Lời giải

Vì tổng các góc của một tứ giác bằng 360⁰ nên:

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải

Vì tổng hai góc kề cạnh bên của hình thang bằng 180⁰ nên góc kề còn lại của cạnh bên đó có số đo bằng 180⁰ – 70⁰ = 110⁰.

Đáp án cần chọn là: C

Vì tổng hai góc kề cạnh bên của hình thang bằng 180⁰ nên góc kề còn lại của cạnh bên đó có số đo bằng 180⁰ – 130⁰ = 50⁰.

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải

Xét ΔBCD có BC = CD (gt) nên ΔBCD là tam giác cân.

Suy ra 

Vì DB là tia phân giác góc D của tứ giác ABCD nên 

Do đó 

Mà hai góc  là hai góc ở vị trí so le trong nên suy ra BC // AD.

Tứ giác ABCD có AD // BC (cmt) nên là hình thang.

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải

Xét ΔBAC có: BA = CA (gt) nên ΔBCA là tam giác cân.

Suy ra:  (1) nên A đúng

Vì ΔAMN cân tại A ⇒ AM = AN mà AB = AC nên AM – AB = AN – AC ⇔ MB = NC do đó C đúng.

Lại có:  (2) (do ΔAMN cân tại A)

Từ (1) và (2) suy ra: 

Mà hai góc  là hai góc ở vị trí đồng vị nên suy ra BC // MN

Tứ giác BCNM có: MN // BC (cmt) nên là hình thang.

Hình thang BCNM có:  (cmt) nên là hình thang cân. Do đó, B đúng

Vậy cả A, B, C đúng

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải

Kẻ MH ⊥ QP; NK ⊥ QP tại H, K ⇒ MH // NK

Tứ giác MNHK có MN // HK nên MNHK là hình thang, lại có MH // NK

⇒ MN = HK; MH = NK

(Vì hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau và hai cạnh đáy bằng nhau)

Lại có

MQ = NP (vì MNPQ là hình thang cân) suy ra ΔMQH = ΔNKP (ch – cgv)

Mà HK = MN = 12 cm nên QH = KP =  = 14 cm

Mà  = 45⁰ ⇒ ΔMHQ vuông cân tại H ⇒ MH = QH = 14 cm

Diện tích hình thang cân MNPQ là

S_MNPQ =  = 364 cm²

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải

Kẻ MH ⊥ QP; NK ⊥ QP tại H, K ⇒ MH // NK

Tứ giác MNHK có MN // HK nên MNHK là hình thang, lại có MH // NK

⇒ MN = HK; MH = NK

(Vì hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau và hai cạnh đáy bằng nhau)

Lại có

MQ = NP (vì MNPQ là hình thang cân) suy ra ΔMQH = ΔNKP (ch – cgv)

⇒ QH = KP =  

Mà HK = MN = 8 cm nên QH = KP =  = 8 cm

Mà  = 45⁰ ⇒ ΔMHQ vuông cân tại H ⇒ MH = QH = 14 cm

Diện tích hình thang cân MNPQ là

S_MNPQ =  = 209 cm²

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải

Ta có tam giác ADH vuông cân tại H vì  = 45⁰.

Do đó DH = AH = 6cm

Mà DH = (CD – AB)

Suỷa CD = 2DH + AB = 12 + 4 = 16 (cm)

Vậy CD = 16 cm

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải

Ta có tam giác ADH vuông cân tại H vì  = 45⁰.

Do đó DH = AH = 5cm

Mà DH = (CD – AB)

Suy ra CD = 2DH + AB = 2.5 + 3 = 13 (cm)

Vậy CD = 13 cm

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải

Kẻ BK ⊥ DC tại K.

Vì ABCD là hình thang cân nên ta có:

Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC = 5 cm

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ADH vuông tại H ta có

AD² = AH² + DH²

⇒ AH² = AD² – DH² = 5² – 3²

⇒ AH = 4

Vậy AH = 4cm

Đáp án cần chọn là: B

Bài 11: Cho hình thang ABCD có  = 90⁰, DC = BC = 2.AB, DC = 4cm. Tính góc ABC của hình thang.

