Tailieumoi.vn xin giới thiệu chuyên đề Hàm số lượng giác thuộc chương trình Toán 11. Chuyên đề gồm 62 trang với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải các dạng bài tập và trên 200 bài tập có lời giải chi tiết từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh ôn luyện kiến thức, nâng cao kĩ năng làm bài tập môn Toán 11.

Chuyên đề Hàm số lượng giác

Phần 1: Cách tìm Tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Ví dụ minh họa

Đáp án và hướng dẫn giải

1.

Vậy tập xác định của hàm số trên là

2.

Vậy tập xác định của hàm số trên là

3.

 

Vậy tập xác định của hàm số trên là

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) tan(2x - π/4)        b) cot (2x-2)

Lời giải:

a.

b. ĐKXĐ: sin(2x-2) ≠ 0 ⇔ 2x-2 ≠ kπ ⇔ x ≠ kπ/2 + 1 (k ∈ z)

Bài 2: Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau:

Lời giải:

a. ĐKXĐ: x ≠1

Tập giá trị: D= [-1 ,1]

b. ĐKXĐ: cos⁡x ≥ 0

Tập giá trị: D= [0,1]

Bài 3: Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

Lời giải:

⇒ tập giá trị∶ D= R

b. Ta có:

⇒ 0 ≤ 1-cos⁡x² ≤ 2 ⇒ tập giá trị = [0,√2]

Bài 4: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

Lời giải:

a. Làm giống VD ý 3

b.

Bài 5: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

Lời giải:

a. ĐKXĐ:

b. ĐKXĐ:

Phần 2: Cách xét Tính chẵn, lẻ và chu kì của hàm số lượng giác

A. Phương pháp giải & Ví dụ

a. Tính tuần hoàn và chu kì:

Định nghĩa: Hàm số y = f(x) có tập xác định được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số T≠0 sao cho với mọi x ∈ D ta có:

        ♦ (x- T) ∈ D và (x + T) ∈ D

        ♦ f (x + T) = f(x).

Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó. Người ta chứng minh được rằng hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì T = 2 π ; hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì T = 2 π; hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì T = π; hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kì T = π

Chú ý:

    Hàm số y = sin(ax + b) tuần hoàn với chu kì T = 

    Hàm số y = cos(ax + b) tuần hoàn với chu kì T = 

    Hàm số y = tan(ax + b) tuần hoàn với chu kì T = 

    Hàm số y = cot(ax + b) tuần hoàn với chu kì T = 

    Hàm số y = f₁(x) tuần hoàn với chu kì T₁ và hàm số y = f₂(x) tuần hoàn với chu kì T₂ thì hàm số y = f₁(x) ± f₂(x) tuần hoàn với chu kì T₀ là bội chung nhỏ nhất của T₁ và T₂ .

b. Hàm số chẵn, lẻ:

Định nghĩa:

    Hàm số y = f(x) có tập xác định là D được gọi là hàm số chẵn nếu:

        ♦ x ∈ D và – x ∈ D.

        ♦ f(x) = f(-x).

    Hàm số y = f(x) có tập xác định là D được gọi là hàm số lẻ nếu:

        ♦ x ∈ D và – x ∈ D.

        ♦ f(x) = - f(-x).

Ví dụ minh họa

Bài 1: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số sau:

Hướng dẫn giải

a. Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T = 2π/2 = π.

b.

Ta có hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì T = 2 π , hàm số y = cos2x tuần hoàn với chu kì T = π. Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T = 2 π .

Bài 2: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số sau: y = cosx + cos√3x.

Hướng dẫn giải

Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T ≠ 0. Khi đó ta có:

cos(x + T) + cos[√3(x +T)] = cosx + cos√3x.

Cho x = 0. Ta có: cosT + cos√3T = 2. Vì cosx ≤ 1 với mọi x nên ta có:

mà m, k ∈ Z (vô lý). Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn.

Bài 3: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a. y = sinx.

b. y = cos(2x).

c. y = tanx + cos(2x + 1).

Hướng dẫn giải

a. Tập xác định D = R. Lấy x ∈ D thì – x ∈ D. Ta có: sin (-x) = -sinx. Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

b. Tập xác định D = R. Lấy x ∈ D thì – x ∈ D. Ta có: cos(-2x) = cos(2x). Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

c.

Lấy x ∈ D thì – x ∈ D. Ta có:

tan(-x) + cos(-2x + 1) = -tanx + cos(-2x + 1).

Vậy hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số sau:

a) y = cos(-2x +4)

b) y = tan(7x + 5)

Lời giải:

a) Hàm số đã cho làm hàm tuần hoàn với chu kì T = 2π/2 = π

b) Hàm số đã cho làm hàm tuần hoàn với chu kì T =π /7.

Bài 2: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của hàm số sau: y = sinx + sin3x

Lời giải:

Ta có y = sinx là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2 π và hàm số y = sin3x là hàm tuần hoàn với chu kì T = (2 π)/3. Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2 π .

Bài 3: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số sau: y = cosx + 2sin5x

Lời giải:

Làm tương tự bài 2 và sử dụng chú ý phần tính tuần hoàn và chu kì, ta có hàm số đã cho là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2 π .

Bài 4: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) y = cosx + cos2x

b) y = tanx + cotx.

Lời giải:

a) Ta có tập xác định của hàm số là D = R.

cos(-x) + cos(-2x) = cosx + cos2x. Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

b) Ta có tập xác định của hàm số là D = R\{k π/2, k ∈ Z}.

tan(-x) + cot(-x) = - tanx – cotx. Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Bài 5: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) y = cosx + sinx.

b) y = sin2x + cot100x

Lời giải:

a) Ta có tập xác định của hàm số là D = R.

sin (-x) + cos(-x) = - sinx + cosx. Vậy hàm số đã cho là hàm không chẵn, không lẻ.

b) Ta có tập xác định của hàm số là D = R\{k π /100, k ∈ Z}.

sin(-2x) + cot(-100x) = - sin2x – cot(100x). Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Phần 3: Cách tìm tập xác định của hàm số lượng giác cực hay

A. Phương pháp giải

+ Hàm số y = 1/f(x) xác định khi f(x) ≠ 0 .

+ Hàm số y= √(f(x)) xác định khi f(x) ≥ 0.

+ Hàm số y = 1/√(f(x)) xác định khi f(x)> 0

+ Hàm số y= tan [f(x)] xác định khi cos[f(x)] ≠ 0 .

+ Hàm số y = cot [f(x)] xác định khi sin[ f(x)] ≠ 0

+ Hàm số y= tan[ f(x)]+cot⁡[g(x)] xác định khi cos⁡[f(x)] ≠ 0;sin⁡[ g(x)] ≠ 0

* Chú ý:

sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ k.π

cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ π/2+kπ với k nguyên

sinx ≠ 1 ⇔ x ≠ π/2+k2π và sinx ≠ -1 ⇔ x ≠ -π/2+k2π

cosx ≠ 1 ⇔ x ≠ k2π và cosx ≠ -1 ⇔ x ≠ π+k2π

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm tập xác định D của hàm số 

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn C.

Hàm số xác định khi và chỉ khi 

Vậy tập xác định 

Ví dụ 2. Tìm tập xác định D của hàm số 

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn D

Hàm số xác định khi và chỉ khi 

Vậy tập xác định  .

Ví dụ 3. Tập xác định của hàm số  . là

A. 

B. 

C.

D. 

Lời giải:

Chọn B

Ta có  .

Vậy hàm số đã cho xác định với mọi x∈R

Ví dụ 4. Hàm số  chỉ xác định khi:

A.x ≠ π/2 +kπ, k∈Z .

B.x=0 .

C.x≠  kπ,k∈Z .

D.x= k2π,k∈Z .

Lời giải:

Chọn D

Hàm số đã cho xác định khi cos x - 1 ≥0, mà cos x - 1 ≤0,∀x∈R

Do vậy để hàm số xác định thì cosx=1, x= k2π,k∈Z

Ví dụ 5. Tập xác định của hàm số  là:

A. R

B. .

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn C

Hàm số xác định khi cos⁡(x/2-π/4) ≠ 0

⇔ x/2-π/4  ≠  π/2+kπ ⇔ x/2  ≠  3π/4+kπ

⇔ x  ≠  3π/2+k2π,k ∈ Z

Ví dụ 6: Tập xác định của hàm số D. . là:

A. R\{π/6+kπ/2,k ∈ Z}.

B. .

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn A

Hàm số xác định khi sin⁡(2x-π/3) ≠ 0

⇔2x-π/3 ≠  kπ ⇔ 2x  ≠  π/3+ kπ

⇔ x  ≠  π/6+kπ/2,k ∈ Z

Ví dụ 7. Xét hai mệnh đề sau:

(I): Các hàm số y= sin x và y= cosx có chung tập xác định là R

(II): Các hàm số y= tanx và y= cotx có chung tập xác định là

. .

A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. Cả hai đều sai. D. Cả hai đều đúng.

Lời giải:

Chọn A

+ Hai hàm số y= sinx và y= cosx có chung tập xác định là D = R

⇒ (I) đúng

+ Hàm số y= tanx tập xác định là  .

Và hàm số y= cot x tập xác định là  .

suy ra (II) sai

Ví dụ 8: Tập xác định của hàm số  là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn A

ĐK: .

Tập xác định .

 .

Ví dụ 9: Tập xác định của hàm số  . là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn A

Cách 1: Hàm số đã cho xác định khi  .

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay tính giá trị của hàm số  .

và  .

ta thấy hàm số đều không xác định, từ đây ta chọn A

Ví dụ 10: Tìm tập xác định D của hàm số  .

A. .

B=R

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn B

Ta có  .

Vậy tập xác định D=R .

Ví dụ 11: Tìm tập xác định của hàm số  .

A. Ta có  .

B .D = 

C. Ta có  .

D. Ta có  .

Lời giải:

Chọn C

Ta có  .

Vậy hàm số đã cho xác định khi  .

Ví dụ 12: Tìm tập xác định của hàm số: .

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn C

Hàm số đã cho xác định khi 

Mà cos18x ≥ -1 ⇒ 19cos18 x ≥ -19

⇒ 20+ 19cos18x ≥ 20-19= 1 > 0

Vậy 20+19cos18x > 0, ∀x ∈ R nên hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:

Vậy hàm số đã cho xác định khi x ≠ π/2+k2π,k ∈ Z

Ví dụ 13: Hàm số nào sau đây có tập xác định là R?

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn D

Ta xét các phương án:

+ Với A thì hàm số xác định khi

+Với B thì hàm số xác định khi

+ Với C thì hàm số xác định khi tan2x xác định ≤ ⇒ cos2x ≠ 0

 .

+ Với D thì cos 4x ≥ -1 và sin2x ≥ -1 với ∀ x

⇒ cos4x + 5 > 0 và sin2x + 3 > 0với mọi x

⇒ 

Ví dụ 14: Hàm số nào sau đây có tập xác định khác với các hàm số còn lại?

A. y= tanx

B.

C.

D. .

Lời giải:

Chọn C

Với A thì hàm số xác định khi cosx khác 0

Với B thì hàm số xác định khi cosx khác 0

Với C thì hàm số xác định khi 

Từ đây ta chọn C do khác với A và B

Ví dụ 15: Hàm số  có tập xác định là:

A. .

B. D=R .

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn B

Hàm số đã cho xác định khi:

 đúng với mọi x

Do đó hàm số đã cho có tập xác định: D= R

Ví dụ 16: Chọn khẳng định đúng:

A. Hàm số  có tập xác định là các đoạn 

B. Hàm số  có tập xác định là các đoạn 

C. Hàm số  có tập xác định là các đoạn 

D. Hàm số  có tập xác định là các đoạn 

Lời giải:

Chọn C

Ta xét các phương án:

+ Với A thì hàm số  xác định khi 

Vậy A sai.

+ Với B thì hàm số  xác định khi 

Vậy B sai.

+ Với C thì hàm số xác định khi  xác định khi

Vậy C đúng.

Ví dụ 17: Xét hai mệnh đề:

(I): Các hàm số y= 1/sinx và y= cotx có chung tập xác định là  .

(II):Các hàm số y= 1/cosx và y= tanx có chung tập xác định là  .

A. Chỉ (I) đúng.

B. Chỉ (II) đúng.

C. Cả hai đều sai.

D.Cả hai đều đúng.

Lời giải:

Chọn D

+ Ta thấy cả hai hàm số y= 1/sinx và y = cot x đều xác định khi sinx ≠ 0 .

+ Tương tự thì hai hàm số ở mệnh đề II đều xác định khi cosx ≠ 0 .

⇒ Cả hai mệnh đề đã cho là đúng .

Ví dụ 18: Cho hàm số  . Tập xác định của hàm số là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn C

Hàm số xác định khi và chỉ khi:  .

Ví dụ 19: Cho hàm số  . Tập xác định:

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn D

Hàm số xác định khi 

Ví dụ 20: Cho hàm số  .Hãy chỉ ra khoảng mà hàm số không xác định k∈Z

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn B

Hàm số đã cho xác định khi  .

Khoảng  .

nên hàm số không xác định trong khoảng này

Ví dụ 21: Tập xác định của hàm số y= cosx/(cos3x.cos⁡( x- π/3).cos⁡( π/3+x) ) là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn A

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:

cos⁡3x.cos⁡( x- π/3).cos⁡( π/3+x) ≠ 0

 .

Ví dụ 22: Tập xác định của hàm số  . là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn B

Hàm số  . xác định khi

 .

Vậy tập xác định của hàm số là: D=R\{kπ/2;k ∈ Z}.

Ví dụ 23: Tập xác định của hàm số  . là:

A. .

B. D=R.

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn A

Ta có -1 ≤ cos2x ≤ 1 nên -3 ≤ -3cos⁡2x ≤ 3

⇒ 2 ≤ 5-3cos2x ≤ 8. Vậy 5-3cos2x > 0 với mọi x. .

Mặt khác 

Hàm số đã cho xác định

Tập xác định 

Phần 4: Cách xét Tính đơn điệu của hàm số lượng giác cực hay

A. Phương pháp giải

+ Hàm số y= sinx đồng biến trên mỗi khoảng ((- π)/2+k2π; π/2+k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (( π)/2+k2π; 3π/2+k2π)với k ∈ Z.

+ Hàm số y= cosx đồng biến trên mỗi khoảng (-π+k2π;k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π+k2π ) với k ∈ Z.

+ Hàm số y= tanx đồng biến trên mỗi khoảng ((-π)/2+kπ; π/2+kπ) với k ∈ Z.

+ Hàm số y= cotx nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ; π+ kπ)với k ∈ Z.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = sinx. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng(π/2;π) , nghịch biến trên khoảng(π;3π/2) .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng(-3π/2;-π/2) , nghịch biến trên khoảng(-π/2;π/2) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng(0;π/2) , nghịch biến trên khoảng(-π/2;0) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng(-π/2;π/2) , nghịch biến trên khoảng(π/2;3π/2) .

Lời giải:

Chọn D

Hàm số y= sinx đồng biến khi x thuộc góc phần tư thứ I và thứ IV;

nghịch biến khi x thuộc góc phần tư thứ II và thứ III.

Ví dụ 2: Bảng biến thiên của hàm số y=f(x)=cos2x trên đoạn [-π/2;3π/2] là:

A. 

B. 

C. 

D. 

Lời giải:

Chọn A

Ta có thể loại phương án B, C ; D luôn do tại f(0)=cos0=1 và y=f(π)=cos2π=1 .

Các bảng biến thiên B ; C ; D đều không thỏa mãn.

Ví dụ 3: Cho hàm số y=cos(x/2) . Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [-π;π] là:

A. 

B. 

C. 

D. 

Lời giải:

Chọn C

Ta có thể loại A và B do f(π/2)=cos⁡(π/4)=√2/2.

Tiếp theo xét giá trị hàm số tại hai đầu mút có : f(-π)=f( π)=0 thì ta loại được D .

Ví dụ 4: Xét hàm số y= sinx trên đoạn[-π;0].Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng(-π;-π/2) và (-π/2;0) .

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-π;-π/2); nghịch biến trên khoảng (-π/2;0) .

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-π;-π/2) ; đồng biến trên khoảng (-π/2;0) .

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-π;-π/2) và (-π/2;0).

Lời giải:

Chọn C

Cách 1: Từ lý thuyết về các hàm số lượng giác cơ bản ở trên ta có hàm số y=sinx nghịch biến trên khoảng (-π;-π/2) và đồng biến trên khoảng (-π/2;0)

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.

Do ở đề bài, các phương án A, B, C, D chỉ xuất hiện hai khoảng là (-π;-π/2) và (-π/2;0)

nên ta sẽ dùng máy tính cầm tay chức năng MODE 7: TABLE để giải bài toán.

+ Ấn MODE → 7

Máy hiện F(X)= thì ta nhập sinX ⇒ START? Nhập -π END? Nhập 0 STEP? Nhập π/10

Lúc này từ bảng giá trị của hàm số ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng (-π;-π/2) và đồng biến trên khoảng (-π/2;0).

Ví dụ 5: Xét hàm số y= cosx trên đoạn [-π ; π]. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng(-π ;0) và (0;π ).

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-π ;0) và nghịch biến trên khoảng (0;π ) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-π ;0) và đồng biến trên khoảng (0;π ).

D. Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng (-π ;0) và (0;π ).

Lời giải:

Chọn B

Theo lý thuyết ta có hàm số y= cosx đồng biến trên mỗi khoảng (-π+k2π;k2π ) và nghịch biến trên khoảng (k2π;π+k2π) k ∈ Z

Từ đây ta có với k=0 hàm số y= cosx đồng biến trên khoảng (-π ;0) và nghịch biến trên khoảng (0;π )

Ví dụ 6: Với k ∈ Z , kết luận nào sau đây về hàm số y= tan2x là sai?

A. Hàm số y= tan 2x tuần hoàn với chu kỳ T= π/2 .

B. Hàm số y= tan2x luôn đồng biến trên mỗi khoảng (-π/2+kπ/2;π/2+kπ/2) .

C. Hàm số y= tan2x nhận đường thẳng x= π/4+kπ/2 là một đường tiệm cận.

D. Hàm số y= tan2x là hàm số lẻ.

Lời giải:

Chọn B

Ta thấy hàm số y= tan2x luôn đồng biến trên mỗi khoảng (-π/2+kπ;π/2+kπ/),

⇒ hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng -π/2+kπ< 2x< π/2+kπ ⇒ -π/4+kπ/2 < x< π/4+kπ/2 . Vậy B là sai.

Ví dụ 7: Hãy chọn mệnh đề sai: Trong khoảng (π/2+k2π;π+k2π) thì:

A. Hàm số y = sinx là hàm số nghịch biến.

B. Hàm số y= cosx là hàm số nghịch biến.

C. Hàm số y= tanx là hàm số đồng biến.

D. Hàm số y= cot x là hàm số đồng biến.

Lời giải:

Chọn D

D sai, thật vậy với 2π/3; 3π/4 ∈ (-π/2;π) ta có :

2π/3 <3π/4 ⇒ cot2π/3=-√3/3%nbsp; > -1=cot3π/4

Ví dụ 8: Trong khoảng (0; π/2) , hàm số y= sinx- cosx là hàm số:

A. Đồng biến.

B. Nghịch biến.

C. Không đổi.

D. Vừa đồng biến vừa nghịch biến.

Lời giải:

Chọn A

Cách 1: Ta thấy trên khoảng (0; π/2) hàm f(x)= sinx đồng biến và hàm g(x)= - cosx đồng biến. suy ra trên(0; π/2) hàm số y= sinx- cosx đồng biến.

Cách 2: Sử dụng máy tính. Dùng TABLE ta xác định được hàm số y= sinx- cosx tăng trên (0; π/2)

Ví dụ 9: Xét sự biến thiên của hàm số y=tan2x trên một chu kì tuần hoàn. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; π/4) và ( π/4; π/2) .

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; π/4) và nghịch biến trên khoảng ( π/4; π/2).

C. Hàm số đã cho luôn đồng biến trên khoảng (0; π/2).

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; π/4) và đồng biến trên khoảng ( π/4; π/2).

Lời giải:

Chọn A

Tập xác định của hàm số đã cho là D=R\{ π/4; π/2}

Hàm số y= tan2x tuần hoàn với chu kì π/2 dựa vào các phương án A; B; C; D thì ta sẽ xét tính đơn điệu của hàm số trên (0; π/2)\{π/4}

Dựa theo kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm số y= tanx ở phần lý thuyết ta có thể suy ra với hàm số y = tan2x đồng biến trên khoảng (0; π/4) và ( π/4; π/2)

Ví dụ 10: Xét sự biến thiên của hàm số y= 1 - sinx trên một chu kì tuần hoàn của nó. Trong các kết luận sau, kết luận nào sai?

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( -π/2;0) .

B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; π/2) .

C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (π/2;π)

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (π/2;3π/2)

Lời giải:

Chọn D

Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ 2π và kết hợp với các phương án đề bài thì ta sẽ xét sự biến thiên của hàm số trên [π/2;3π/2]

Ta có hàm số y=sinx

* Đồng biến trên khoảng (-π/2;π/2)

* Nghịch biến trên khoảng (π/2;3π/2)

Từ đây suy ra hàm số y=1- sinx

* Nghịch biến trên khoảng (-π/2;π/2)

* Đồng biến trên khoảng (π/2;3π/2)

Dưới đây là đồ thị của hàm số y= 1- sinx và hàm số y= sinx trên R

Ví dụ 11: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. y=|tanx| đồng biến trong [-π/2;π/2] .

B. y=|tanx| là hàm số chẵn trên D= D=R\{ π/2+kπ} k ∈ Z.

C. y=|tanx| có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

D. y=|tanx| luôn nghịch biến trong (-π/2;π/2) .

Lời giải

Ta được đồ thị như hình vẽ trên.

+ Ta thấy hàm số y=|tanx| nghịch biến trên (-π/2;0) và đồng biến trên (0;π/2) . Nên ta loại A và D

+ Với B ta có f(-x)= |tan(-x)|=|tanx|=f(x) ⇒ hàm số y=|tanx| là hàm số chẵn.

⇒ B đúng

+ Với C ta thấy đồ thị hàm số đã cho không đối xứng qua gốc tọa độ.

Phần 5: Cách xác định tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác cực hay

A. Phương pháp giải

Cho hàm số y= f(x) liên tục và xác định trên khoảng( đoạn ) K. Với mỗi x ∈ K thì-x ∈ K.

+ Nếu f( x)=f(-x) thì hàm số y= f(x) là hàm số chẵn trên tập xác định.

+Nếu f( -x)=-f(x) thì hàm số y= f(x) là hàm số lẻ trên tập xác định .

⇒ Để xác định được tính chẵn; lẻ của một hàm số lượng giác ta làm như sau

+ Tìm tập xác định của hàm số. Với mỗi x ∈ D thì-x ∈ D.

+ Tính f(- x) và – f(x).

+So sánh: f(x) và f( -x);f (-x) và-f(x) ⇒ kết luận .

+ Nếu f(x) ≠ f(-x) và f(-x) ≠ -f(x) thì hàm số y= f(x) là hàm số không chẵn; không lẻ.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. y= - cosx

B. y= -2sinx

C.y=2sin( -x) .

D y= sinx- cosx

Lời giải:

Chọn A

+ xét phương án A: hàm số y= - 2cosx có tập xác định D= R.

Ta có với x ∈ R ⇒ -x ∈ R v à f(-x)=-2cos(-x)=-2cosx.

⇒ f(x)= f( -x)

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Ví dụ 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. y= sinx    B. y= cosx   C. y= tanx    D. y= cot x

Lời giải:

Chọn B

Nhắc lại kiến thức cơ bản.

+ Hàm số y= sinx là hàm số lẻ.

+ Hàm số y= cosx là hàm số chẵn.

+ Hàm số y= tanx là hàm số lẻ.

+ Hàm số y= cotx là hàm số lẻ.

Vậy B là đáp án đúng.

Ví dụ 3: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. y= - sinx

B. y= cosx- sinx

C.y= cosx+ sin2x.

D. y= cosx. sinx

Lời giải:

Chọn C

Tất cả các hàm số đều có tập xác định D=R . Do đó ∀x ∈ D ⇒ -x ∈ D .

Bây giờ ta kiểm tra f(-x)=f(x) hoặc f(-x)=-f(x) .

+ xét phương án A:

Với y=f(x)=-sinx .

Ta có f(-x)= -sin(-x)=sinx=-(-sinx)=-f(x).

Suy ra hàm số y= - sinx là hàm số lẻ.

+ Xét phương án B:

Với y=f(x)=cosx-sinx .

Ta có f(-x)=cos(-x)-sin(-x)=cosx+sinx ≠ ±f(x) .

Suy ra hàm số y= cosx- sinx không chẵn không lẻ.

+ Xét phương án C:

Với y=f(x)=cosx+sin²x .

Ta có f(-x)=cos(-x)+sin²(-x)=cosx+sin²x .

Suy ra hàm số y=f(x)=cosx+sin²x là hàm số chẵn.

+ Xét phương án D:

Với y=f(x)= cosx. sinx.

Ta có f(-x)=cos(-x)+sin(-x)=-cosx.sinx=-f(x) .

Suy ra hàm số y= cosx. sinx là hàm số lẻ.

Ví dụ 4: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A.y=|sinx| .

B. y= x².sinx

C.y=x/cosx .

D. y= x+ sinx.

Lời giải:

Chọn A

+ Xét phương án A:

Hàm số có tập xác định D= R; ∀ x ∈ D thì -x ∈ D.

Ta có:f(-x)= |sin⁡( -x)|= |- sinx|= |sinx|

⇒ f( x)= f( -x) nên hàm số y= |sinx| là hàm số chẵn

Ví dụ 5: Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số lẻ?

A. y= cosx+ sin²x.

B. y= sinx+ cosx.

C. y= - cosx.

D. y= sinx. cos 3x.

Lời giải:

Chọn D

Các hàm số đã cho đều có tập xác định D= R

+ xét phương án A: ta có f(x)= cosx+ sin²x

Và f(-x)= cos( -x)+ sin² (-x)= cosx+ sin²x

⇒ f(x)= f(-x) nên hàm số y= cosx+ sin² x là hàm số chẵn.

+ xét phương án B: y= sinx+ cosx

Ta có: g(x)= sin x+ cos x và g (-x)= sin( - x)+ cos( - x) = - sinx+ cosx

Ta có: (g(x) ≠ g(-x) và -g(x) ≠ g(-x) ⇒ hàm số y= sinx+cosx là không chẵn; không lẻ.

+ Xét phương án C: y= h(x) = - cosx

Ta có: h( -x) = - cos( - x) = - cosx

⇒ h (x)= h(-x) nên hàm số y= - cosx là hàm số chẵn.

+ xét phương án D: y=k(x)= sinx. cos3x

Ta có k(-x) = sin(-x).cos(-3x) = - sin x. cos3x

Và - k(x)= - sinx. cos3x

⇒ k(-x) = - k(x) nên hàm số y= sinx. cos 3x là hàm số lẻ

Ví dụ 6: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?

A.y=cot4x .

B.y=(sinx+1)/cosx .

C.y=tan²x .

D.y=|cotx| .

Lời giải:

Chọn A

Một hàm số có đồ thị đối xứng với nhau qua gốc tọa độ nếu hàm số đó là hàm số lẻ.

+ xét phương án A: y= f( x) = cot 4x

⇒ f( -x) = cot( -4x) = - cot4x và –f(x) = - cot 4x

Suy ra: f( -x) = -f(x) nên hàm số y= f(x) là hàm số lẻ.

⇒ Đồ thị của hàm số y= f(x) đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

Ví dụ 7: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

A.y=sin(π/2-x) .

B.y=sin²x .

C.y=cotx/cosx .

D.y=tanx/sinx .

Lời giải:

Chọn C

+ xét phương án A:

y= f(x)= sin(π/2-x)=cosx đây là hàm số chẵn

+ Xét phương án B:

y= g(x)= sin2x hàm số này xác định với mọi x.

ta có: g(-x)= sin2(-x)=(- sinx)2 = sin2x

⇒ g(x)= g(-x) nên hàm số đã cho là hàm số chẵn.

+ Xét phương án C. y=h(x)= cotx/cosx

Điều kiện xác định: {(sinx ≠ 0 và cosx ≠ 0 ) ⇒ sin2x ≠ 0 ⇒ x ≠ kπ/2

Với mọi x thuộc tập xác định thì – x cũng thuộc tâp xác định.

Ta có: h(-x)= (cot⁡(-x))/(cos⁡(-x))= (- cotx)/cosx; - h( x) = (- cotx)/cosx

⇒ h(-x) = -h(x) nên hàm số đã cho là hàm số lẻ.

⇒ Chọn C

Ví dụ 8: Hàm số y=cos2x.sin⁡( x- π/4) là

A. Hàm lẻ.

B. Hàm không tuần hoàn.

C. Hàm chẵn.

D. Hàm không chẵn không lẻ.

Lời giải:

Chọn D

Tập xác định D=R. Với ∀x ∈ D thì-x ∈ D.

Ta có : f(-x)=cos⁡(-2x).sin⁡( -x- π/4)=-cos2x.sin⁡( x+ π/4)

Ta thấy f(-x) ≠ f(x) và f(-x)≠ -f(x) .

Vậy hàm số đã cho không chẵn không lẻ.

Ví dụ 9: Xác định tính chẳn lẻ của hàm số: y=1+ 2x² – cos3x

A. Hàm lẻ.

B. Hàm không tuần hoàn.

C. Hàm chẵn.

D. Hàm không chẳn không lẻ.

Lời giải:

Chọn C

Tập xác định D= R là tập đối xứng.

Ta có: f(-x)= 1+ 2( -x)² – cos(-3x) = 1+ 2x²- cos3x

Suy ra: f(x) = f(-x )

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Ví dụ 10: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A.y=2cos(x+π/2)+sin(π-2x) .

B.y=sin(x-π/4)+sin(π+x/4) .

C.y=√2sin(x+π/4)-sinx .

D.y=√(sinx)+√(cosx) .

Lời giải

Chọn C

+ Viết lại đáp án A là y=2cos(x+π/2)+sin(π-2x) = -2sinx+sin2x .

Hàm số xác định với mọi x.

Ta có:f( -x)= - 2sin(-x) + sin( -2x) = 2sinx – sin2x

Và – f(x)= 2sinx – sin2x

⇒ f( -x) = - f(x) nên đây là hàm số lẻ.

+ Viết lại đáp án B là y=sin(x-π/4)+sin(π+x/4)=2sinxcos(π/4)=√(sinx) .

Đây là hàm số lẻ.

+ Viết lại đáp án C là y=√2sin(x+π/4)-sinx=sinx+cosx-sinx=cosx .

Đây là hàm số chẵn.

+ Xét đáp án D :

  Hàm số xác định  .

  Chọn x=π/4 ∈ D nhưng -x=-π/4 không thuộc D.

Vậy y=√(sinx)+√(cosx) không chẵn, không lẻ.

Ví dụ 11: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

A.y=x⁴+cos(x-π/3) .

B.y=x²⁰¹⁷+cos(x-π/2) .

C.y=2015+cosx+sin²⁰¹⁸x .

D.y=tan²⁰¹⁷x+sin²⁰¹⁸x .

Lời giải

Chọn B

+ Xét phương án A: y= x⁴+cos⁡( x- π/3)

Hàm số có tập xác định D= R.

Ta có: f(-x)= ( -x)⁴ + cos(-x- π/3)=x⁴+cos⁡( x+ π/3)

Ta có; (f(x) ≠ f( -x )và (-x) ≠ -f(x) nên hàm số đã cho không chẵn; không lẻ.

+ Viết lại đáp án B là y=x²⁰¹⁷+cos(x-π/2) .

Hàm số xác định với mọi x thuộc R,

Ta có: g(-x)= (-x)²⁰¹⁷+sin⁡(-x)=- x²⁰¹⁷-sinx

Suy ra: g(-x) = - g(x) nên hàm số này là hàm số lẻ .

+ xét phương án C: y=h( x) = 2015+ cosx+ sin2018x

Tập xác định D=R.

Ta có: h(-x)= 2015+ cos( -x)+ sin²⁰¹⁸ (-x)

Hay h(-x)=2015+cosx+ [ (-sinx)2018]=2015+ cosx + sin²⁰¹⁸x

⇒ h(x)= h(-x) nên hàm số này là hàm số chẵn.

+ Xét phương án D: y= k(x)= tan²⁰¹⁷x + sin²⁰¹⁸x

Hàm số xác đinh khi x ≠ π/2+kπ

Ta có; k( -x )= tan²⁰¹⁷(-x)+ sin²⁰¹⁸ (-x)= [tan(-x)]²⁰¹⁷+[ sin( -x)]²⁰¹⁸

Hay k( -x ) = -tan²⁰¹⁷x +sin²⁰¹⁸ x

⇒ (k( x) ≠ k(-x)và k(-x) ≠ -k(x) nên hàm số đã cho không chẵn không lẻ.

Ví dụ 12: Cho hàm số , với n ∈ Z. Xét các biểu thức sau:

1, Hàm số đã cho xác định trên .

2, Đồ thị hàm số đã cho có trục đối xứng.

3, Hàm số đã cho là hàm số chẵn.

4, Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng.

5, Hàm số đã cho là hàm số lẻ.

6, Hàm số đã cho là hàm số không chẵn không lẻ.

Số phát biểu đúng trong sáu phát biểu trên là

A.1

B.2

C.3

D.4

Lời giải:

Chọn B

Hàm số đã xác định khi cosx≠ 0 < ⇒ x≠ π/2+kπ, k ∈ Z Vậy phát biểu 1 sai.

Ở đây ta cần chú ý: các phát biểu 2; 3; 4; 5; 6 để xác định tính đúng sai ta chỉ cần đi xét tính chẵn lẻ của hàm số đã cho.

Ta có tập xác định của hàm số trên là D=R\{π/2+kπ,k ∈ Z} là tập đối xứng.

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Suy ra đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy. Vậy chỉ có phát biểu 2 và 3 là phát biểu đúng. Từ đây ta chọn B,

Ví dụ 13: Cho hàm số f(x)=|x|sinx Phát biểu nào sau đây là đúng về hàm số đã cho?

A. Hàm số đã cho có tập xác định D=R\{0} .

B. Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng.

C. Đồ thị hàm số đã cho có trục xứng.

D. Hàm số có tập giá trị là [-1;1]

Lời giải:

Chọn B

+ Hàm số đã cho xác định trên tập D=R nên ta loại A

+Tiếp theo để xét tính đối xứng của đồ thị hàm số ta xét tính chẵn lẻ của hàm số đã cho.

Ta có: f(-x)=|-x|sin(-x)=-|x|sinx=-f(x)

Suy ra hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Vậy đồ thị hàm số có tâm đối xứng là gốc tọa độ O. Vậy ta chọn đáp án B

Phần 6: Cách tính chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác cực hay

A. Phương pháp giải

+ Hàm số y= f(x) xác định trên tập hợp D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T ≠ 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có x+T ∈ D;x-T ∈ D và f(x+T)=f(x).

Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được goi là một hàm số tuần hoàn với chu kì T.

+ Cách tìm chu kì của hàm số lượng giác ( nếu có ):

Hàm số y = k.sin(ax+b) có chu kì là T= 2π/|a|

Hàm số y= k.cos(ax+ b) có chu kì là T= 2π/|a|

Hàm số y= k.tan( ax+ b) có chu kì là T= π/|a|

Hàm số y= k.cot (ax+ b ) có chu kì là: T= π/|a|

Hàm số y= f(x) có chu kì T1; hàm số T2 có chu kì T2 thì chu kì của hàm số y= a.f(x)+ b.g(x) là T = bội chung nhỏ nhất của T1 và T2

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A. y= sin x

B. y = x+ 1

C. y=x² .

D. y=(x-1)/(x+2) .

Lời giải:

Chọn A

Tập xác định của hàm số: D= R

Với mọi x ∈ D , k ∈ Z ta có x-2kπ ∈ D và x+2kπ ∈ D , sin(x+2kπ)=sinx .

Vậy y=sinx là hàm số tuần hoàn.

Ví dụ 2: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A. y= sinx- x

B. y= cosx

C. y= x.sin x

D.y=(x²+1)/x

Lời giải:

Chọn B

Tập xác định của hàm số: D=R .

mọi x ∈ D , k ∈ Z ta có x-2kπ ∈ D và x+2kπ ∈ D,cos(x+2kπ)=cosx .

Vậy y= cosx là hàm số tuần hoàn.

Ví dụ 3: Chu kỳ của hàm số y= cosx là:

A. 2kπ

B. 2π/3

C. π

D. 2π

Lời giải:

Chọn D

Tập xác định của hàm số: D= R

Với mọi x ∈ D;k ∈ Z, ta có x-2kπ ∈ D và x+2kπ ∈ D thỏa mãn: cos⁡( x+k2π)=cosx

Vậy y= cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì (ứng với k= 1) là số dương nhỏ nhất thỏa mãn cos⁡( x+k2π)=cosx

Ví dụ 4: Chu kỳ của hàm số y= tanx là:

A.2π

B.π/4

C.kπ,k ∈ Z

D.π

Lời giải:

Chọn D

Tập xác định của hàm số:D= R\{π/2+kπ,k ∈ Z }

Với mọi x ∈ D;k ∈ Z ta có x-kπ ∈ D;x+kπ ∈ D và tan (x+kπ)=tanx

Vậy là hàm số tuần hoàn với chu kì π (ứng với k= 1) là số dương nhỏ nhất thỏa mãn tan (x+kπ)=tanx

Ví dụ 5. Hàm số y= 2tan ( 2x-100) có chu kì là?

A. T= π/4

B. T= π/2

C. 2π

D. π

Lời giai

Hàm số y= k.tan( ax+ b) có chu kì là: T= π/|a|

Áp dụng: Hàm số y= 2tan( 2x - 100) có chu kì là: T= π/2

Chọn B.

Ví dụ 6. Hàm số y = - π.sin⁡( 4x-2998) là

A. T= π/2

B. T= π/4

C.2π

D. π

Lời giải:

Hàm số y= k.sin(ax+ b) có chu kì là: T= 2π/|a| .

Chu kì của hàm số: y = - π.sin⁡( 4x-2998) là: T= 2π/4= π/2

Chọn A

Ví dụ 7. Tìm chu kì của hàm số y= 10π cos⁡(π/2-20 x)?

A. 20 π

B. 10π

C. π/20

D. π/10

Lời giải

Hàm số y= k.cos(ax+ b) có chu kì là: T= 2π/|a| .

Chu kì của hàm số: y = 20 π.cos⁡(π/2-20 x) là: T= 2π/|-20| = π/10

Chọn D.

Ví dụ 8. Tìm chu kì của hàm số y= ( 1)/2π cot⁡(π/10+10 x)?

A. π

B. 10π

C. π/20

D. π/10

Lời giải

Hàm số y= k.cot(ax+ b) có chu kì là: T= π/|a| .

Chu kì của hàm số: y = ( 1)/2π cot⁡(π/10+10 x) là: T= π/|10| = π/10

Ví dụ 9. Tìm chu kì của hàm số y= 2sin2x+1

A. 1

B. 2π

C. π

D. 4π

Lời giải:

Ta có: y= 2sin2x+1 = 1- cos2x +1= 2- cos2x

⇒ Chu kì của hàm số đã cho là: T= 2π/2= π

Chọn C.

Ví dụ 10. Tìm chu kì của hàm số: y=sin⁡( 2x- π)+ 1/2 tan⁡( x+ π)

A. π

B. 2π

C. π/2

D. Đáp án khác

Lời giải

Hàm số y= f(x) = sin( 2x- π) có chu kì T₁= 2π/2= π.

Hàm số y= g(x)= 1/2 tan⁡( x+ π) có chu kì T₂= π/1= π

⇒ Chu kì của hàm số đã cho là: T= π.

Chọn A.

Ví dụ 11. Tìm chu kì của hàm số y= 1/2 tan⁡( x- π/2)+ 1/10 cot⁡( x/2- π)

A. π

B. 2π

C. π/2

D. Đáp án khác

Lời giải:

Ta có: chu kì của hàm số y= f(x)= 1/2 tan⁡( x- π/2) là T₁= π/1= π

Chu kì của hàm số y=g(x)= 1/10 cot⁡( x/2- π) là T₂= π/(1/2)= 2π

Suy ra chu kì của hàm số đã cho là: T=2π

Chọn B.

Ví dụ 12. Tìm chu kì của hàm số y= 〖sin〗^2 x+cos⁡( 2x+ π/3)

A.π/2

B. 2π

C. 4π

D. π

Lời giải:

Ta có: y= sin² x+cos⁡( 2x+ π/3)= (1-cos2x)/2+cos⁡( 2x+ π/3)

chu kì của hàm số y= f(x)= (1-cos2x)/2 là T₁= 2π/2= π

Chu kì của hàm số y= g(x)= cos⁡( 2x+ π/3) là T₂= 2π/2=π

⇒ chu kì của hàm số đã cho là: T= π

Chọn D

Ví dụ 13. Tìm chu kì của hàm số y= 2sin2x. sin4x

A.π/2

B. 2π

C. π

D. 4π

Lời giải:

Ta có: y= 2. sin2x. sin4x = cos 6x+ cos2x

Chu kì của hàm số y = cos6x là T₁= 2π/6= π/3

Chu kì của hàm số y= cos2x là T₂= 2π/2= π

⇒ chu kì của hàm số đã cho là: T= π

Chọn C

Ví dụ 14. Tìm chu kì của hàm số y= sin3x + cos2x

A. 2π

B. π

C. 4π

D. Đáp án khác

Lời giải:

Ta có y= sin3x + cos2x = 1/4 (3sinx-sin3x) + cos2x

Chu kì của hàm số y= 3/4 sinx là T₁= 2π

Chu kì của hàm số y =(- 1)/4 sin3x là T₂=2π/3

Chu kì của hàm số y= cos2 là T₃= 2π/2= π

⇒ Chu kì của hàm số đã cho là: T= 2π

Chọn A.

Phần 7: Cách tìm Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác cực hay

A. Phương pháp giải

Để tìm được giá trị lớn nhất;giá trị nhỏ nhất của hàm số ta cần chú ý:

+ Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cosx ≤ 1; -1 ≤ sinx ≤ 1

+Với mọi x ta có: 0 ≤ |cosx| ≤ 1 ;0 ≤ |sinx| ≤ 1

+ Bất đẳng thức bunhia –copski: Cho hai bộ số (a₁; a₂) và (b₁;b₂) khi đó ta có:

(a₁.b₁+ a₂.b₂ )² ≤ ( a₁²+ a₂² ).( b₁²+ b₂² )

Dấu “=” xảy ra khi: a₁/a₂ = b₁/b₂

+ Giả sử hàm số y= f(x) có giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ nhất là m. Khi đó; tập giá trị của hàm số là [m; M].

+ Phương trình : a. sinx+ b. cosx= c có nghiệm khi và chỉ khi a² + b² ≥ c²

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 1- 2|cos3x|.

A. M=3 ; m= - 1.

B. M= 1 ; m= -1.

C. M=2 ;m= -2.

D. M=0 ; m= -2.

Lời giải:.

Chọn B.

Với mọi x ta có : - 1 ≤ cos3x ≤ 1 nên 0 ≤ |cos3x| ≤ 1

⇒ 0 ≥ -2|cos3x| ≥ -2

Ví dụ 2: Hàm số y= 1+ 2cos²x đạt giá trị nhỏ nhất tại x= x₀. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.x₀=π+k2π, kϵZ .

B.x₀=π/2+kπ, kϵZ .

C.x₀=k2π, kϵZ .

D.x₀=kπ ,kϵZ .

Lời giải:.

Chọn B.

Ta có - 1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒ - 0 ≤ cos²x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 1+2cos²x ≤ 3

Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1 .

Dấu ‘=’ xảy ra khi cosx=0 ⇒ x=π/2+kπ, kϵZ .

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= sin2x+ 2cos2x.

A.M= 3 ;m= 0

B. M=2 ; m=0.

C. M=2 ; m= 1.

D.M= 3 ; m= 1.

Lời giải:.

Chọn C.

Ta có: y = sin² x+ 2cos²x = (sin²x+ cos²x) + cos²x = 1+ cos² x.

Do: -1 ≤ cosx ≤ 1 nên 0 ≤ cos² x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ cos² x+1 ≤ 2

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là M= 2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là m= 1

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 4sinx - 3

A.M= 1; m= - 7

B. M= 7; m= - 1

C. M= 3; m= - 4

D. M=4; m= -3

Lời giải

Chọn A

Ta có : - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên - 4 ≤ 4sinx ≤ 4

Suy ra : - 7 ≤ 4sinx-3 ≤ 1

Do đó : M= 1 và m= - 7

Ví dụ 5: Tìm tập giá trị T của hàm số y= -2cos2x + 10 .

A. [5; 9]

B.[6;10]

C. [ 8;12]

D. [10; 14]

Lời giải:

Chọn C

Với mọi x ta có : - 1 ≤ cos⁡2x ≤ 1 nên-2 ≤ -2cos2x ≤ 2

⇒ 8 ≤ -2cos2x+10 ≤ 12

Do đó tập giá trị của hàm số đã cho là : T= [ 8 ;12]

Ví dụ 6: Tính độ dài giá trị của hàm số y= 10- 2cos2x

A. 10

B. 8

C.6

D. 4

Lời giai

Với mọi x ta có: - 1 ≤ cos2x ≤ 1 nên-2 ≤ -2cos2x ≤ 2

Suy ra: 8 ≤ 10-2cos2x ≤ 12

Do đó; tập giá trị của hàm số đã cho là: [8; 12] và độ dài đoạn giá trị của hàm số là : 12 – 8= 4

Chọn D.

Ví dụ 7: Tính tổng giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số sau: y= √3 sin⁡( 2016x+2019)

A. - 4032

B. √3

C. -√3

D. 0

Lời giải:

Chọn D

Với mọi x ta có :- 1 ≤ sin⁡(2016x+2019) ≤ 1

⇒ -√3 ≤ √3sin⁡(2016x+2019) ≤ √3

Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là -√3 và giá trị lớn nhất của hàm số là √3

⇒ Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là - √3+ √3=0

Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 1/(1+sinx)

A. m= 1/2

B. m= 1/√2

C. m= 1

D. m= √2

Lời giải:

Chọn A

Điều kiện xác định : sinx ≠ -1 hay x ≠ (- π)/2+k2π

+ Với mọi x thỏa mãn điều kiện ta có : - 1 0

+ Nếu mẫu 1+ sinx > 0 thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 1+ sinx đạt giá trị lớn nhất

Hay 1+ sinx=2 < ⇒ sinx= 1( thỏa mãn điều kiện) .

Khi đó ymin = 1/2

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là 1/2 khi sinx= 1

Ví dụ 9: Tìm giá trị lớn nhất M, giá trị nhỏ nhất m của hàm số: y= 2018sin( 9x+π/100)+2000

A. m=18 ; M=4018

B. m = -18; M= 18

C. m=-18; M= 4018

D. Đáp án khác

Lời giải:

Chọn C

Hàm số xác định trên R.

