Nội dung bài viết
Tailieumoi.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 11 Bài 1: Hàm lượng giác chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:
Giải SBT Toán 11 Bài 1: Hàm lượng giác
a) y=cos2xx−1
b) y=tanx3
c) y=cot2x
d) y=sin1x2−1
Phương pháp giải:
a) Phân thức f(x)g(x) xác định khi g(x)≠0
b)
Hàm số y=tanx3=sinx3cosx3 xác định khi cosx3≠0
c)
Hàm số y=cot2x=cos2xsin2x xác định khi sin2x≠0
d)
Phân thức y=f(x)g(x) xác định khi g(x)≠0
Lời giải:
Điều kiện xác định: x−1≠0⇔x≠1
Vậy D=R∖{1}.
b)
Điều kiện xác định: cosx3≠0⇔x3≠π2+kπ ⇔x≠3π2+k3π,k∈Z
Vậy D=R∖{3π2+k3π}.
c)
Điều kiện xác định: sin2x≠0⇔2x≠kπ ⇔x≠kπ2,k∈Z
Vậy D=R∖{kπ2}.
d)
Điều kiện xác định: x2−1≠0⇔x≠±1
Vậy D=R∖{−1;1}.
a) y=√cosx+1
b) y=3sin2x−cos2x
c) y=2cosx−cos3x
d) y=tanx+cotx
Phương pháp giải:
a) Điều kiện xác định của hàm số y=√f(x) là f(x)≥0
b)
Điều kiện xác định của hàm số y=f(x)g(x) là g(x)≠0
c)
Điều kiện xác định của hàm số y=f(x)g(x) là g(x)≠0
d)
Điều kiện xác định của hàm số y=tanx=sinxcosx là cosx≠0
Điều kiện xác định của hàm số y=cotx=cosxsinx là sinx≠0
Lời giải:
Điều kiện xác định: cosx+1≥0
Ta có:
−1≤cosx≤1⇒−1+1≤cosx+1≤1+1⇒0≤cosx+1≤2⇒cosx+1≥0,∀x∈R
Vậy D=R.
b)
Điều kiện xác định:
sin2x−cos2x≠0⇔cos2x−sin2x≠0⇔cos2x≠0⇔2x≠π2+kπ⇔x≠π4+kπ2,k∈Z
Vậy D=R∖{π4+kπ2,k∈Z}.
c)
Điều kiện xác định:
cosx−cos3x≠0⇔−2sin2xsinx≠0⇔{sin2x≠0sinx≠0⇔sin2x≠0
(Vì sin2x≠0 suy ra sinx≠0)
⇔2x≠kπ
⇔x≠kπ2,k∈Z
Vậy D=R∖{kπ2,k∈Z}.
Chú ý:
Các em cũng có thể biến đổi như sau:
−2sin2xsinx≠0⇔−2.2sinxcosx.sinx≠0⇔−4sin2xcosx≠0⇔{sinx≠0cosx≠0⇔{x≠kπx≠π2+kπ⇔x≠kπ2,k∈Z
d)
Điều kiện xác định:
{sinx≠0cosx≠0⇔sinxcosx≠0⇔2sinxcosx≠0⇔sin2x≠0⇔2x≠kπ⇔x≠kπ2
Vậy tập xác định là:D=R∖{kπ2,k∈Z}.
a) y=3−2|sinx|
b) y=cosx+cos(x−π3)
c) y=cos2x+2cos2x
d) y=√5−2cos2xsin2x
Phương pháp giải:
a) Hàm số y=sinx có −1≤sinx≤1,∀x∈R
⇔0≤|sinx|≤1,∀x∈R
b)
Sử dụng công thức phân tích tổng thành tích thu gọn hàm số.
Sử dụng lý thuyết −1≤cosx≤1,∀x∈R để đánh giá biểu thức ở trên.
c)
Sử dụng công thức nhân đôi để thu gọn biểu thức
Sử dụng lý thuyết −1≤cosx≤1,∀x∈R để đánh giá biểu thức ở trên.
d)
Sử dụng công thức nhân đôi để thu gọn biểu thức
Hàm số y=sinx có −1≤sinx≤1,∀x∈R
⇔0≤|sinx|≤1⇔0≤sin2x≤1,∀x∈R
Lời giải:
a)
0≤|sinx|≤1⇔−2≤−2|sinx|≤0⇔3−2≤3−2|sinx|≤3⇔1≤3−2|sinx|≤3
Vậy GTLN của hàm số y=3−2|sinx| là 3 đạt được khi
sinx=0⇔x=kπ,k∈Z
GTNN của hàm số y=3−2|sinx| là 1 đạt được khi
sinx=±1⇔x=±π2+k2π,k∈Z.
b)
Ta có: cosx+cos(x−π3)
=2cos(x−π6)cosπ6=√3cos(x−π6)
Do −1≤cos(x−π6)≤1
⇔−√3≤√3cos(x−π6)≤√3
Vậy hàm số y=cosx+cos(x−π3) có GTLN là √3 đạt được khi cos(x−π6)=1
⇔x−π6=k2π⇔x=π6+k2π,k∈Z
GTNN là−√3 đạt được khi cos(x−π6)=−1
⇔x−π6=π+k2π⇔x=7π6+k2π,k∈Z
c)
Ta có:
cos2x+2cos2x
=1+cos2x2+2cos2x=1+5cos2x2
Do −1≤cos2x≤1
⇔−5≤5cos2x≤5⇔1−5≤1+5cos2x≤1+5⇔1−52≤1+5cos2x2≤1+52⇔−2≤1+5cos2x2≤3
Vậy hàm số y=cos2x+2cos2x có GTLN là 3
đạt được khi cos2x=1⇔2x=k2π
⇔x=kπ,k∈Z
GTNN là −2 đạt được khi cos2x=−1⇔2x=π+k2π
⇔x=π2+kπ,k∈Z
d)
Ta có: 5−2cos2xsin2x=5−12sin22x
Do 0≤sin22x≤1
⇔−1≤−sin22x≤0⇔−12≤−12sin22x≤0⇔5−12≤5−12sin22x≤5⇔92≤5−12sin22x≤5⇔3√22≤√5−12sin22x≤√5
Vậy hàm số y=√5−2cos2xsin2x có GTLN là √5 đạt được khi −sin22x=0⇔sin2x=0
⇔2x=kπ⇔x=kπ2,k∈Z
GTNN là 3√22 đạt được khi −sin22x=−1⇔sin2x=±1
⇔2x=±π2+k2π
⇔x=±π4+kπ
⇔x=π4+kπ2,k∈Z.
a) 1tanx=cotx
b) 11+tan2x=cos2x
c) 1sin2x=1+cot2x
d) tanx+cotx=2sin2x
Phương pháp giải:
Biến đổi VT=VP, từ đó suy ra đẳng thức xảy ra khi hai vế xác định.
Tìm ĐKXĐ của các biểu thức xuất hiện trong đẳng thức và kết luận.
Lời giải:
a)
VT=1tanx=1sinxcosx =cosxsinx=cotx=VP
Do đó VT=VP nếu hai vế xác định.
ĐKXĐ: {sinx≠0cosx≠0
⇔sin2x≠0
⇔x≠kπ2,k∈Z
Vậy đẳng thức xảy ra khi x≠kπ2,k∈Z
b)
Ta có :
VP=11+tan2x=11+sin2xcos2x
=1cos2x+sin2xcos2x =11cos2x=cos2x=VP
Do đó VT=VP nếu hai vế xác định
ĐKXĐ: cosx≠0⇔x≠π2+kπ,k∈Z
Vậy đẳng thức xảy ra khi x≠π2+kπ,k∈Z.
c)
Ta có :
VP=1+cot2x=1+cos2xsin2x
=sin2x+cos2xsin2x=1sin2x=VT
Do đó VT=VP nếu hai vế xác định.
ĐKXĐ: sinx≠0⇔x≠kπ,k∈Z
Vậy đẳng thức xảy ra khi x≠kπ,k∈Z.
d)
Ta có: VT=tanx+cotx=sinxcosx+cosxsinx =sin2x+cos2xsinxcosx=1sinxcosx
VP=2sin2x=22sinxcosx =1sinxcosx
Do đó VT=VP nếu hai vế xác định.
VT xác định khi {cosx≠0sinx≠0⇔sin2x≠0 ⇔2x≠kπ⇔x≠kπ2
VP xác định khi sin2x≠0⇔x≠kπ2.
Vậy đẳng thức xảy ra khi x≠kπ2.
a) y=cos2xx
b) y=x−sinx
c) y=√1−cosx
d) y=1+cosxsin(3π2−2x)
Phương pháp giải:
Hàm số y=f(x) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu
x∈D thì −x∈D và f(−x)=f(x)
Hàm số y=f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu
x∈D thì −x∈D và f(−x)=−f(x)
Bước 1: tìm TXĐ D, chứng minh D là tập đối xứng
Bước 2: lấy x∈D⇒−x∈D
Bước 3: xét f(−x)
Nếu f(−x)=f(x) hàm số chẵn
Nếu f(−x)=−f(x) hàm số lẻ.
