Trả lời nhanh
Để chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P), em chỉ cần chỉ ra ba điều: a không nằm trong (P); trong (P) có một đường thẳng b; và a // b. Khi đó a // (P). Phần khó nhất thường là tìm ra đường thẳng b, và đó thường là đường trung bình, cạnh đối của hình bình hành hoặc giao tuyến của hai mặt phẳng.
1. Nhắc lại lý thuyết cần nhớ
Ba vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt phẳng (P)
- d và (P) có hai điểm chung phân biệt: d nằm trong (P), kí hiệu d ⊂ (P).
- d và (P) có đúng một điểm chung A: d cắt (P) tại A.
- d và (P) không có điểm chung: d song song với (P), kí hiệu d // (P).
Định nghĩa: đường thẳng và mặt phẳng song song khi chúng không có điểm chung. Vì kiểm tra “không có điểm chung” rất khó làm trực tiếp nên ta dùng các định lí dưới đây.
Các định lí quan trọng
- Điều kiện song song: nếu d không nằm trong (P) và d song song với một đường thẳng d’ nằm trong (P) thì d // (P).
- Tính chất giao tuyến: nếu a // (P) và mặt phẳng (Q) chứa a, cắt (P) theo giao tuyến b thì b // a.
- Hệ quả: hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.
- Hai đường thẳng chéo nhau: qua đường thẳng này có duy nhất một mặt phẳng song song với đường thẳng kia.
2. Phương pháp chứng minh a // (P) theo 3 bước
- Bước 1 – Kiểm tra a ⊄ (P). Nêu rõ vì sao a không nằm trong mặt phẳng, ví dụ a đi qua một điểm không thuộc (P).
- Bước 2 – Tìm b ⊂ (P) với b // a. Đây là bước cần suy nghĩ nhất. Hãy xem đường thẳng b nào trong (P) “trông giống” a.
- Bước 3 – Kết luận theo định lí: a // b, b ⊂ (P), a ⊄ (P) nên a // (P).
Lỗi hay gặp: nhiều bạn chứng minh được a // b, b ⊂ (P) rồi kết luận luôn. Thiếu điều kiện a ⊄ (P) thì kết luận chưa đủ, vì khi đó a có thể nằm trong (P). Câu 7 ở phần trắc nghiệm bên dưới chính là bẫy này.
3. Các cách tìm đường thẳng b song song với a
| Dấu hiệu trong đề | Cách tìm b |
|---|---|
| Có trung điểm của hai cạnh cùng một tam giác | Dùng đường trung bình: đoạn nối hai trung điểm song song với cạnh thứ ba. |
| Có tỉ số hai đoạn trên hai cạnh của góc (hoặc trọng tâm) | Dùng định lí Thales đảo: AM/AB = AN/AC thì MN // BC. |
| Đáy là hình bình hành, hình thang | Dùng cạnh đối song song: AB // CD. |
| Lăng trụ, hình hộp | Dùng các cạnh bên song song, các mặt đáy là hình bình hành. |
| Có hai mặt phẳng cắt nhau | Dùng hệ quả giao tuyến: giao tuyến song song với đường thẳng song song với cả hai mặt phẳng. |
| Có mặt phẳng (Q) chứa a và (Q) // (P) | Suy ra a // (P). Xem bài hai mặt phẳng song song bên dưới. |
Em có thể xem thêm cách làm của hai mặt phẳng song song tại phương pháp giải hai mặt phẳng song song, và cách chứng minh a // b ở chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian.
4. Ví dụ minh hoạ có lời giải
Ví dụ 1 (đường trung bình)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SB. Chứng minh OM // (SCD).
Giải. Trong tam giác SBD, O là trung điểm BD (tính chất hình bình hành) và M là trung điểm SB, nên OM là đường trung bình, suy ra OM // SD. Mà SD ⊂ (SCD). Ngoài ra OM không nằm trong (SCD) vì O thuộc đáy và O không nằm trên đường thẳng CD, nên O ∉ (SCD) (mặt phẳng (SCD) cắt mặt đáy theo đường thẳng CD). Vậy OM // (SCD).
Nhận xét: cùng cách làm đó, OM // (SAD) vì OM // SD ⊂ (SAD)? Đúng như vậy, đồng thời ta cũng có OM // (SCD) như trên. Em thử xem OM có song song với (SAB) không (đáp án: không, vì OM cắt SB tại M thuộc (SAB)).
Ví dụ 2 (tỉ lệ Thales)
Cho tứ diện ABCD. Lấy M trên AB, N trên AC sao cho AM = 2MB và AN = 2NC. Chứng minh MN // (BCD).
Giải. Ta có AM/AB = 2/3 và AN/AC = 2/3. Theo định lí Thales đảo trong tam giác ABC, MN // BC. Mà BC ⊂ (BCD), còn MN không nằm trong (BCD) vì M thuộc cạnh AB, M khác B nên M ∉ (BCD) (đường thẳng AB chỉ cắt (BCD) tại B). Vậy MN // (BCD).
Ví dụ 3 (lăng trụ)
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi N là trung điểm BC. Chứng minh A’B // (AC’N).
Giải. Gọi O là tâm hình bình hành AA’C’C, tức là giao điểm của AC’ và A’C. Khi đó O là trung điểm A’C và O thuộc AC’. Trong tam giác A’CB, O là trung điểm A’C, N là trung điểm CB nên ON // A’B. Vì O ∈ AC’ nên đường thẳng ON nằm trong (AC’N). Còn A’ không thuộc (AC’N): mặt phẳng này cắt mặt phẳng (AA’C’C) theo đường thẳng AC’ mà A’ không nằm trên AC’. Do đó A’B ⊄ (AC’N). Kết luận A’B // (AC’N).
Mẹo: khi bài cho trung điểm của cạnh bên và đường chéo mặt bên, hãy nghĩ ngay đến tâm của mặt bên, vì tâm hình bình hành là trung điểm của hai đường chéo.
5. Trắc nghiệm có giải thích từng phương án
Câu 1. Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b? A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số.
Đáp án B. Qua a dựng đường thẳng b’ song song với b (cắt a); mặt phẳng (a, b’) là mặt phẳng duy nhất chứa a và song song với b. Đây chính là định lí 4.
Câu 2. Hai đường thẳng a, b cùng song song với mặt phẳng (P). Khẳng định nào không sai? A. a // b B. a, b chéo nhau C. a, b cắt nhau D. Chưa đủ điều kiện để kết luận vị trí tương đối của a và b.
Đáp án D. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau (ví dụ lấy hai đường trong hai mặt phẳng song song với (P)). Vì ba trường hợp đều xảy ra nên A, B, C đều có thể sai.
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O, I là trung điểm SC. Khẳng định nào sai? A. IO // (SAB) B. IO // (SAD) C. (IBD) cắt hình chóp theo thiết diện là một tứ giác D. (IBD) ∩ (SAC) = IO.
Đáp án C (là khẳng định sai). IO là đường trung bình của tam giác SAC nên IO // SA, suy ra IO // (SAB) và IO // (SAD): A, B đúng. Mặt phẳng (IBD) cắt các mặt của chóp theo IB, ID, BD nên thiết diện là tam giác IBD, không phải tứ giác. D đúng vì I và O là hai điểm chung của (IBD) và (SAC).
Câu 4. Cho tứ diện ABCD, E và F là trọng tâm các tam giác BCD và ACD. Khẳng định nào sai? A. EF // (ABD) B. EF // (ABC) C. BE, AF, CD đồng quy D. EF = (2/3)AB.
Đáp án D (sai). Gọi M là trung điểm CD, thì E ∈ BM, F ∈ AM và ME/MB = MF/MA = 1/3. Suy ra EF // AB và EF = (1/3)AB, không phải 2/3. Vì EF // AB nên A, B đúng. BE, AF, CD cùng đi qua M nên C đúng.
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Mặt phẳng (α) qua BD và song song với SA, cắt SC tại K. Khẳng định đúng là: A. SK = 2KC B. SK = KC C. SK = 3KC D. 2SK = KC.
Đáp án B. Gọi O = AC ∩ BD. Mặt phẳng (SAC) chứa SA và cắt (α) theo giao tuyến OK, nên OK // SA. Trong tam giác SAC, O là trung điểm AC nên K là trung điểm SC, tức SK = KC.
Câu 6. Cho tứ diện ABCD, M là điểm trong tam giác ABC. Mặt phẳng (α) qua M và song song với AB, CD. Thiết diện của (α) với tứ diện là hình gì? A. tam giác B. hình thoi C. hình bình hành D. hình ngũ giác.
Đáp án C. Trong (ABC) kẻ đường thẳng qua M song song AB, cắt AC, BC tại hai điểm P, Q. Từ P và Q kẻ các đường song song với CD trong (ACD) và (BCD) cắt AD, BD tại R, S. Khi đó PQ // AB // RS và PR // CD // QS, nên PQSR là hình bình hành. Nói chung không phải hình thoi vì không có điều kiện về độ dài.
Câu 7. Cho a // b và b // (α). Kết luận về a và (α): A. a // (α) B. a ⊂ (α) C. a // (α) hoặc a ⊂ (α) D. không xác định.
Đáp án C. Nếu a nằm ngoài (α) thì a // (α); nhưng a cũng có thể nằm trong (α) (khi b song song với một đường thẳng a của (α)). Hai khả năng này là tất cả.