A. 110⁰           

B. 150⁰           

C. 120⁰                       

D. 135⁰

Lời giải

Từ B kẻ BE vuông góc với CD tại E.

Tứ giác ABED là hình thang có hai cạnh bên AD // BE nên AD = BE, AB = DE.

Mặt khác, DC = BC = 2AB nên DC = 2ED, do đó E là trung điểm của DC.

Xét ΔBDE và ΔBCE có  = 90⁰; DE = EC; BE cạnh chung nên ΔBED = ΔBEC (c – g – c)

Suy ra BD = BC mà BC = DC (gt) ⇒ BD = BC = CD nên ΔBCD đều.

Xét ΔBCD đều có BE là đường cao cũng là đường phân giác nên

Đáp án cần chọn là: C

Bài 12: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E theo thứ tự thuộc các cạnh bên AB, AC sao cho AD = AE.

Tứ giác BDEC là hình gì?

A. Hình thang                        

B. Hình thang vuông

C. Hình thang cân                              

D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải

Tam giác ADE có AD = AE (gt) nên tam giác ADE cân tại A.

Suy ra 

Tam giác ABC cân tại A (gt) nên 

Từ (1) và (2) suy ra 

Mà 2 góc  là hai góc ở vị trí đồng vị nên suy ra DE // BC

Tứ giác BDEC có DE // BC nên tứ giác BDEC là hình thang

Lại có  (vì tam giác ABC cân tại A) nên BDEC là hình thang cân

Đáp án cần chọn là: C

Bài 13: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E theo thứ tự thuộc các cạnh bên AB, AC sao cho DE // BC.

Chọn đáp án đúng nhất. Tứ giác BDEC là hình gì?

A. Hình thang                        

B. Hình thang vuông

C. Hình thang cân                              

D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải

Tứ giác BDEC có DE // BC nên tứ giác BDEC là hình thang.

Lại có  (vì tam giác ABC cân tại A) nên BDEC là hình thang cân

Đáp án cần chọn là: C

Bài 14: Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E.

1. Chọn khẳng định đúng nhất?

A. Tứ giác BDIC là hình thang                     

B. Tứ giác BIEC là hình thang

C. Tứ giác BDEC là hình thang                    

D. Cả A, B, C đều đúng

Lời giải

Xét tứ giác DECB có: DE // BC (gt) nên tứ giác DECB là hình thang.

Tương tự:

Tứ giác DICB có DI // BC (gt) nên tứ giác DICB là hình thang.

Tứ giác IECB có IE // CB (gt) nên tứ giác IECB là hình thang.

Đáp án cần chọn là: D

2. Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E.

Chọn khẳng định đúng.

A. DE > BD + CE                              

B. DE = BD + CE

C. DE < BD + CE                              

D. BC = BD + CE

Lời giải

Suy ra tam giác EIC cân đỉnh E

Do đó EI = EC (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được: DI + EI = BD + CE

⇒ DE = BD + CE

Đáp án cần chọn là: B

Bài 15: Cho hình thang cân MNPQ (MN // PQ) có góc  = 45⁰ và hai đáy có độ dài 12cm, 40cm. Diện tích của hình thang cân là:

A. 728 cm²     

B. 346 cm²     

C. 364 cm²     

D. 362 cm²

Lời giải

Kẻ MH ⊥ QP; NK ⊥ QP tại H, K ⇒ MH // NK

Tứ giác MNHK có MN // HK nên MNHK là hình thang, lại có MH // NK

⇒ MN = HK; MH = NK

(Vì hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau và hai cạnh đáy bằng nhau)

Lại có

MQ = NP (vì MNPQ là hình thang cân) suy ra ΔMQH = ΔNKP (ch – cgv)

Mà HK = MN = 12 cm nên QH = KP =  = 14 cm

Mà  = 45⁰ ⇒ ΔMHQ vuông cân tại H ⇒ MH = QH = 14 cm

Diện tích hình thang cân MNPQ là

S_MNPQ =  = 364 cm²

Đáp án cần chọn là: C

Bài 16: Cho hình thang cân MNPQ (MN // PQ) có góc  = 45⁰ và hai đáy có độ dài 8cm, 30cm. Diện tích của hình thang cân là:

A. 418 cm²     

B. 209 cm²     

C. 290 cm²     

D. 580 cm²

Lời giải

Kẻ MH ⊥ QP; NK ⊥ QP tại H, K ⇒ MH // NK

Tứ giác MNHK có MN // HK nên MNHK là hình thang, lại có MH // NK

⇒ MN = HK; MH = NK

(Vì hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau và hai cạnh đáy bằng nhau)

Lại có

MQ = NP (vì MNPQ là hình thang cân) suy ra ΔMQH = ΔNKP (ch – cgv)

⇒ QH = KP =  

Mà HK = MN = 8 cm nên QH = KP =  = 8 cm

Mà  = 45⁰ ⇒ ΔMHQ vuông cân tại H ⇒ MH = QH = 14 cm

Diện tích hình thang cân MNPQ là

S_MNPQ =  = 209 cm²

Đáp án cần chọn là: B

Bài 17: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 4cm, đường AH = 6cm, và  = 45⁰. Độ dài đáy lớn CD bằng

A. 12cm         

B. 16 cm         

C. 18 cm         

D. 20 cm

Lời giải

Ta có tam giác ADH vuông cân tại H vì  = 45⁰.

Do đó DH = AH = 6cm

Mà DH = (CD – AB)

Suỷa CD = 2DH + AB = 12 + 4 = 16 (cm)

Vậy CD = 16 cm

Đáp án cần chọn là: B

Bài 18: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 3cm, đường AH = 5cm, và  = 45⁰. Độ dài đáy lớn CD bằng

A. 13 cm        

B. 10 cm         

C. 12 cm         

D. 8 cm

Lời giải

Ta có tam giác ADH vuông cân tại H vì  = 45⁰.

Do đó DH = AH = 5cm

Mà DH = (CD – AB)

Suy ra CD = 2DH + AB = 2.5 + 3 = 13 (cm)

Vậy CD = 13 cm

Đáp án cần chọn là: A

Bài 19: Cho hình thang cân ABCD đáy nhỏ AB = 4cm, đáy lớn CD = 10cm, cạnh bên BC = 5cm thì đường cao AH bằng:

A. 4,5 cm       

B. 4 cm           

C. 3,5 cm        

D. 3 cm

Lời giải

Kẻ BK ⊥ DC tại K.

Vì ABCD là hình thang cân nên ta có:

Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC = 5 cm

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ADH vuông tại H ta có

AD² = AH² + DH²

⇒ AH² = AD² – DH² = 5² – 3²

⇒ AH = 4

Vậy AH = 4cm

Đáp án cần chọn là: B

Bài 20: Cho hình thang cân ABCD đáy nhỏ AB = 12cm, đáy lớn CD = 22cm, cạnh bên BC = 13cm thì đường cao AH bằng:

A. 9 cm          

B. 8 cm           

C. 12 cm         

D. 6 cm

Lời giải

Ta có: 

Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC = 13 cm

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ADH vuông tại H ta có

AD² = AH² + DH²

⇒ AH² = AD² – DH² = 13² – 5²

⇒ AH = 12

Vậy AH = 12cm

Đáp án cần chọn là: C

Bài 21: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN. Tứ giác BMNC là hình gì?

A. Hình thang            

B. Hình thang cân      

C. Hình thang vuông  

D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải

Ta có AB = AM + MB và AC = AN + NC

Mà AB = AC (do tam giác ABC cân tại A) và BM = NC (gt)

Suy ra AN = AM

Xét tam giác AMN cân tại A.

Xét tam giác ANM có:  (tổng ba góc trong một tam giác)

Xét tam giác ABC cân tại A ta có:

 (tổng ba góc trong một tam giác) nên  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 

Mà  là hai góc đồng vị nên MN // BC

Xét tứ giác MNCB có MN // BC nên MNCB là hình thang.

Lại có  (do ΔABC cân tại A) nên MNCB là hình thang cân.

