. −(x + 4)/x; C. (x − 4)/x; D. −(x − 4)/x.
Đáp án B. Tử = (x − 4)(x + 4), mẫu = x(4 − x) = −x(x − 4). Chia cho (x − 4) được −(x + 4)/x.

Câu 3. Rút gọn (x2 − 9)/(x2 + 6x + 9): A. (x − 3)/(x + 3); B. (x + 3)/(x − 3); C. −1; D. (x − 3)/(x + 9).
Đáp án A. Mẫu = (x + 3)2, tử = (x − 3)(x + 3).

Câu 4. Rút gọn (5x + 10)/(x2 − 4): A. 5/(x + 2); B. 5/(x − 2); C. 5(x + 2)/(x − 2); D. (x + 2)/5.
Đáp án B. 5(x + 2)/[(x − 2)(x + 2)] = 5/(x − 2).

Câu 5. Rút gọn (x3 − 1)/(x2 − 1): A. (x2 + x + 1)/(x + 1); B. (x2 − x + 1)/(x + 1); C. x + 1; D. (x2 + x + 1)/(x − 1).
Đáp án A. x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1), x2 − 1 = (x − 1)(x + 1). Phương án B nhầm dấu hằng đẳng thức hiệu hai lập phương.

Câu 6. Đẳng thức nào sai? A. (x − y)/(y − x) = −1; B. 3x2y/(6xy2) = x/(2y); C. (x2 + 4)/(x + 2) = x + 2; D. (x2 − 4)/(x + 2) = x − 2.
Đáp án C. x2 + 4 không phân tích được thành tích chứa (x + 2). Thử x = 1: vế trái 5/3, vế phải 3.

Câu 7. Rút gọn (4x2 − 1)/(2x2 + x): A. (2x − 1)/x; B. (2x + 1)/x; C. 2x − 1; D. (2x − 1)/(x + 1).
Đáp án A. Tử = (2x − 1)(2x + 1), mẫu = x(2x + 1).

Câu 8. Rút gọn (x2 − x)/(1 − x2): A. x/(x + 1); B. −x/(x + 1); C. x/(x − 1); D. −x/(x − 1).
Đáp án B. Tử = x(x − 1); mẫu = (1 − x)(1 + x) = −(x − 1)(x + 1). Chia cho (x − 1) được −x/(x + 1).

Câu 9. Giá trị của (x2 − 1)/(x2 − 2x + 1) tại x = 3: A. 1; B. 2; C. 4; D. 1/2.
Đáp án B. Rút gọn được (x + 1)/(x − 1) = 4/2 = 2. Kiểm tra trực tiếp: 8/4 = 2.

Câu 10. Rút gọn (a2 − ab)/(ab − b2): A. a/b; B. −a/b; C. a2/b2; D. 1.
Đáp án A. a(a − b)/[b(a − b)] = a/b (a ≠ b, b ≠ 0).

4. Phần B – 10 bài tự luận cơ bản

Các bài này chỉ cần đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức đơn giản. Em tự làm trước rồi đối chiếu.

  1. 15x2y3/(25x3y).
    Đáp án: 3y2/(5x) (x, y ≠ 0).
  2. −12x4y2/(18x2y5).
    Đáp án: −2x2/(3y3).
  3. 6x(x + 2)2/[9x2(x + 2)].
    Đáp án: 2(x + 2)/(3x) (x ≠ 0, x ≠ −2).
  4. (3x + 6)/(x2 + 2x).
    Đáp án: 3(x + 2)/[x(x + 2)] = 3/x.
  5. (x2 − 25)/(x2 + 10x + 25).
    Đáp án: (x − 5)/(x + 5) (x ≠ −5).
  6. (x2 − 2x + 1)/(x2 − x).
    Đáp án: (x − 1)2/[x(x − 1)] = (x − 1)/x (x ≠ 0, x ≠ 1).
  7. (2x − 4)/(4 − x2).
    Đáp án: 2(x − 2)/[(2 − x)(2 + x)] = −2/(x + 2) (x ≠ ±2).
  8. (x2 + 4x + 4)/(x3 + 8).
    Đáp án: (x + 2)2/[(x + 2)(x2 − 2x + 4)] = (x + 2)/(x2 − 2x + 4) (x ≠ −2).
  9. (ax + ay + bx + by)/(a2 − b2).
    Đáp án: Nhóm tử: (a + b)(x + y). Mẫu: (a − b)(a + b). Kết quả (x + y)/(a − b) (a ≠ ±b).
  10. 8(x − 1)2/[12(1 − x)3].
    Đáp án: (1 − x)3 = −(x − 1)3 nên kết quả là −2/[3(x − 1)] (x ≠ 1).