Câu 8. Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tam giác ABD, M thuộc cạnh BC sao cho MB = 2MC. Khẳng định đúng: A. MG // (ACD) B. MG // (ABC) C. MG // AB D. MG cắt AC.
Đáp án A. Gọi N là trung điểm AD thì G ∈ BN, BG/BN = 2/3, và BM/BC = 2/3. Theo Thales đảo trong tam giác BNC có MG // CN, mà CN ⊂ (ACD) và MG ⊄ (ACD). Phương án B sai vì MG cắt (ABC) tại M (G thuộc mặt phẳng (ABD) không trùng (ABC), G không nằm trong (ABC)); C và D sai vì MG và AB, AC không đồng phẳng theo cách dựng.
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm SA. Thiết diện của (MCD) với hình chóp là: A. tam giác B. hình bình hành C. hình thang D. hình thoi.
Đáp án C. CD // AB nên CD // (SAB). Mặt phẳng (MCD) cắt (SAB) theo đường thẳng qua M song song với AB, cắt SB tại N (trung điểm SB). Thiết diện là tứ giác MNCD có MN // CD và MN = AB/2 khác CD, nên là hình thang, không phải hình bình hành.
Câu 10. Hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng, có tâm lần lượt là O và O’. Khẳng định đúng: A. OO’ // (ABCD) B. OO’ // (ABEF) C. OO’ // (BDF) D. OO’ // (ADF).
Đáp án D. O là trung điểm BD, O’ là trung điểm BF nên OO’ là đường trung bình của tam giác BDF, suy ra OO’ // DF ⊂ (ADF). Ngoài ra O không thuộc (ADF) nên OO’ // (ADF). A và B sai vì O’ ∉ (ABCD), O ∉ (ABEF); C sai vì OO’ nằm trong (BDF).
Câu 11. Cho tứ diện ABCD, M, N là trung điểm AC, AD. Mặt phẳng (α) chứa MN và song song với AB. Thiết diện của (α) với tứ diện là: A. hình thang B. hình bình hành C. hình chữ nhật D. hình vuông.
Đáp án B. Kẻ ME // AB (E ∈ BC) thì E là trung điểm BC; kẻ NF // AB (F ∈ BD) thì F là trung điểm BD. Khi đó MN // CD // EF và MN = EF = CD/2, nên MNFE là hình bình hành. Nó chỉ thành hình chữ nhật nếu AB ⊥ CD, đề bài không cho điều này.
6. Bài luyện tập tự giải
- Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, AB // CD, AB = 2CD. Gọi M là trung điểm SA. Chứng minh CM… thay vào đó: gọi N là trung điểm AB, chứng minh CN // (SAD) và DN // (SBC).
Gợi ý đáp án: AN = CD và AN // CD nên ANCD là hình bình hành, suy ra CN // AD ⊂ (SAD); tương tự BN = CD, BN // CD nên BNDC là hình bình hành, DN // BC ⊂ (SBC). - Cho tứ diện ABCD, G1, G2 là trọng tâm tam giác ABC và ABD. Chứng minh G1G2 // (BCD).
Gợi ý đáp án: gọi I là trung điểm AB, ta có IG1/IC = IG2/ID = 1/3 nên G1G2 // CD ⊂ (BCD). - Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Chứng minh BC // (A’B’C’) và AA’ // (BCC’B’).
Gợi ý đáp án: BC // B’C’ ⊂ (A’B’C’) và A không thuộc mặt phẳng đó; AA’ // BB’ ⊂ (BCC’B’) và AA’ ⊄ (BCC’B’).
7. Tài liệu ôn tập tiếp theo
- Phương pháp giải và bài tập chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
- Cách xác định thiết diện song song với đường thẳng
- 26 câu trắc nghiệm đường thẳng song song với mặt phẳng
- 50 bài tập đường thẳng và mặt phẳng song song
Câu hỏi thường gặp
Muốn chứng minh a song song với (P) thì cần những điều kiện nào?
Cần đủ ba điều kiện: a không nằm trong (P), có đường thẳng b nằm trong (P) và a // b. Thiếu điều kiện a không nằm trong (P) thì chưa kết luận được.
Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì có song song với nhau không?
Chưa chắc. Chúng có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau, nên không đủ điều kiện để kết luận vị trí tương đối của hai đường thẳng đó.
Làm sao tìm được đường thẳng b nằm trong (P) song song với a?
Hãy tìm dấu hiệu trong hình: đường trung bình của tam giác, tỉ lệ Thales, cạnh đối của hình bình hành, cạnh bên của lăng trụ hoặc giao tuyến của hai mặt phẳng.
Nếu a song song với (P) thì a có song song với mọi đường thẳng trong (P) không?
Không. Chỉ những đường thẳng trong (P) cùng phương với a mới song song với a; các đường còn lại có thể chéo với a.