Đáp án cần chọn là: B

Bài 22: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại I, hai đường thẳng AD và BC cắt nhau ở K. Chọn khẳng định đúng:

A. KI là đường trung trực của hai đáy AB và CD

B. KI là đường trung trực của đáy AB nhưng không là đường trung trực của CD

C. KI là đường trung trực của đáy CD nhưng không là trung trực của AB

D. KI không là đường trung trực của cả hai đáy AB và CD.

Lời giải

Xét tam giác ACD và tam giác BDC có:

+ AD = BC (do ABCD là hình thang cân)

+ AC = BD (do ABCD là hình thang cân)

+ CD là cạnh chung

Suy ra ΔACD = ΔBDC (c.c.c)

Suy ra  (cmt), suy ra tam giác ICD cân tại I. Do đó ID = IC (1)

Tam giác KCD có hai góc ở đáy bằng nhau nên tam giác KCD cân ở K.

Do đó KC = KD (2)

Từ (1) và (2) suy ra KI là đường trung trực của CD (*).

Xét tam giác ADB và tam giác BCA có:

+ AD = BC (cmt)

+ AB là cạnh chung

+ AC = BD

Suy ra ΔADB = ΔBCA (c.c.c)

Suy ra  

Xét tam giác IAB có  nên tam giác IAB cân tại I.

Do đó IA = IB (3)

Ta có KA = KD – AD; KB = KC – BC

Mà KD = KC, AD = BC, do đó KA = KB (4)

Từ (3) và (4) suy ra KI là đường trung trực của AB. (**)

Từ (*) và (**) suy ra KI là đường trung trực của hai đáy (đpcm)

Đáp án cần chọn là: A

Bài 23: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại I, hai đường thẳng AD và BC cắt nhau ở K. Chọn câu sai.

A. ΔKAB cân tại K                

B. ΔKCD cân tại K

C. ΔICD đều                          

D. KI là đường phân giác 

Lời giải

Xét tam giác ACD và tam giác BDC có:

+ AD = BC (do ABCD là hình thang cân)

+ AC = BD (do ABCD là hình thang cân)

+ CD là cạnh chung

Suy ra ΔACD = ΔBDC (c.c.c)

Suy ra  (hai góc tương ứng), suy ra tam giác ICD cân tại I.

Nên C sai vì ta chưa đủ điều kiện để IC = CD

Tam giác KCD có hai góc ở đáy bằng nhau nên tam giác KCD cân ở K nên B đúng.

Xét tam giác KDI và tam giác KCI có:

+ KD = KC (do ΔKCD cân tại K))

+ KI là cạnh chung

+ IC = ID

Suy ra ΔKDI = ΔKCI (c.c.c)

Suy ra  nên D đúng.

Ta có AB // CD (do ABCD là hình thang) nên  (các cặp góc đồng vị bằng nhau)

Mà  (tính chất hình thang cân) nên   (tính chất hình thang cân) nên  hay ΔKAB cân tại K. Do đó A đúng

Đáp án cần chọn là: C

Bài 24: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD). Giả sử AB ≤ CD, chọn câu đúng.

A. BD² – BC² = CD.AB                    

B. BD² – BC² = AB²

C. BD² – BC² = 2CD.AB                  

D. BD² – BC² = BC.AB

Lời giải

Kẻ BH ⊥ CD tại H.

Xét tam giác vuông BDH, theo định lý Pytago, ta có BD² = DH² + BH²

Xét tam giác vuông CBH, theo định lý Pytago, ta có BC² = CH² + BH²

Suy ra BD² – BC² = (DH² + BH²) – (CH² + BH²)

            = DH² – CH² = (BH + DH)(DH – BH) = CD.AB

Đáp án cần chọn là: A

Bài 25: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên BC lấy điểm M sao cho CM = CA. Đường thẳng đi qua M và song song với CA cắt AB tại I.

Chọn câu đúng nhất. Tứ giác ACMI là hình gì?

A. Hình thang cân                              

B. Hình thang vuông

C. Hình thang                        

D. Đáp án khác

Lời giải

Tứ giác ACMI có: MI //AC (gt) và  = 90⁰ (gt) nên là hình thang vuông.

Đáp án cần chọn là: C

Bài giảng Toán 8 Bài 2: Hình thang