5. Phần C – 10 bài nâng cao

Các bài này cần nhóm hạng tử, tách hạng tử hoặc dùng hằng đẳng thức bậc ba.

  1. (x3 − x)/(x2 − 2x + 1).
    Đáp án: x(x − 1)(x + 1)/(x − 1)2 = x(x + 1)/(x − 1) (x ≠ 1).
  2. (x2 − 3xy + 2y2)/(x2 − y2).
    Đáp án: Tử = (x − y)(x − 2y). Kết quả (x − 2y)/(x + y) (x ≠ ±y).
  3. (x3 − 3x2 + 3x − 1)/(x2 − 1).
    Đáp án: Tử = (x − 1)3. Kết quả (x − 1)2/(x + 1) (x ≠ ±1).
  4. (x2 − 4x + 3)/(x3 − 27).
    Đáp án: (x − 1)(x − 3)/[(x − 3)(x2 + 3x + 9)] = (x − 1)/(x2 + 3x + 9) (x ≠ 3).
  5. (x2 + x − 6)/(x2 − x − 2).
    Đáp án: (x + 3)(x − 2)/[(x − 2)(x + 1)] = (x + 3)/(x + 1) (x ≠ 2, x ≠ −1).
  6. (x2 − y2 + 2x − 2y)/(x2 − 2xy + y2).
    Đáp án: Tử = (x − y)(x + y) + 2(x − y) = (x − y)(x + y + 2). Kết quả (x + y + 2)/(x − y) (x ≠ y).
  7. (x4 − 1)/(x3 + x2 + x + 1).
    Đáp án: Tử = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1); mẫu = (x + 1)(x2 + 1). Kết quả x − 1 (x ≠ −1).
  8. (x3 − 2x2 − x + 2)/(x2 − 3x + 2).
    Đáp án: Tử = (x − 2)(x2 − 1) = (x − 2)(x − 1)(x + 1); mẫu = (x − 1)(x − 2). Kết quả x + 1 (x ≠ 1, x ≠ 2).
  9. Tính giá trị A = (x2 − 6x + 9)/(x2 − 9) tại x = 5.
    Đáp án: A = (x − 3)/(x + 3) = 2/8 = 1/4.
  10. Tìm số nguyên x để phân thức (x2 + 2x)/(x2 − 4) nhận giá trị nguyên.
    Đáp án: Rút gọn được x/(x − 2) = 1 + 2/(x − 2). Cần (x − 2) là ước của 2: x − 2 ∈ {±1, ±2} nên x ∈ {3, 1, 4, 0}. Cả bốn giá trị đều thoả ĐKXĐ (x ≠ ±2). Vậy x ∈ {0; 1; 3; 4}.

6. Quy trình tự kiểm tra bài làm

  • Thay một giá trị cụ thể của x (thoả ĐKXĐ) vào phân thức đầu và kết quả: hai số phải bằng nhau.
  • Nhìn lại kết quả: tử và mẫu còn nhân tử chung không? Còn cặp nhân tử đối nhau không?
  • Đã ghi ĐKXĐ của phân thức ban đầu chưa (mẫu khác 0 trước khi rút gọn)?

Luyện thêm với 37 câu trắc nghiệm rút gọn phân thức, Chuyên đề Rút gọn phân thức và 28 bài tập Chương 2: Phân thức đại số. Nếu cần nhắc lại nền tảng, xem Phân thức đại số và tính chất cơ bản.

Cùng chuyên đề: Bài nằm trong mục lục Rút gọn phân thức và cách giải bài tập có đáp án – Toán 8.

Câu hỏi thường gặp

Cách rút gọn phân thức đại số gồm mấy bước?

Gồm ba bước: phân tích tử và mẫu thành nhân tử; tìm nhân tử chung (đổi dấu nếu có nhân tử đối nhau); chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung rồi kết luận kèm điều kiện xác định.

Khi nào cần dùng quy tắc đổi dấu?

Khi tử và mẫu chứa hai nhân tử đối nhau, ví dụ x − 3 và 3 − x. Khi đó viết 3 − x = −(x − 3). Lưu ý luỹ thừa chẵn không đổi dấu, luỹ thừa lẻ thì đổi dấu.

Có được gạch các số hạng giống nhau ở tử và mẫu không?

Không. Chỉ được triệt tiêu các nhân tử (thừa số). Ví dụ (x + 2)/(x + 3) không thể gạch x để thành 2/3 vì x chỉ là một số hạng trong tổng.

Rút gọn xong có cần ghi điều kiện xác định không?

Nên ghi. Điều kiện xác định được lấy từ mẫu thức của phân thức ban đầu (mẫu khác 0), vì phân thức sau rút gọn có thể xác định ở cả những giá trị mà phân thức đầu không xác định.

Bài học liên quan