Bài 10: Thể tích phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 và x = 3 biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0 ≤ x ≤ 3) là một hình chữ nhật có hai kích thước là x và 2$\sqrt{\left(9-x^2\right)}$

Lời giải:

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Thể tích khối xoay khi quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x(x-4) và trục hoành là?

Bài 2 Thể tích khối tròn khi quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sinxcosx, y = 0, x = 0, x = $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ là?

Bài 3 Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = lnx, y = 0, x = 2 là?

Bài 4 Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục tung một hình phẳng giới hạn bởi hình tròn tâm I(2;0) bán kính R = 1 là?

Bài 5 Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quanh trục Ox.

Bài 6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x³ - x và đồ thị hàm số y = x - x².

Bài 7 Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x -1)e²x ,trục tung và đường thẳng y = 0. Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) quanh trục Ox

Bài 8 Sau chiến tranh thế giới thứ hai, tốc độ sinh ở cả nước phương Tây tăng rất nhanh. Giả sử rằng tốc độ sinh được cho bởi: b(t) = 5 + 2t, 0 ≤ t ≤ 10 , ( ở đó t số năm tính từ khi chiến tranh kết thúc, b(t) tính theo đơn vị triệu người).

Bài 9 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x² - x + 3 và y = 2x + 1 là?

Bài 10 Cho đồ thị hàm số y = f(x). Diện tích hình phẳng (phần gạch sọc ) 

B. Lý thuyết Ứng dụng hình học của tích phân

I. Tính diện tích hình phẳng

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b], trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được xác định: $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y = 5x⁴ + 3x², trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 1.

Lời giải:

Diện tích hình phẳng cần tính là:

$\begin{array}{l}S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|5x^4+3x^2\right|dx\\ =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(5x^4+3x^2\right)dx\\ ={\left.\left(x^5+\text{\hspace{0.17em}}{x}^3\right)\right|}_0^1=2\end{array}$

2. Hình phẳng được giới hạn bởi 2 đường cong

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng x = a; x = b được xác định:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$(*).

- Chú ý.

Khi áp dụng công thức (*), cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Muốn vậy ta giải phương trình: f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b].

Giả sử phương trình có hai nghiệm c; d (c < d). Khi đó, f(x) – g(x) không đổi dấu trên các đoạn [a; c]; [c; d]; [d; b]. Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên [a; c] ta có:

$\underset{a}{\overset{c}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$$\hspace{0.17em}=\left|\underset{a}{\overset{c}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx\right|$

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng x = 0; x = 2 và các đồ thị của hai hàm số y = x – 1 và y = x² – 1.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong:

II. Tính thể tích

1. Thể tích của vật thể

Cắt một vật thể (H) bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a; x = b (a < b). Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm x $(a\le x\le b)$ cắt (H) theo thiết diện có diện tích là S(x). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].

Khi đó, thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) được xác định bởi công thức: $V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)dx$

2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt.

a) Cho khối chóp có diện tích đáy là B, chiều cao h.

Khi đó, thể tích của khối chóp là $V=\frac{1}{3}B.h$

b) Cho khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S có diện tích hai đáy lần lượt là B; B’ và chiều cao là h.

Thể tích của khối chóp cụt là:

$V=\frac{h}{3}$$\left(B+\sqrt{B.B\text{'}}+\text{\hspace{0.17em}}B\text{'}\right)$

III. Thể tích khối tròn xoay

 - Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường cong  y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a;  x = b quanh trục Ox:

$V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx$

Ví dụ 3. Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong , trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 2. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình này quanh trục Ox.

Lời giải:

Thể tích khối tròn xoay cần tính là:

$V=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{x}^{4}dx$$=\pi {\left.\frac{x^5}{5}\right|}_0^2=\frac{32\pi }{5}$