Lời giải:
a) Tập xác định: D=R∖{0} là tập đối xứng
f(−x)=cos(2(−x))−x=cos(−2x)−x =cos2x−x=−f(x)
Vậy y=cos2xx là hàm số lẻ.
b)
Tập xác định: D=R là tập đối xứng
f(−x)=(−x)−sin(−x)=−x−(−sinx)=−x+sinx=−(x−sinx)=−f(x)
Vậy y=x−sinx là hàm số lẻ.
c)
Do −1≤cosx≤1⇒0≤1−cosx≤2
Tập xác định: D=R là tập đối xứng
f(−x)=√1−cos(−x)=√1−cosx=f(x)
Vậy y=√1−cosx là hàm số chẵn.
d)
y=1+cosxsin(3π2−2x) =1+cosxsin(−π2+2x)=1−cosxsin(π2−2x)=1−cosxcos2x
Tập xác định: D=R là tập đối xứng
f(−x)=1−cos(−x)cos(2(−x))=1−cosxcos2x=f(x)
Vậy y=1+cosxsin(3π2−2x) là hàm số chẵn.
b) Từ đồ thị hàm số y=cos2x , hãy vẽ đồ thị hàm số y=|cos2x|
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức cos(α+k2π)=cosα
b)
Cách dựng đồ thị hàm số y=|f(x)| từ đồ thị hàm số y=f(x):
+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục Ox của đồ thị hàm số y=f(x)
+ Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục Ox của đồ thị y=f(x) qua Ox
+ Xóa phần đồ thị phía dưới trục Ox của đồ thị hàm số y=f(x).
Lời giải:
a)
cos2(x+kπ)=cos(2x+k2π) =cos2x,k∈Z
Vậy hàm số y=cos2x là hàm số chẵn, tuần hoàn, có chu kỳ π.
Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0;1),(−π4;0), (π4;0),(−π2;−1),(π2;1)
b)
Đồ thị hàm số y=|cos2x| gồm:
+ Phần đồ thị phía trên trục Ox của đồ thị hàm số y=cos2x
+ Phần đồ thị có được từ việc lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục Ox của đồ thị hàm số y=cos2x.
Đồ thị hàm số y=|cos2x| là:
A. [−2π3+k2π;2π3+k2π]
B. [−π3+k2π;π3+k2π]
C. [−5π6+k2π;5π6+k2π]
D. [−π4+k2π;π4+k2π]
Phương pháp giải:
Điều kiện xác định của hàm số là .
Lời giải:
ĐKXĐ: 1+2cosx≥0 ⇔cosx≥−12 ⇔−2π3+k2π≤x≤2π3+k2π,k∈Z
Đáp án: A
A. R∖{π2+kπ}
B. R∖{kπ2}
C. R∖{kπ}
D. R∖{k2π}
Phương pháp giải:
Điều kiện xác định của hàm số y=f(x)g(x) là g(x)≠0
Lời giải:
ĐKXĐ: {sinx≠0cosx≠0
⇔sinxcosx≠0⇔2sinxcosx≠0
⇔sin2x≠0
⇔x≠kπ2,k∈Z
Vậy D=R∖{kπ2,k∈Z}
Đáp án :B
Cách khác:
Hàm số không xác định khi cotx = 0 hoặc khi cotx không xác định
Tức là khi x = kπ hoặc x = π/2 + kπ, k ∈ Z.
Gộp hai giá trị này lại ta được kết quả x = kπ/2, k ∈ Z.
Vậy tập xác định là R \ {π/2+kπ,k ∈ Z }
A. R∖{π2+k2π}
B. [k2π;π+k2π]
C. R∖{π2+kπ}
D. R∖[π6+k2π;5π6+k2π]
Phương pháp giải:
Hàm số y=f(x)g(x) xác định khi g(x)≠0.
Hàm số y=√f(x) xác định khi f(x)≥0.
Lời giải:
ĐKXĐ: {cosx≠01−sinx>0
⇔{cosx≠01−sinx≠0
⇔{x≠π2+kπx≠π2+k2π
⇔x≠π2+kπ
Vậy x≠π2+kπ,k∈Z hay R∖{π2+kπ,k∈Z}
Đáp án: C.
