Lời giải

+ Ta thấy AB = CD = AD = BC thì ABCD chỉ có bốn cạnh bằng nhau nên ABCD chưa chắc là hình chữ nhật .

Nếu  thì tứ giác ABCD có ba góc vuông nên ABCD là hình chữ nhật (do dấu hiệu tứ giác có 3 góc vuông).

+ Nếu  và AB // CD thì tứ giác ABCD có AD // BC; AB // CD nên ABCD là hình bình hành, lại có Â = 90⁰ nên ABCD là hình chữ nhật. (do dấu hiệu hình bình hành có một góc vuông)

+ Nếu AB // CD; AB = CD và AC = BD thì ABCD là hình bình hành (do có cặp cạnh đối AB; CD song song và bằng nhau), lại có hai đường chéo bằng nhau AC = BD nên ABCD là hình chữ nhật (do dấu hiệu hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau).

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải

Ta thấy AD = BC, AD // BC, Â = 90⁰ thì ABCD là hình bình hành có 1 góc vuông nên ABCD là hình chữ nhật

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải

Vì hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật nên hình bình hành ABCD có AC = BD thì ABCD là hình chữ nhật

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải

Nối AC, BD

+ Xét tam giác ABD có M, Q lần lượt là trung điểm của AB; AD nên MQ là đường trung bình của tam giác ABD

Suy ra MQ // BD; MQ = BD (1)

+ Tương tự, xét tam giác CBD có N, P lần lượt là trung điểm của BC; CD nên NP là đường trung bình của tam giác CBD.

Suy ra NP // BD; NP = BD (2)

Từ (1) và (2) ⇒ MQ // NP; MQ = NP ⇒ MNPQ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

+ Để hình bình hành MNPQ là hình chữ nhật thì  = 90⁰ hay MQ ⊥ QP

Lại có QP // AC (do QP là đường trung bình của tam giác DAC) nên MQ ⊥ AC mà MQ // BD (cmt) nên AC ⊥ BD

Vậy tứ giác ABCD cần có AC ⊥ BD thì MNPQ là hình chữ nhật.

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải

Từ giả thiết ta có ME // AF; MF // AE nên tứ giác AEMF là hình bình hành (dhnb).

Để hình bình hành AEMF là hình chữ nhật thì  nên tam giác ABC vuông tại A.

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải

+ Xét tam giác ABC có E là trung điểm AB; D là trung điểm AC nên ED là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ ED // BC; ED = BC (1)

+ Xét tam giác GBC có N là trung điểm của GB; M là trung điểm GC nên MN là đường trung bình của tam giác GBC. ⇒ MN // BC; MN = BC (2)

Từ (1), (2) ⇒ MN // ED, MN = ED nên tứ giác MNED là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải

+ Xét tam giác ABG có EN là đường trung bình nên EN // AG hay EN // AI.

+ Để hình bình hành MNED là hình chữ nhật thì  = 90⁰ ⇒ EN ⊥ MN. Mà MN // BC (câu trên) nên EN ⊥ BC

+ Lại có EN // AI suy ra AI ⊥ BC

Xét tam giác ABC có AI vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên ΔABC cân tại A.

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải

Gọi E là giao điểm PQ và AB, F là giao điểm của MN và CD. Tam giác ADE có phân giác AQ cũng là đường cao do đó tam giác cân tại A

Suy ra DQ = QE = DE : 2

Tương tự tam giác BCF cân tại C, do đó FN = BN = BF : 2

Ta lại có DEBF là hình bình hành (cặp cạnh đối song song), suy ra DE = BF

Suy ra DQ = FN và DQ // FN. Vậy DQNF là hình bình hành, từ đó QN = DF = CD =CF

Mà CD = AB = a, CF = CB = b, do đó: QN = a – b

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải

Xét tam giác ABD có: M, L lần lượt là trung điểm của AD, BD, do đó ML là đường trung bình của tam giác ABD. Suy ra ML // AB và ML = AB: 2 = 3. Vậy ML nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD. (1)

Chứng minh tương tự ta có: IK là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, IK // AB và IK = AB : 2 = 3. Vậy IK nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: bồn điểm M, L, K, I nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD.

Ta có: MI = (AB + CD) = (6 + 18) = 12

(do MI là đường trung bình của hình thang ABCD)

Suy ra KL = MI – ML – KI = 12 – 3 – 3 = 6

Xét tứ giác ABKL có: KL = AB ( = 6); KL // AB.

Do đó ABKL là hình bình hành.

Lại có: BL = BD, AK = AC

Mà AC = BD (đường chéo hình thang cân)

Suy ra AK = BL

Xét hình bình hành ABKL có AK = KL nên suy ra ABKL là hình chữ nhật

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải

Theo câu trên ta có: AB = KL = 6

Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông AML ta có:

AL² = AM² – ML² = 5² – 3² = 16

Vậy AL = BK = 4

Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông AKL ta có:

AK² = AL² + LK² = 4² + 6² = 16 + 36 = 52

Vậy AK = BL = 

Vậy AB = 6; AL = 4; AK = 

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải

Gọi I, H, K lần lượt là trung điểm các đoạn QM, QN, PN.

Xét tam giác AQM vuông tại A có AI là đường trung tuyến nên suy ra AI = QM

IH là đường trung bình của tam giác QMN nên IH = MN, IH // MN

Tương tự KC = NP, HK = PQ, HK // PQ

Do đó AI + IH + HK + KC = P_MNPQ

Mặt khác nếu xét các điểm A, I, H, K, C ta có: AI + IH + HK + KC ≥ AC

Do đó P_MNPQ ≥ 2AC (không đổi)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A, I, H, K, C thẳng hang theo thứ tự đó. Điều đó tương đương với MN // AC // QP, QM // BD // NP hay MNPQ là hình bình hành

Theo định lý Pytago cho tam giác ACB vuông tại A ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của chu vi MNPQ là 2AC = 

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải

Xét tứ giác ADME có  nên ADME là hình chữ nhật

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải

Vì ADME là hình chữ nhật (theo câu trước) nên AM = DE (tính chất)

Để DE nhỏ nhất thì AM nhỏ nhất mà AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A trên BC

Từ đó DE nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A trên BC.

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải

Theo DE nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A trên BC.

Khi đó DE = AM

Xét tam giác ABC, theo định lý Pytago ta có

BC² = BA² + AC² = 625 ⇒ BC = 25

Gọi BM = x thì MC = 25 – x

Xét tam giác AMB vuông tại M, theo định lý Pytago ta có

AM² = AB² – BM² = 15² – x² = 225 – x² (1)

Xét tam giác AMC vuông tại M, theo định lý Pytago ta có

AM² = AC² – MC² = 20² – (25 – x)²

⇔ 225 – x² = 400 – (625 – 50x + x²)

⇔ 50x = 450 ⇔ x = 9

Suy ra: AM² = 225 – x² = 225 – 81 = 144 ⇒ AM = 12

Suy ra DE = AM =12cm

Vậy giá trị nhỏ nhất của DE là 12cm

Đáp án cần chọn là: D

Bài 11: Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 6cm, 8cm là:

A. 10cm         

B. 9cm

C. 5cm

D. 8cm

Lời giải

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

BC² = AC² + AB² hay BC² = 6² + 8²

⇒ BC² = 100. Suy ra BC = 10 (cm)

Do AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên

AH = BC : 2 = 10 : 2 = 5cm

Đáp án cần chọn là: C

Bài 12: Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 5cm, 12cm là:

A. 6,5cm        

B. 6cm

C. 13cm          

D. 10cm

Lời giải

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

BC² = AC² + AB² hay BC² = 5² + 12²

⇒ BC² = 169. Suy ra BC = 13 (cm)

Do AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên

AH = BC : 2 = 13 : 2 = 6,5cm

Đáp án cần chọn là: A

Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 6cm, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Chu vi của tứ giác ADME bằng:

A. 6cm

B. 36cm          

C. 18cm          

D. 12cm

Lời giải

+ Xét tứ giác ADME có  nên ADME là hình chữ nhật

+ Xét tam giác DMB có  (do tam giác ABC vuông cân) nên tam giác BDM vuông cân tại D. Do đó Dm = BD

+ Do ADME là hình chữ nhật nên chu vi ADME là:

(AD + DM).2 = (AD + BD).2 = 6.2 = 12 cm

Vậy chu vi ADME là 12cm

Đáp án cần chọn là: D

Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 8cm, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Chu vi của tứ giác ADME bằng:

A. 16cm         

B. 38cm          

C. 18cm          

D. 12cm

Lời giải

+ Xét tứ giác ADME có  nên ADME là hình chữ nhật

+ Xét tam giác DMB có  (do tam giác ABC vuông cân) nên tam giác BDM vuông cân tại D. Do đó DM = BD

+ Do ADME là hình chữ nhật nên chu vi ADME là:

(AD + DM).2 = (AD + BD).2 = 8.2 = 16 cm

Vậy chu vi ADME là 12cm

Đáp án cần chọn là: A

Bài 15: Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AI, BD, CE đồng quy tại G. M và N lần lượt là trung điểm của GC và GB.

1. Tứ giác MNED là hình gì?

A. Hình chữ nhật

B. Hình bình hành

C. Hình thang cân

D. Hình thang vuông

Lời giải

+ Xét tam giác ABC có E là trung điểm AB; D là trung điểm AC nên ED là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ ED // BC; ED = BC (1)

+ Xét tam giác GBC có N là trung điểm của GB; M là trung điểm GC nên MN là đường trung bình của tam giác GBC. ⇒ MN // BC; MN = BC (2)

Từ (1), (2) ⇒ MN // ED, MN = ED nên tứ giác MNED là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Đáp án cần chọn là: B

2. Để MNED là hình chữ nhật thì tam giác ABC cần có điều kiện:

A. ΔABC đều                         

B. ΔABC vuông tại A

C. ΔABC cân tại A                

D. ΔABC vuông cân tại A

Lời giải

+ Xét tam giác ABG có EN là đường trung bình nên EN // AG hay EN // AI.

+ Để hình bình hành MNED là hình chữ nhật thì  = 90⁰ ⇒ EN ⊥ MN. Mà MN // BC (câu trên) nên EN ⊥ BC

+ Lại có EN // AI suy ra AI ⊥ BC

Xét tam giác ABC có AI vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên ΔABC cân tại A.

Đáp án cần chọn là: C

Bài 16: Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b (a > b). Các phân giác trong của góc A, B, C, D tạo thành tứ giác MNPQ

1. Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình chữ nhật

B. Hình bình hành

C. Hình thang cân

D. Hình thang vuông

Lời giải

Đáp án cần chọn là: A

2. Tính độ dài đường chéo của hình chữ nhật MNPQ theo a, b.

A. QN = a – 2b

B. QN = a – b

C. QN = a + b

D. QN =  

Lời giải

Gọi E là giao điểm PQ và AB, F là giao điểm của MN và CD. Tam giác ADE có phân giác AQ cũng là đường cao do đó tam giác cân tại A

Suy ra DQ = QE = DE : 2

Tương tự tam giác BCF cân tại C, do đó FN = BN = BF : 2

Ta lại có DEBF là hình bình hành (cặp cạnh đối song song), suy ra DE = BF

Suy ra DQ = FN và DQ // FN. Vậy DQNF là hình bình hành, từ đó QN = DF = CD =CF

Mà CD = AB = a, CF = CB = b, do đó: QN = a – b

Đáp án cần chọn là: B

Bài 17: Cho hình thang cân ABCD, đáy nhỏ AB = 6, CD = 18, AD = 10. Gọi I, K, M, L lần lượt là trung điểm của các đoạn BC, CA, AD và BD

1. Tứ giác ABKL là hình gì?

A. Hình chữ nhật

B. Hình bình hành

C. Hình thang cân

D. Hình thang vuông

Lời giải

Xét tam giác ABD có: M, L lần lượt là trung điểm của AD, BD, do đó ML là đường trung bình của tam giác ABD. Suy ra ML // AB và ML = AB: 2 = 3. Vậy ML nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD. (1)

Chứng minh tương tự ta có: IK là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, IK // AB và IK = AB : 2 = 3. Vậy IK nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: bồn điểm M, L, K, I nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD.

Ta có: MI = (AB + CD) = (6 + 18) = 12

(do MI là đường trung bình của hình thang ABCD)

Suy ra KL = MI – ML – KI = 12 – 3 – 3 = 6

Xét tứ giác ABKL có: KL = AB ( = 6); KL // AB.

Do đó ABKL là hình bình hành.

Lại có: BL = BD, AK = AC

Mà AC = BD (đường chéo hình thang cân)

Suy ra AK = BL

Xét hình bình hành ABKL có AK = KL nên suy ra ABKL là hình chữ nhật

Đáp án cần chọn là: A

2. Tính độ dài các cạnh AB, AL, AK.

Lời giải

Theo câu trên ta có: AB = KL = 6

Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông AML ta có:

AL² = AM² – ML² = 5² – 3² = 16

Vậy AL = BK = 4

Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông AKL ta có:

AK² = AL² + LK² = 4² + 6² = 16 + 36 = 52

Vậy AK = BL = 

Vậy AB = 6; AL = 4; AK = 

Đáp án cần chọn là: C

Bài 18: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a;AD = b. Cho M, N, P, Q là các đỉnh của tứ giác MNPQ và lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác MNPQ.

Lời giải

Gọi I, H, K lần lượt là trung điểm các đoạn QM, QN, PN.

Xét tam giác AQM vuông tại A có AI là đường trung tuyến nên suy ra AI = QM

IH là đường trung bình của tam giác QMN nên IH = MN, IH // MN

Tương tự KC = NP, HK = PQ, HK // PQ

Do đó AI + IH + HK + KC = P_MNPQ

Mặt khác nếu xét các điểm A, I, H, K, C ta có: AI + IH + HK + KC ≥ AC

Do đó P_MNPQ ≥ 2AC (không đổi)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A, I, H, K, C thẳng hang theo thứ tự đó. Điều đó tương đương với MN // AC // QP, QM // BD // NP hay MNPQ là hình bình hành

Theo định lý Pytago cho tam giác ACB vuông tại A ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của chu vi MNPQ là 2AC = 

Đáp án cần chọn là: C

Bài 19: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M thuộc cạnh huyền BC. Gọi D, E lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC.

1. Tứ giác ADME là hình gì?

A. Hình thang

B. Hình chữ nhật

C. Hình bình hành

D. Hình vuông

Lời giải

Xét tứ giác ADME có  nên ADME là hình chữ nhật

Đáp án cần chọn là: B

2. Điểm M ở vị trí nào trên BC thì DE có độ dài nhỏ nhất?

A. M là hình chiếu của A trên BC

B. M là trung điểm của BC

C. M trùng với B                               

D. Đáp án khác

Lời giải

Vì ADME là hình chữ nhật (theo câu trước) nên AM = DE (tính chất)

Để DE nhỏ nhất thì AM nhỏ nhất mà AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A trên BC

Từ đó DE nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A trên BC.

Đáp án cần chọn là: A

3. Tính độ dài nhỏ nhất của DE khi M di chuyển trên BC biết AB = 15cm, AC = 20cm.

A. 9 cm          

B. 15 cm         

C. 8 cm           

D. 12 cm

Lời giải

Theo DE nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A trên BC.

Khi đó DE = AM

Xét tam giác ABC, theo định lý Pytago ta có

BC² = BA² + AC² = 625 ⇒ BC = 25

Gọi BM = x thì MC = 25 – x

Xét tam giác AMB vuông tại M, theo định lý Pytago ta có

AM² = AB² – BM² = 15² – x² = 225 – x² (1)

Xét tam giác AMC vuông tại M, theo định lý Pytago ta có

AM² = AC² – MC² = 20² – (25 – x)²

⇔ 225 – x² = 400 – (625 – 50x + x²)

⇔ 50x = 450 ⇔ x = 9

Suy ra: AM² = 225 – x² = 225 – 81 = 144 ⇒ AM = 12

Suy ra DE = AM =12cm

Vậy giá trị nhỏ nhất của DE là 12cm

Đáp án cần chọn là: D

Câu 20: Cho hình chữ nhật có chu vi 84cm,khoảng cách từ giao điểm các đường chéo đến cạnh nhỏ lớn hơn khoảng cách từ giao điểm đó đến cạnh lớn là 6cm.Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật là:

A.5cm,26cm

B.15cm,27cm

C.14cm,30cm

D.13cm,29cm

Câu 21: Chọn câu trả lời sai: 

A.Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật 

B.Hình bình hàng có hai đường béo bằng nhau là hình chữ nhật 

C.Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật 

D.Hình thang vuông có một góc vuông là hình chữ nhật 

Câu 22: Chọn câu trả lời đúng nhất:

A.Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật 

B.Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật 

C.Cả a và b đều sai 

D.Cả a và b đều đúng

Câu 23: Chọn câu trả lời sai:

A.Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật 

B.Hình thang có một góc đáy là các góc vuông là hình chữ nhật 

C.Hình thang vuông có một cặp góc đối bằng 180 là hình chữ nhật 

D.Hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật 

Câu 24: Chọn câu sai:

A.Tứ giác có bốn góc bằng nhau là hình chữ nhật 

B.Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình chữ nhật 

C.Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật 

D.Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật 

Câu 25: Cho hình chữ nhật ABCD có chu vi là 36cm.M là trung điểm cạnh BC, biết rằng đoạn thẳng MA và MD vuông góc với nhau.Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật là:

A.5cm,13cm

B.4cm,14cm

C.6cm,12cm

D.8cm,10cm 

Bài giảng Toán 8 Bài 9: Hình chữ nhật