Với mọi x ta có: - 1 ≤ sin( 9x+π/100) ≤ 1 nên - 2018 ≤ 2018sin( 9x+π/100) ≤ 2018

⇒ -18 ≤ 2018sin( 9x+π/100)+2000 ≤ 4018

⇒ giá trị nhỏ nhất của hàm số là -18 khi sin( 9x+π/100)=-1

Giá trị lớn nhất của hàm số là 4018 khi sin( 9x+π/100)=1

Ví dụ 10: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= ∜sinx- √cosx.

A. m= -1; M=1.

B. m = 0; M=1

C. m= -1;M=0

D. m= -1 và M không tồn tại.

Lời giải:

Chọn A

Với mọi x thỏa mãn điều kiện : sinx > 0 và cosx > 0 .Ta có:

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là m= – 1 khi: (sinx=0 và cosx=1 ⇒ x= k2π.

Hàm số đạt giá trị lớn nhất là M=1 khi (sinx=1 và cosx=0 ⇒ x= π/2+k2π.

Ví dụ 11. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : y= cos² x – 6cosx + 11. Tính M.m

A.30

B.36

C.27

D.24

Lời giải:

Ta có: cos² x – 6cosx +11 = ( cos²x – 6cosx + 9) +2 = (cosx -3)² + 2

Do - 1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒ - 4 ≤ cosx-3 ≤ -2

⇒ 0 ≤ (cosx-3)^2 ≤ 16

⇒ 2 ≤ (cosx-3)^2+2 ≤ 18

Suy ra:M= 18 và m= 2 nên M. m= 36.

Chọn B.

Ví dụ 12. Gọi M và lần lượt là giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của hàm số

y=(cosx+2sinx+3)/(2cosx-sinx+4). Tính S= M+11m

A.4

B.5

C. 6

D. 8

Lời giải:.

Gọi y₀ là một giá trị của hàm số.

Khi đó phương trình y₀=(cosx+2sinx+3)/(2cosx-sinx+4) có nghiệm.

⇒ y₀.( 2cosx- sinx + 4) = cosx +2sinx + 3 có nghiệm

⇒ 2y₀.cosx – sinx.y0 + 4y₀- cosx – 2sinx – 3=0 có nghiệm

⇒ ( 2y₀ -1)cosx – ( y₀+2).sinx =3- 4y₀ (*)

Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi :

(2y₀-1)² + ( y₀ + 2)² ≥ (3-4y₀)²

⇒ 4y₀² – 4y₀ +1 +y₀² +4y₀ + 4 ≥ 9-24y₀+16y₀²

⇒ 11y₀² – 24y₀ + 4 ≤ 0  2/11 ≤ y₀ ≤ 2

Suy ra: M=2 và m=2/11 nên S= M+ 11m= 4

Chọn A.

Ví dụ 13. Cho hàm số y= √(1+2sin² x)+ √(1+2〖cos² x)-1. Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số. Khi đó; giá trị M+ m gần với giá trị nào nhất?

A. 3,23

B. 3,56

C. 2,78

D.2,13

Lời giải:

+ Xét t= √(1+2sin² x)+ √(1+2cos² x)

⇒ t² = 1+ 2sin² x+ 1+ 2cos² x+ 2. √((1+2sin² x).( 1+2cos² x) )

=4+2√(3+ sin² 2x)

Mà sin²2x ≥ 0 nên t² ≥ 4+ 2√3

Mà t > 0 nên t ≥ √(4+2√3) =1+ √3

Suy ra: y= t-1 ≥ √3

Dấu “=” xảy ra khi sin2x=0 .

+ Lại có:

√(1+2sin² x)+ √(1+2cos² x) ≤ √((1^2+ 1^2 ).( 1+2sin²x+ 1+2cos² x) )= 2√2

⇒ y= √(1+2sin² x)+ √(1+2cos² x)-1 ≤ 2√2-1

Dấu “=” xảy ra khi sin2 x= cos2x

Vậy {(m= √3 và M=2√2-1) ⇒ M+ m≈3,56

Chọn B.

Chủ đề: Hàm số lượng giác

1. Giới thiệu tổng quan về các hàm số lượng giác:

$$\begin{gathered} \forall \mathrm{x}\in \mathrm{R}:-1\le \mathrm{sinx}\le 1; -1\le \mathrm{cosx}\le 1 \\ \forall \mathrm{x}\in \mathrm{R}: \sin (\mathrm{x}+\mathrm{k}2\mathrm{\pi })=\mathrm{sinx} \cos (\mathrm{x}+\mathrm{k}2\mathrm{\pi })=\mathrm{cosx} \\ \forall \mathrm{x}\in \mathrm{D}: \tan (\mathrm{x}+\mathrm{k\pi })=\mathrm{tanx} \cot (\mathrm{x}+\mathrm{k\pi })=\mathrm{cotx} \end{gathered}$$

* Các giá trị đặc biệt:

$$\begin{gathered} \sin x=0\iff x=k\mathrm{\pi } \\ \mathrm{sinx}=-1\iff \mathrm{x}=\frac{-\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{k}2\mathrm{\pi } \\ \mathrm{sinx}=1\iff \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{k}2\mathrm{\pi } \\ \mathrm{cosx}=0\iff \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{k\pi } \\ \mathrm{cosx}=1\iff \mathrm{x}=\mathrm{k}2\mathrm{\pi } \\ \mathrm{cosx}=-1\iff \mathrm{x}=\mathrm{\pi }+\mathrm{k}2\mathrm{\pi } \\ \mathrm{tanx}=0\iff \mathrm{x}=\mathrm{k\pi } \\ \mathrm{tanx}=1\iff \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+\mathrm{k\pi } \\ \mathrm{tanx}=-1\iff \mathrm{x}=-\frac{\mathrm{\pi }}{4}+\mathrm{k\pi } \\ \mathrm{cotx}=0\iff \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{k\pi } \\ \mathrm{cotx}=1\iff \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+\mathrm{k\pi } \\ \mathrm{cotx}=-1\iff \mathrm{x}=-\frac{\mathrm{\pi }}{4}+\mathrm{k\pi } \end{gathered}$$

2. Hàm số y = sinx:

* TXĐ: D =R

* Tập giá trị: $\forall \mathrm{x}\in \mathrm{R}: -1\le \mathrm{sinx}\le 1$
* Hàm số y = sin x là hàm số lẽ.

* Tuần hoàn với chu kỳ: T = 2$\mathrm{\pi }$

3. Hàm số y = cos x:
* TXĐ: D=R

* Tập giá trị: $\forall \mathrm{x}\in \mathrm{R}:-1\le \mathrm{cosx}\le 1$
* Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.

* Tuần hoàn với chu kỳ: T = 2$\mathrm{\pi }$

 

 

Xem thêm