Cách khác:
Hàm số không xác định khi tanx không xác định hoặc sinx = 1
Tức là khi x = π/2+kπ, hoặc x = π/2+k2π, k ∈ Z.
Gộp hai giá trị này lại ta được kết quả x = π/2+kπ, k ∈ Z.
Vậy tập xác định là R \ {π/2+kπ,k ∈ Z}.
A. R∖{π2+kπ}
B. R∖(−π3+k2π;π3+k2π)
C. R∖{{π3+k2π}∪{π2+k2π}}
D. R∖{(−π3+k2π;π3+k2π]∪{π2+kπ}}
Phương pháp giải:
Hàm số y=f(x)g(x) xác định khi g(x)≠0.
Hàm số y=√f(x) xác định khi f(x)≥0.
Lời giải:
Hàm số y=√1−2cosx√3−tanx không xác định khi
{1−2cosx<0tanx=√3cosx=0
⇔{−π3+k2π<x<π3+k2π,k∈Zx=π3+kπ,k∈Zx=π2+kπ,k∈Z
Vậy tập xác định là R∖{(−π3+k2π;π3+k2π]∪{π2+kπ}}
Đáp án: D.
Cách trắc nghiệm.
Xét các phương án
Với x = π/3 thì tan x = √3 nên hàm số không xác định, do đó các phương án A và B bị loại.
Với x=0 thì 1−2cos0=−1<0 nên hàm số không xác định, mà x=0 lại thuộc tập hợp đáp án C nên loại C.
A. −12 B. −1
C. 1−√2 D. −√2
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tổng thành tích để rút gọn hàm số.
Hàm số y=cosx có cosx≤1
Lời giải:
Ta có:
y=1−cosx−sinx
=1−(cosx+sinx)
=1−[cosx+cos(π2−x)]
=1−2cosπ4cos(x−π4)
=1−2.√22cos(x−π4)
=1−√2cos(x−π4)
Mà cos(x−π4)≤1
⇒−√2cos(x−π4)≥−√2⇒1−√2cos(x−π4)≥1−√2
⇔y≥1−√2
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y là 1−√2 đạt được khi x=π4.
Đáp án C.
Chú ý:
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi cosx + sinx đạt giá trị lớn nhất.
Mà (cosx + sinx)2 = 1 + sin2x ≤ 2.
Giá trị lớn nhất của (cosx + sinx)2 bằng 2, đạt được khi sin2x = 1.
Vậy cosx + sinx đạt giá trị lớn nhất bằng √2.
Từ đó suy ra GTNN của hàm số đã cho.
A. 2 B. 2+√2
C. 32 D. 3−√2
Phương pháp giải:
Hàm số y=2+|cosx|+|sinx| đạt giá trị lớn nhất khi |cosx|+|sinx| đạt giá trị lớn nhất.
Sử dụng |sin2x|≤1.
Lời giải:
(|cosx|+|sinx|)2=cos2x+sin2x+2|cosxsinx|=1+|sin2x|≤2⇔|cosx|+|sinx|≤√2⇔2+|cosx|+|sinx|≤2+√2
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y là 2+√2 đạt được khi sin2x=1.
Đáp án B.
Cách trắc nghiệm:
Với x = 0 ta thấy y = 3 đều lớn hơn các giá trị trong các phương án A, C, D nên các phương án này bị loại.
Bài 1.13 trang 14 SBT Đại số và giải tích 11: Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y=cos6x+sin6x tương ứng là
A. 14 và 1 B. 35 và 34
C. 12 và √22 D. 23 và √32
Phương pháp giải:
Biến đổi cos6x+sin6x về dạng biểu thức chỉ chứa sinf(x) hoặc cosf(x).
Ta có |sinf(x)|≤1 và |cosf(x)|≤1 từ đó suy ra được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
Lời giải:
cos6x+sin6x=
(cos2x+sin2x)(cos4x−cos2xsin2x+sin4x)
=(cos2x+sin2x)2−3cos2xsin2x
=1−3(sin2x2)2=1−34sin22x
=1−34(1−cos22x)=1−34+34cos22x
=14+34cos22x
Mà 0≤cos22x≤1
⇒0≤34cos22x≤34
⇒14≤14+34cos22x≤1
⇒14≤y≤1
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y là 14 đạt được khi cos2x=0,
Giá trị lớn nhất của hàm số y là 1 đạt được khi cos2x=1.
Đáp án A.
Cách trắc nghiệm:
Khi x = 0 thì y = 1 lớn hơn 3/4, lớn hơn √2/2 và lớn hơn √3/2, nên ba phương án B, C, D bị loại.