Phương pháp giải về Tích phân 2023 (lý thuyết và bài tập)

Quang Trung Ngày: 08-03-2024 Lớp 12

Tải xuống 78 2.7 K 7

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm về tích phân, tài liệu bao gồm 78 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho bài thi sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN

1. Khái niệm và tính chất

a. Định nghĩa

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ . Giả sử $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x)$ trên đoạn $[a; b]$ , hiệu số $F (b) - F (a)$ được gọi là tích phân từ $a$ đến $b$ (hay tích phân xác định trên đoạn $[a; b]$ của hàm số $f (x)$ .

Kí hiệu là : $\int_{a}^{b} f (x) d x$

Vậy ta có : $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) = F (x) |_{a}^{b}$

Chú ý : Trong trường hợp a = b, ta định nghĩa: $\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$

Trường hợp a>b, ta định nghĩa: $\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x$

Tích phân không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số trong dấu tích phân, tức là :

$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (t) d t = \int_{a}^{b} f (u) d u = . . .$ (vì đều bằng $F (b) - F (a)$ )

b. Tính chất của tích phân

$\int_{a}^{b} k f (x) d x = k \int_{a}^{b} f (x) d x$ ( với $k$ là hằng số)

$\int_{a}^{b} [f (x) \pm g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x \pm \int_{a}^{b} g (x) d x$

$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x)) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$ (với $a < b < c$ )

2. Phương pháp tinh tích phân

a. Phương pháp đổi biến số

Định lí. Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $[a; b]$ . Giả sử hàm số $x = φ (t)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[α; β]$ sao cho $φ (α) = a, φ (β) = b$ và $a \leq φ (t) \leq b, \forall t \in [α; β]$ . Khi đó:

$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{α}^{β} f (φ (t)) φ^{'} (t) d t$

Chú ý. Có thể dử dụng phép biến đổi số ở dạng sau:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] sao cho α ≤ u(x) ≤ β, ∀ x∈ [a;b]. Nếu f(x) =g[u(x)].u^’(x) ∀ x∈ [a;b], trong đó g(u) liên tục trên đoạn [α;β] thì:

$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{u (a)}^{u (b)} g (u) d u$

b. Phương pháp tính tích phân từng phần

Định lí. Nếu u =u(x) và v=v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b], thì :

$\int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x = [u (x) v (x)] |_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x$

hay $\int_{a}^{b} u d v = u v |_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v d u$

3. Bất đẳng thức (phần kiến thức bổ sung).

Nếu f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì : $\int_{a}^{b} f (x) d x \geq 0$

Từ đó ta có:

Nếu g(x), f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và 0 ≤ g(x) ≤ f(x), ∀ x ∈ [a;b] thì

$\int_{a}^{b} g (x) d x \leq \int_{a}^{b} f (x) d x$

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi g(x) ≡ f(x).

Suy ra: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và m ≤ f(x) ≤ M, ∀ x ∈ [a;b] thì

$m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M (b - a)$

B. BÀI TẬP VỀ TÍCH PHÂN

Câu 1: Tích phân

Câu 2: